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水平集算法簡介（Level Set）

一、水平集的定義

??? 與實數c對應的可微函數f:R^n—>R的水平集是實點集{(x1, x2, ...,xn) | f(x1, x2,...,xn) = c} ，稱可微函數f為水平集函數。?

[舉例]?
函數f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2對應于常數c的水平集是以(0，0，0)為球心，sqrt(c) 為半徑的球面。?

當 n=2, 稱水平集為水平曲線(LEVEL CURVE)。?
當 n=3, 稱水平集為水平曲面(LEVEL SURFACE)。

二、水平集的核心思想

???? Level Set方法是由Sethian和Osher于1988年提出，最近十幾年得到廣泛的推廣與應用。簡單的說來，Level Set方法把低維的一些計算上升到更高一維，把N維的描述看成是N＋1維的一個水平。舉個例子來說，一個二維平面的圓，如x^2+y^2=1可以看成是二元函數f(x,y)=x^2+y^2的1水平，因此，計算這個圓的變化時就可以先求f(x,y)的變化，再求其1水平集。這樣做的好處是，第一，低維時的拓撲變化在高維中不再是一個難題；第二，低維需要不時的重新參數化，高維中不需要；第三，高維的計算更精確，更魯棒；第四，Level Set方法可以非常容易的向更高維推廣；最后，也是非常重要的一點就是，上升到高維空間中后，許多已經成熟的算法可以拿過了直接用，并且在這方面有非常成熟的分析工具，譬如偏微分方程的理論及其數值化等。當然，這種方法最為詬病的就是他增加了計算量，但新的快速算法不斷出現，使得這也不是個大問題。

??? 考慮兩個分離的圓形火焰，都以一個恒定的速度向外燃燒（見圖(a)），其界面的演化是可以預測的，當這兩個分離的界面燃燒到一起時，演化界面合并為一個單獨的轉播前沿（見圖?(b)），這種拓撲結構的變化使得離散參數化遇到真正的困難，因為要得到擴展火焰的真正邊界，就必須從燃燒的區域中去除原屬于兩個界面的邊界點。要想系統地確定這些點是一個困難的問題，然而一個竅門就是采用一個更高一維的空間，這就是水平集方法的基本思想。

三、一般性算法

??? 水平集圖像處理的這種思想方法直接形成了一種一般性算法?
(1)設定水平集函數的初態；?
(2)確定動力F的形式；?
(3)按基本方程推演水平集函數的各狀態；?
(4)對于每一水平集函數的狀態求解零水平集。?

盡管具體技術細節千變萬化，水平集圖像處理的算法萬變不離其宗，都是圍繞上述?
一般性算法而展開的。???

Level Set的適用范圍：

這兒只是列舉一些經典的領域，但并不完全，如果你能在自己的領域找到新的應用，祝賀你。?Level Set最初始的應用領域就是隱含曲線（曲面）的運動，現在Level Set已經廣泛應用于圖像恢復、圖像增強、圖像分割、物體跟蹤、形狀檢測與識別、曲面重建、最小曲面、最優化以及流體力學中的一些東西。

Level Set需要掌握的知識：

學習和應用Level Set需要掌握偏微分方程理論及其數值化方法，其中又應該著重掌握偏微分方程中的Conversation Law，The Theory of Viscosity Solution and Hamilton-Jacobi Equation及其數值化方法。同時，在學習Level Set的時候也會經常遇到變分法和測度論的一些內容，但對這兩方面的要求不高，了解一下就行了。

Level Set的推薦讀物：

（1）???Stanley Osher and Ronald Fedkiw. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer-Verlag (2002).?評點：這本書是創始人之一Osher寫的，這本書是論述Level Set的最完整的書籍之一，更偏重于數值化的高精度解，應用領域涉及圖像處理以及計算物理。

（2）???James A. Sethian. Level Set Methods and Fast Marching Methods. Cambridge University Press (1999).?評點：這是另外一個創始人Sethian的作品，與Osher的書互有側重，互相補充，這本書更偏重于Fast Marching Methods,非結構化網格，涉及的應用領域更廣泛。

（3）???Guillermo Sapiro, Geometric Partial Differential Equations and Image Analysis,?Cambridge University.評點：這本書對理解Level Set也非常有幫助，它更偏重于圖像中的幾何特征，如曲率等，對幾何偏微分方程介紹的比較詳細。

（4）???Gilles Aubert and Pierre Kornprobst，Mathematical problems in image processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variation, Springer, Applied Mathematical Sciences, Vol 147, 2002。?這本書數學味太濃，一般人沒興趣讀下去，但如果你確實想對你的方法奠定更好的理論基礎，這本書就非常有用了，它可以指導你應該在哪方面下功夫。另外，這邊書的前言和第一章寫的非常好，非常值得一讀。

總評：（1）和（2）是學習Level Set常備案頭的手冊，?如果你想深入，（3）和（4）也應該看一看。

Level Set推薦文章

（1）???Osher, S., and Sethian, J.A., Fronts Propagating with Curvature-Dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton--J

（2）???Osher, S. and Fedkiw, R., "Level Set Methods: An Overview and Some Recent Results", J. Comput. Phys. 169, 463-50

（3）????Richard Tsai and Stanly Osher，level set methods and their applications in image science，COMM. MATH. SCI. Vol. 1, No. 4, pp. 623-656評點：這篇綜述內容更豐富些，結果也比較新。intlpress.com/CMS/issue4/levelset_imaging_chapter.pdf可以下載。

總評：關于Level set的文章太多，無法一一列舉，強烈建議到下面的網址逛一逛，那兒有最新的文章。http://www.math.ucla.edu/~ima

Level Set推薦網站：

（1）???http://math.berkeley.edu/~sethian/level_set.html評點：這是Sethian的網站，上面關于Level Set的論述非常多，分門別類

（2）???http://www.math.ucla.edu/~imagers/?評點：這是UCLA的研究組，由Osher創辦，關于Level Set的新進展幾乎都跟他們相關

Level Set的工具包：

http://www.cs.ubc.ca/~mitchell/ToolboxLS/index.html?評點：這是Michell開發的工具包，通用性比較好，缺點是自己修改起來非常麻煩

總結

以上是生活随笔為你收集整理的『分享』水平集算法简介（Level Set）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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