二元關系

文章目錄

• 二元關系
• • 1. 序偶和笛卡爾乘積
  • • 1.1 序偶
    • 1.2 笛卡爾乘積
    • • 1.2.1 定義
      • 1.2.2 性質
    • 1.3 推廣
  • 2. 關系的定義
  • • 2.1 二元關系定義
    • 2.2 定義域和值域
    • 2.3 n元關系
  • 3. 關系的表示
  • • 3.1 集合表示法
    • 3.2 關系圖表示法
    • 3.3 關系矩陣法
    • 3.4 布爾矩陣的運算
    • • 3.4.1 布爾矩陣的交和并
      • 3.4.2 布爾矩陣的積運算
  • 4. 關系的運算
  • • 4.1 關系的并交差補運算
    • 4.2 關系的復合運算
    • 4.3 逆運算
  • 5. 關系的運算定律
  • • 5.1 復合運算性質
    • 5.2 逆運算的運算定律
  • 6. 關系的冪運算
  • • 6.1 冪運算的定義
    • 6.2 冪運算的性質
    • 6.3 冪運算收斂定理
  • 7. 關系的性質
  • • 7.1 自反性與反自反性
    • 7.2 對稱性
    • 7.3 傳遞性
    • 7.4 關系性質的判定定理
    • • 7.4.1 判定定理
      • 7.4.2 判定方法總結
      • 7.4.3 關系性質判定例子
    • 7.5 關系性質的保守性
  • 8. 關系的閉包
  • • 8.1 閉包的定義
    • 8.2 閉包求解

1. 序偶和笛卡爾乘積

1.1 序偶

定義：由兩個元素按照一定的次序組成的二元組稱為序偶，記做$<x,y>$，其中**$x$是第一元素，$y$是第二元素**。【順序很重要】

由定義可見，兩個序偶$<a,b>=<c,d>$當且僅當$a=c,b=d$

1.2 笛卡爾乘積

1.2.1 定義

定義：設A，B是兩個集合，稱集合$A\times B=\{<x,y>|(x\in A)\wedge (y\in B)\}$為集合A與B的笛卡爾乘積。

1.2.2 性質

• 笛卡爾積不滿足交換律
• $A\times B=?$當且僅當$A=?$或者$B=?$
• 設A，B，C是任意三個集合，則不一定有$A\times (B\times C)=(A\times B)\times C$，即笛卡爾積不滿足結合律
• 當A，B都是有限集合時，$|A\times B|=|B\times A|=|A|\times B$
• 笛卡爾積對并運算和交運算滿足分配律

1.3 推廣

定義：

• 由n個元素$a_1,a_2,...,a_n$按照一定的次序組成的n元組稱為n重有序組，記做$<a_1,a_2,...,a_n>$，其中$a_1$是第一個元素，$a_2$是第二個元素，……，$a_n$是第n個元素。

• 設$A_1,A_2,...,A_n$是n個集合，稱集合

  $A_1\times A_2\times \dots \dots \times A_n=\{<a_1,a_2,...,a_n>|a_i\in A_i,i=1,2,3,...,n\}$為集合$A_1,A_2,...,A_n$的笛卡爾積。當$A_1=A_2=...=A_n=A$時，可記$A_1\times A_2\times \dots \dots \times A_n=A^n$

2. 關系的定義

2.1 二元關系定義

設A, B為兩個非空集合，稱$A\times B$的任意子集R為從A到B的一個二元關系，簡稱關系(relation)。其中，A稱為關系R的前域，B稱為關系R的后域。如果$A=B$，則稱R為A上的一個二元關系。

幾種重要的關系：

• 當$R=?$時，稱R為從A到B的空關系(empty relation) ;
• 當$R=A\times B$時，稱R為從A到B的全關系(total relation) ; A上的全關系通常記為$E_A$。
• 當$R=I_A=\{<x,x>|x\in A\}$時，稱R為A上的恒等關系(identity relation)。

有限集合的二元關系的數量：

當集合A，B都是有限集時, $A\times B$共有$|A|\times |B|$ 個不同的元素，這些元素將會產生$2^{|A|\times |B|}$ 個不同的子集。即，從A到B的不同關系共有$2^{|A|\times |B|}$個。

2.2 定義域和值域

定義：設R是從A到B的二元關系，則A為關系R的前域，B為關系R的后域。

令：$C=\{x|x\in A,?y\in B,<x,y>\in R\}$ , $D=\{y|y\in B,?x\in A,<x,y>\in R\}$。

稱C為R的定義域(domain)，記為$C=domR$；D為R的值域(range)，記為$D=ranR$；

fldR = $domR\cup ranR$為R的域( field)。

2.3 n元關系

3. 關系的表示

3.1 集合表示法

關系是一種特殊的集合，因此集合的兩種基本表示法(枚舉法和敘述法) ，可以用到關系的表示中。

• 枚舉法
• 敘述法
• 圖示法

3.2 關系圖表示法

• $A\ne B$

• $A=B$

3.3 關系矩陣法

關系運算用上述的兩種方式進行較為困難，使用關系矩陣比較簡便。

定義：設$A=\{a_1,a_2,...,a_n\},B=\{b_1,b_2,...,b_m\}$，R是從A到B的一個二元關系，稱矩陣$M_R=(m_{ij}{)}_{n\times m}$ 為關系R的關系矩陣(relation matrix) ,其中:$\{\begin{array}{l}1<a_i,b_j>\in R\\ 0<a_i,b_j>\notin R\end{array}(1\le i\le m,1\le j\le n)$又稱$M_R$為R的鄰接矩陣(adjacency matrix)。

3.4 布爾矩陣的運算

3.4.1 布爾矩陣的交和并

3.4.2 布爾矩陣的積運算

4. 關系的運算

4.1 關系的并交差補運算

關系是一種特殊的集合，因此集合的所有基本運算(并、交、差、補)，都可以應用到關系中，并且同樣滿足集合的所有運算定律。

4.2 關系的復合運算

定義：設A，B，C是3三個集合，R是從A到B的關系，S是從B到C的關系（即$R：A\to B,S：B\to C$），則R與S的復合關系(合成關系）（composite relation）RoS是從A到C的關系，并且：$RoS=\{<x,z>|(x\in A)\wedge (z\in C)\wedge (?y)(y\in B\wedge xRy\wedge ySz)\}$。運算"o"稱為復合運算（composite operation）。

? ——R的后域是S的前域

4.3 逆運算

定義：設A，B是兩個集合，R是A到B的關系，則從B到A的關系$R^{?1}=\{<b,a>|<a,b>\in R\}$稱為R的逆關系(inverse relation) ,運算“-1” 稱為逆運算(inverse operation)。

• $(R^{?1}{)}^{?1}=R$
• KaTeX parse error: Undefined control sequence: \O at position 1: \?O?^{-1}=\O
• $(A\times B{)}^{?1}=B\times A$

求逆運算在三種表示法中的體現：

5. 關系的運算定律

5.1 復合運算性質

設A、B、C和D是任意四個集合，R、S和T分別是從A到B，B到C和C到D的二元關系，$I_A$和$I_B$分別是A和B上的恒等關系，則

證明方法：

證明兩個關系相等，即證明兩個集合相等；證明兩個集合相等，也即證明兩個集合相互包含。

以結合律為例，證明兩個集合相等：

• 分配律

5.2 逆運算的運算定律

設A，B，C是三個集合，R, S分別是從A到B和從B到C的關系，則有：
$$(R°S{)}^{?1}=S^{?1}°R^{?1}$$

6. 關系的冪運算

只要運算滿足結合律，那么一定可以定義該運算的冪運算。

關系的復合運算滿足結合律，因此可以定義關系的復合運算的冪運算。

6.1 冪運算的定義

設R是集合A上的關系，則R的n次冪，記為$R^n$，定義如下：

• $R^0=I_A$——【why？考慮同一律】
• $R^1=R$
• $R^{n+1}=R^n°R=R°R^n$

$R^n$仍是A上的關系，表示R多次自我復合的結果：

• $R^{m+n}=R^m°R^n=R^n°R^m=R^{m+n}$
• $(R^m{)}^n=R^{mn},m,n\in N$

6.2 冪運算的性質

由前例可見，$R^n$的基數并非隨著n的增加而增加，而是呈遞減趨勢

當$n\ge |A|$時，則$R^n?{\cup }_{i=1}^{|A|}{R}^i$

6.3 冪運算收斂定理

定理：設A是有限集合，且$|A|=n$，R是A上的關系，則：
$${\cup }_{i=1}^{\infty }{R}^i={\cup }_{i=1}^n{R}^i$$

7. 關系的性質

關系的性質可以對關系進行分類。

7.1 自反性與反自反性

定義：

設R是集合A上的關系，

• 如果對任意的$x\in A$，都有$<x,x>\in R$，那么稱R在A上是自反的，或者稱R具有自反性。
• 如果對任意的$x\in A$，都有$<x,x>\notin R$，那么稱R在A上是反自反的，或者稱R具有反自反性。

對于關系矩陣上的體現，會體現在對角線上：

總結

• 存在既不是自反的也不是反自反的關系;
• 關系R是自反的當且僅當R的關系圖中每個結點都有自環，關系R是反自反的當且僅當R的關系圖中每個結點都無自環;
• 關系R是自反的當且僅當R的關系矩陣的主對角線上全為1，關系R是反自反的當且僅當R的關系矩陣的主對角線上全為0.

7.2 對稱性

設R是A上的關系：

• 如果對任意的$x,y\in A$，如果$<x,y>\in R$，那么$<y,x>\in R$，那么稱R是對稱的，或稱R具有對稱性。
• 如果對任意的$x,y\in A$，如果$<x,y>\in R且<y,x>\in R$，那么$x=y$，那么稱R是反對稱性的。

存在既是對稱也是反對稱的關系，也存在既不是對稱也不是反對稱的關系。

7.3 傳遞性

定義：設R是集合A上的關系，對任意的$x,y,z\in A$，如果$<x,y>\in R $且$<y,z>\in R$，那么$<x,z>\in R$，則稱R是傳遞的，或稱R具有傳遞性。

對于關系圖上的傳遞性的表現：有a->b, b->c一定有a->c

關系矩陣：

7.4 關系性質的判定定理

對具體集合上的具體關系，我們可根據關系圖和關系矩陣等方法來判定關系的性質，但對于抽象集合上的抽象關系，則存在一定的局限性。為此，我們從集合運算的觀點，給出相應的判定定理。

7.4.1 判定定理

設R是集合A上的關系，則：

• R是自反的，當且僅當$I_A?R$——最小的是$I_A$
• R是反自反的，當且僅當KaTeX parse error: Undefined control sequence: \O at position 11: R\cap I_A=\?O?
• R是對稱的，當且僅當$R=R^{?1}$
• R是反對稱的，當且僅當$R\cap R^{?1}?I_A$——只可能是$I_A$中的元素
• R是傳遞的，當且僅當$R°R?R$

7.4.2 判定方法總結

7.4.3 關系性質判定例子

一個關系可能滿足多種性質：

一個關系可能多種性質都不滿足：

7.5 關系性質的保守性

關系既可做各種集合基本運算，又可做關系特有的復合運算和求逆運算。具有特殊性質的關系通過各類運算后產生的新關系是否仍然保持原有的特殊性質呢？這就是關系性質的保守性問題。

8. 關系的閉包

? 一個關系可能不具備某一個特殊性質。但是，如果希望它有我們希望它具備的某一個性質，應該如何操作呢？我們可以通過添加一些元素，使得關系具備我們想要的性質。例如，對給定集合A= {1, 2, 3}上的關系R= {< 1,1 >, < 1,2 >, < 2,1 >}，它不具有自反性。根據自反性的定義，在關系R中添加< 2,2>, < 3,3 >這兩個元素后，所得到的新關系$R^{{}^{\prime }}$就具有自反性。另外還可以添加<2,2>, ??,3>, <1,3>，得到的新關系$R^{{}^{\prime \prime }}$仍然具有自反性。

? 如何在給定關系中添加最少的元素，使其具有需要的特殊性質，這就是關系的閉包問題。

? 自反性，對稱性，傳遞性可以通過添加元素得到，但是對于反自反性，反對稱性，無法通過添加元素得到，只能通過刪除元素得到。這里不考慮刪除元素得到關系性質的情況。

8.1 閉包的定義

設R是集合A上的關系，若存在A上的另一個關系$R^{\prime }$，滿足：

• $R^{\prime }$是自反的（對稱的，或傳遞的）——滿足性質
• 對于任何自反的（對稱的，傳遞的）關系$R^{{}^{\prime \prime }}$，如果$R?R^{{}^{\prime \prime }}$，就有$R^{{}^{\prime }}?R^{{}^{\prime \prime }}$。則稱$R^{\prime }$為R的自反閉包（對稱閉包或者傳遞閉包），分別記為$r(R)(s(R)或t(R))$

8.2 閉包求解

利用關系圖求閉包

• 檢查R的關系圖，在沒有自環的結點處加上自環，可得r?的關系圖;
• 檢查R的關系圖，將每條單向邊全部改成雙向邊，可得s( R)的關系圖;
• 檢查R的關系圖，從每個結點出發，找到其終點，如果該結點到其終點沒有邊相連，就加上此邊，可得t?的關系圖.

定理：

設 $R$ 是集合 $A$ 上的關系, 則
(1) $r(R)=R\cup I_A$;
(2) $s(R)=R\cup R^{?1}$;
(3) $t(R)={?}_{i=1}^{\infty }{R}^i$, 若 $|A|=n$ ，則 $t(R)={?}_{i=1}^n{R}^i$.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的离散数学复习：二元关系的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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