筆者在閱讀華中科技大學(xué)譚志虎老師主編的《計算機(jī)組成原理（微課版）》教材進(jìn)行復(fù)習(xí)時，產(chǎn)生了一個疑問，并針對性地進(jìn)行了一些思考。歡迎廣大復(fù)習(xí)到這里同樣有問題的同學(xué)（寒假開學(xué)接著考試實(shí)在有點(diǎn)汗，誰愿意寒假學(xué)習(xí)啊）&&CSDN博友針對我的疑問或想法進(jìn)行批評討論。

在編寫本篇文章前，我參考了博主黎貓大俠的博客，鏈接放在下面。一道題帶你搞懂CRC循環(huán)冗余校驗(yàn)是如何糾錯的, 體會CRC的奇妙之處, 獻(xiàn)給充滿好奇心的你._黎貓大俠的博客-CSDN博客_crc糾錯

這位博主的文章給我啟發(fā)很大，感謝大蝦0w0。但我在讀完后仍然有一些問題。下面大概說一下我的想法：

作為循環(huán)冗余校驗(yàn)碼，CRC的檢錯性能是大家有目共睹的。只要我們拿著帶CRC碼的信息去模2除以生成多項(xiàng)式，得到的余數(shù)不為0，我們便曉得是有錯誤出現(xiàn)了。

如果想要更加具體一點(diǎn)，知道哪位/哪幾位錯了，我們可以提前做一些計算工作，然后去查生成多項(xiàng)式對應(yīng)的余數(shù)表格（類似于下圖這種，實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該也能提前算出來）。如果數(shù)據(jù)信息比較短、選擇的生成多項(xiàng)式比較好，比如(7,3)碼的一些生成多項(xiàng)式，我們就可以利用提前搞出來的表格，順利區(qū)分一位錯和兩位錯，并在沒有3位錯的前提下檢查出兩位錯和糾正一位錯。

但是：對于CRC一位糾錯性能的介紹，課本上語焉不詳，只是說“可以利用CRC的編碼特性設(shè)計組合邏輯電路來進(jìn)行糾錯”（“編碼特性”是CRC的循環(huán)特性，也即：將余數(shù)左移一位除以生成多項(xiàng)式，得到下一個余數(shù)，再左移做除法得余數(shù)，重復(fù)這般操作，最后余數(shù)會循環(huán)變回自己。這一點(diǎn)在前文提及的博客里說得很詳細(xì)，如果不知道可以跳轉(zhuǎn)先去看看）；網(wǎng)絡(luò)上我搜集了一些資料，也只有前文博客在承認(rèn)具有糾錯功能的基礎(chǔ)上講述得比較詳細(xì)（或許是我的信息檢索能力比較差吧）。不過，基于前文博客的內(nèi)容，我產(chǎn)生了一個疑惑，這里放一段博客里的話：

做個類比。假若我面對的是一個約定好的、稍微有些冷門的生成多項(xiàng)式，計算機(jī)咋就知道第一位出錯的余數(shù)是啥（即上面情況中的101）？如果說，我已經(jīng)在計算機(jī)里存儲好了（或者手邊就有）前文說的那種余數(shù)表，那我大可不必大費(fèi)周章再來搞什么循環(huán)計算，直接查一下對應(yīng)過去就完事了；如果我沒有存這種余數(shù)表，那我還啥也不知道呢，（包括第一位出錯的余數(shù)），我怎么就能曉得第一位出錯的余數(shù)究竟是循環(huán)過程中的哪個呢？

（當(dāng)然，現(xiàn)在看來思考這個問題的意義好像不大，因?yàn)闆]必要用冷門的生成多項(xiàng)式去實(shí)現(xiàn)一些功能，且CRC好像主要還是用來檢錯而不是糾錯的）（之所以想這些才不是因?yàn)橛幸坏雷鳂I(yè)題我寫的答案很逆天，被分?jǐn)?shù)gank了，嘗試給自己找個臺階下呢QAQ）

我對這個問題的考慮是這樣的：

先對一些定義或約定進(jìn)行說明：

將原信息用一個信息多項(xiàng)式M(x)表示，其中Ci序列就是原來的數(shù)據(jù)信息，可以取0/1。

將M(x)左移r位，表示成，這樣就能在右側(cè)空出r位放產(chǎn)生的CRC校驗(yàn)碼。

用按照 模2運(yùn)算規(guī)則 除以 生成多項(xiàng)式G(x) ，得到的余數(shù)R(x)就是待填入的CRC校驗(yàn)碼。

（注意：模2運(yùn)算規(guī)則下加運(yùn)算和減運(yùn)算效果相同）

也就是說，最后得到的含CRC校驗(yàn)碼的信息應(yīng)該是： M(1)|R(1)? （“|”表示把他倆連接起來）

我們有等式： （重要）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①

說一個猜想：這個例子中第一位錯的時候余數(shù)是101；k=4，r=3，G(x)=1011。那么有沒有這樣一種可能，第一位錯的余數(shù)與k、r、G(x)的取值直接相關(guān)，所以我們可以直接算出當(dāng)前CRC約定下的第一位錯的余數(shù)而不用拐著彎的去算余數(shù)表，并為后續(xù)利用循環(huán)特性完成的計算提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)？（后面的證明如果有反例或者邏輯錯誤請速速聯(lián)系我，主打一個光速恥辱刪帖好吧）?

道理還是比較簡單的，就是寫起來和表達(dá)起來有點(diǎn)繁瑣。對于只有第一位出錯而言，他只影響最高的信息位。記影響前M(x)的定義與前文相同，影響后M'(x)的定義為：

顯然，與的值 可以且僅可以 為1/0和0/1兩種組合情況。而在模2運(yùn)算下，加運(yùn)算和減運(yùn)算等效，因此我們有：? ? ? ②

由等式①和等式②，我們作出如下敘述：（鍵盤敲太麻煩，寫起來 2^{***} 跟 x^{***} 又寫得挺混亂的，但意思應(yīng)該能到吧，求諒解T T） （“？”就指代例子中我們在此處研究的“101”）

總結(jié)一下：

設(shè)第一位出錯時的余數(shù)為'?'，那么它的計算方法是：?

這樣，我們在拿到CRC生成的規(guī)則后，就可以找到一種行之有效的方法迅速推理出第一位出錯時的余數(shù)是啥，而且是當(dāng)前約定好的CRC生成規(guī)則（k、r、G(x)的取值固定）下“放之四海而皆準(zhǔn)”的余數(shù)。一切問題也就迎刃而解。剩下的，如果想搞余數(shù)表，整個水落石出、明明白白，那就放手去做吧，搞余數(shù)表或者查現(xiàn)成的表；如果想好好體驗(yàn)一把“CRC循環(huán)特性”（霧），就可以祭出黎貓大俠的方法，體驗(yàn)就完事了。（雖然我感覺這種體驗(yàn)其實(shí)并不好，打表才是yyds）

因?yàn)槲疫€沒學(xué)完（平時沒聽課，悲），所以上面的內(nèi)容僅代表個人觀點(diǎn)。希望上文對您有幫助！如果有紕漏疏忽的地方，敬請批評指正！如果有沒講明白的地方，歡迎評論留言！如果馬上就要組原考試的話，祝你（也祝我）考個好成績！另外，復(fù)習(xí)考試不要像我這個joker一樣，對著一個不是考點(diǎn)的東西看起來沒完，快要自學(xué)不完了（又悲）...
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2023-5-6：來還愿，組原考試沒有寄穿，反而成了一眾科目里面發(fā)揮還不戳的一門。
祝大家學(xué)習(xí)組原的道路也一帆風(fēng)順捏！QWQ（當(dāng)然不順也沒事，最后弄懂了就行=w=）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的计算机组成原理：循环冗余校验码CRC具备“一位纠错”功能的思考与探索的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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