狀態可觀性和參數可辨識性

• 引言
• 狀態可觀性
• • 問題描述
  • 分析方法
  • • 線性模型
    • 非線性模型
• 參數可辨識性
• • 問題描述
  • 分析方法
  • 特殊例子：非時變系統

引言

機器人學中，狀態可觀性和參數可辨識性分析是判斷一個問題能否有穩定解的重要步驟。

狀態可觀性

問題描述

已知$y_k$測量模型和$x_k$預測模型，判斷$x_k$能否被觀測
$x_k=f(x_{k?1},{\omega }_k)$
$y_k=h(x_k,{\mu }_k)$

分析方法

線性模型

在現代控制理論中，經典的線性模型為
$\dot{x}=Ax$
$y=Cx$
其中$x$可觀的條件在于
$?\begin{array}{c}C\\ C{A}^{?1}\\ ?\\ C{A}^{n?1}\end{array}?$
滿秩。其中$n$為狀態維度。

非線性模型

對于非線性模型
$x_k=f(x_{k?1},{\omega }_k)$
$y_k=h(x_k,{\mu }_k)$
以上的方法就不適用了。那應該怎么做呢？

通常可以利用李導數，具體參考：
李導數判斷可觀性

當然，線性模型也可以利用李導數的方法，用李導數解算出來的觀測矩陣也是
$?\begin{array}{c}C\\ C{A}^{?1}\\ ?\\ C{A}^{n?1}\end{array}?$
典型的例子如：
[1] Fallon, Maurice F., et al. “Cooperative AUV navigation using a single maneuvering surface craft.” The International Journal of Robotics Research 29.12 (2010): 1461-1474.

參數可辨識性

問題描述

$x_k=f(x_{k?1},\theta ,{\omega }_k)$
$y_k=h(x_k,\eta ,{\mu }_k)$
提供多組$y_k$, $x_k$, 能否將$\theta$和$\mu$辨識出來呢？
更加詳細的問題描述見
Grewal, M. S., and Keith Glover. “Identifiability of linear and nonlinear dynamical systems.” IEEE Transactions on automatic control 21.6 (1976): 833-837.

分析方法

對于典型的模型，參數可辨識性的分析同樣可以通過擴展狀態向量，并借助李導數的方法來實現。
即
${\chi }_k=[x_k^{?},{\theta }^{?},{\eta }^{?}{]}^{?}$
對于預測模型，參數$\theta ,\eta$關于時間的導數均為0。
典型的例子如：
[1] Kelly, Jonathan, and Gaurav S. Sukhatme. “Visual-inertial sensor fusion: Localization, mapping and sensor-to-sensor self-calibration.” The International Journal of Robotics Research 30.1 (2011): 56-79.
[2] Villaverde, Alejandro F. “Observability and structural identifiability of nonlinear biological systems.” Complexity 2019 (2019).

特殊例子：非時變系統

還有一種更加簡單的模型
$y_k=f(x_k,\theta )$
對此，試問提供多組$y_k$和$x_k$，$\theta$能否被觀測得到？

對于這種問題，我們回顧隱函數存在定理：
隱函數定理

將多個$x_k,y_k$作為自變量，$\theta$作為因變量，得到$Y$矩陣。如果$Y$可逆，則多組測量可以得到唯一的$\theta$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的状态可观性和参数可辨识性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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