困擾多年的問(wèn)題，居然在學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)后的一分鐘內(nèi)得到解決。
形式化問(wèn)題為，求滿(mǎn)足 $A?B?S$ 的有序?qū)?$<A,B>$ 的個(gè)數(shù)。

法1

類(lèi)比子集數(shù)量的求法。每個(gè)元素有四種可能

• 同時(shí)在 $A$，$B$
• 在 $A$ 不在 $B$
• 在 $B$ 不在 $A$
• 都不在

其中由題，在 $A$ 不在 $B$ 不符合題意，所以每個(gè)元素有三種可能，最后是 $3^n$

法2

按照 $A$ 中的元素個(gè)數(shù) $k$ 分類(lèi)，對(duì)于一個(gè)固定的 $k$，有序?qū)τ?$C(n,k)?2^{n?k}$ 個(gè)，其中 $C(n,k)$ 表示先選出某個(gè) $A$，$2^{n?k}$ 表示在剩下的元素任選，使之包含 $A$。

于是 $N={\sum }_{k=0}^{n}C(n,k)?2^{n?k}={\sum }_{k=0}^{n}C(n,k)?1^k?2^{n?k}=(1+2{)}^n=3^n$

反過(guò)來(lái)先選 $B$ 也是一樣的，即 $C(n,k)?1^{n?k}?2^k$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的枚举子集复杂度 O(n^3) 证明的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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