目錄

總結(jié)上節(jié)課的公式

Irradiance(輻照度)

定義

Radiance(輻射度)

定義

公式解析

irradiance / intensity 和 radiance的區(qū)別

Incident Radiance(入射輻射度)

定義

Exiting Radiance(出射輻射度)

定義

輻射度vs輻照度

雙向反射率分布函數(shù)(BRDF)

概述

如何知道收集到的Radiance, 反射到哪個(gè)方向?

BRDF的定義

反射方程

困難：遞歸方程

通用渲染方程

① 重寫反射方程

② 得到更通用渲染方程

分析渲染方程如何得出

① 假設(shè)只有一個(gè)點(diǎn)光源

② 假設(shè)有好多點(diǎn)光源

③ 假設(shè)有一個(gè)面光源和多個(gè)點(diǎn)光源

④ 假設(shè)除了以上的入射光, 還有其它的物體反射來的入射光

將渲染方程作為積分方程

?線性算子方程

?光線追蹤和擴(kuò)展

?該公式的相關(guān)參數(shù)解析

光照的實(shí)際應(yīng)用

總結(jié): 亮度會(huì)收斂到某種程度, 因?yàn)槟芰渴睾?/p>

概率論

?性質(zhì): 概率必須大于0, 所有概率相加為1

?隨機(jī)變量的期望值

期望值

均值?

連續(xù)函數(shù)案例：概率分布函數(shù)

隨機(jī)變量的函數(shù)

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第十五節(jié)課 :光線追蹤(Ray Tracing 3)

總結(jié)上節(jié)課的公式:

Irradiance(輻照度): 落在表面上的光

-對(duì)應(yīng)面積上所有的能量

定義: 單位時(shí)間內(nèi)投射到單位面積上的輻射能量

光若不垂直投影曲面, 有夾角(斜著), 接收到的能量會(huì)減小.

物體表面上的輻照度與(光方向和表面法線)之間的夾角一致成正比.

就好比下圖的Lambert’s Cosine Law, 所接受的能量與cos(光方向和表面法線)相關(guān).

我們?yōu)槭裁从屑竟?jié)(春夏秋冬)?

就是因?yàn)樘柟饩€不是一直垂直照射地球某個(gè)地方.

假設(shè)光以均勻的角分布發(fā)射功率

比較兩個(gè)球體表面的輻照度, 發(fā)現(xiàn)輻照度會(huì)因?yàn)榘霃降脑黾佣ト?

再比較兩個(gè)球體表面的輻射強(qiáng)度

根據(jù)公式發(fā)現(xiàn), 它不會(huì)因?yàn)榘霃?距離)的增加而衰弱, 而是不變, 影響它的只有單位能量和單位立體角, 近距離和遠(yuǎn)距離立體角都不變.

Radiance(輻射度)

定義 :

① 描述光在環(huán)境中傳播的基本屬性

② 與光線相關(guān)聯(lián)的量

③ 渲染是與計(jì)算radiance(輻射度)有關(guān)

--(光沿著光線傳播)

對(duì)于Radiance(輻射度)的理解: ????從一個(gè)面積往立體角方向輻射出能量

公式解析:

① 下圖中的面可能會(huì)往各個(gè)方向都輻射能量, 這里只研究它其中一個(gè)微分(單位)方向.

② 下圖中的面需要確認(rèn)面積, 這與它受到的能量大小有關(guān), 這里只研究它一個(gè)微分(單位)面積

所以公式為: 兩個(gè)微分的相乘

這兩個(gè)微分解釋分別為: (① 每單位立體角、② 每投影單位面積的表面發(fā)射、反射、傳輸或接收的輻射功率)

①②相乘, 得出 ( d輻射功率/d投影面積/d立體角 ), ps:請(qǐng)記住下面有用

定義如下:

① 輻照度(irradiance)：每單位投影面積的輻射功率( d輻射功率/d投影面積 )

② 輻射強(qiáng)度(Intensity)：每單位立體角的輻射功率( d輻射功率/d立體角 )

根據(jù)intensity,irradiance和 radiance(①*②)的定義得出:

① 輻射度(Radiance)：每單位立體角的輻照度( 輻照度/d立體角 )

② 輻射度(Radiance)：每單位投影面積的輻射強(qiáng)度( 輻射強(qiáng)度/d投影面積 )

所以得出, irradiance/intensity和 radiance的區(qū)別是:

前者不考慮方向(投影面積的能量), 后者考慮方向(只考慮一個(gè)方向進(jìn)入投影面積的能量), 方向性的區(qū)別.

Incident Radiance(入射輻射度)

定義: 入射輻射度是到達(dá)表面的每單位立體角的輻照度。

-即它是沿著給定光線到達(dá)表面的光（表面上的點(diǎn)和入射方向）

Exiting Radiance(出射輻射度)

定義: 出射表面的輻射度是離開表面的每單位投影面積的強(qiáng)度

例如，對(duì)于區(qū)域光，它是沿給定光線發(fā)射的光（表面上的點(diǎn)和出射方向）

輻射度vs輻照度

輻射度(Radiance)：面積 dA 從“方向”dw 接收的功率

輻照度(Irradiance)：面積 dA 接收的總功率

是半球的體積:?(2/3)πr3

雙向反射率分布函數(shù)(BRDF)

概述: 來自方向 wi 的入射輻射度變成了點(diǎn)面積 dA 接收到的功率 E , 那么功率 E 將變成到其他方向 wr 的出射輻射度

如何知道收集到的Radiance, 反射到哪個(gè)方向?

答: 使用BRDF

BRDF的定義:

① 表示有多少光從每個(gè)入射方向反射到每個(gè)出射方向 wr

② 類似于接受到的能量所反射的能量分布

③ 比如用于定義材質(zhì)(漫反射材質(zhì), 拋光/毛面金屬材質(zhì), 完全鏡面反射+折射材質(zhì)等等)

④ 公式意思: Radiance(輻射度)/irradiance(輻照度)

反射方程:

相關(guān)變量:

wr : 觀測(cè)方向????????????????wi : 入射方向????????????????dwi : 每一個(gè)入射方向

: ?Irradiance的表達(dá)式????????????????: 上面求出的BRDF

: 單元半球,???表示單元半球內(nèi)全部對(duì)出射方向的Lr(x,wr)作貢獻(xiàn)的都相加

Irradiance( 著色面積所受能量 )* BRDF = 觀測(cè)方向的出射輻射度.

困難：遞歸方程

反射輻照度取決于入射輻射度

但是入射輻射度不止有來自點(diǎn)光源的, 還有經(jīng)過別的物體（在場(chǎng)景中的另一點(diǎn)）反射而來的反射輻射度

通用渲染方程

① 重寫反射方程：

如果本身會(huì)發(fā)光, 通過添加自身輻射度使其通用:

注意：現(xiàn)在，我們假設(shè)所有方向都指向外面(比如wi是入射,但是還是寫作方向從球心向外)

等于,?都是表示只考慮半球內(nèi)的光線, 如果從底下入射, 無意義所以不考慮.

?等于

② 得到更通用渲染方程, 如下:

分析渲染方程如何得出:

① 假設(shè)只有一個(gè)點(diǎn)光源, 得出的反射方程:

反射光(輸出圖片)= 自身光+入射光(點(diǎn)光源)*BRDF*入射角的余弦

② 假設(shè)有好多點(diǎn)光源, 得出的反射方程:

反射光(輸出圖片)= 自身光+對(duì)所有光源求和[入射光(點(diǎn)光源)*BRDF*入射角的余弦]

?

③ 假設(shè)有一個(gè)面光源和多個(gè)點(diǎn)光源, 得出的反射方程:

用積分替換總和, 其余和處理多個(gè)點(diǎn)光源一樣.

?

④ 假設(shè)除了以上的入射光, 還有其它的物體反射來的入射光, 得出的反射公式:

反射光(觀測(cè)方向)未知, 其它物體反射來的入射光未知. 其它都已知, 只需要把(其它物體反射來的入射光)當(dāng)作(點(diǎn)光源)處理.

?

將渲染方程作為積分方程

變量詳解:

u表示觀測(cè)方向, 等于wr????????????????v表示入射方向, 等于wi????????????????x表示功率

?等于? , 表示觀測(cè)方向(攝像頭)接受到的光.

等于 ?, 表示著色點(diǎn)自身的發(fā)光

等于??, 表示入射光

(核心)?== ?,表示把全部的入射光轉(zhuǎn)換到觀測(cè)方向的光

是第二類 [廣泛研究數(shù)值] 的 fredholm 積分方程，其典型來自

?

?線性算子方程(算是一種簡(jiǎn)化, 中間過程復(fù)雜)

表示光傳輸算子方程的核

可以離散為一個(gè)簡(jiǎn)單的矩陣方程[或聯(lián)立線性方程組]

L,E 是向量，L是最后看到的能量, E是自身具有的能量

K 是光傳輸矩陣(反射操作符)

?

光線追蹤和擴(kuò)展(解出L)

1.一般類數(shù)值蒙特卡羅方法

2.場(chǎng)景中所有光路的近似集合

I表示單位矩陣, 通過一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算得出L

為什么要用算子?

因?yàn)橐玫竭@個(gè)形式的公式?

該公式的相關(guān)參數(shù)解析

K是反射運(yùn)算符

E : 直接從光源發(fā)射 (在著色點(diǎn)發(fā)光)

KE : 表面直接光照 (直接射向著色點(diǎn),反射到達(dá)觀測(cè)點(diǎn))

?: 間接光照（一次間接反彈）[鏡子，折射]

... : 表示還有間接更多次的反射

?光柵化一般只有E (自發(fā)光) 和 KE (直接光照) , 也有可能有K2E,K3E(少數(shù))

?光照的實(shí)際應(yīng)用

?直接光照

(光照只反射了一次到攝像機(jī), 點(diǎn)光源打到哪里, 哪里就有顏色, 不然就是黑色)

ps: 第一次反射就看到上方的燈, 因?yàn)楣鉀]有進(jìn)去燈里.

?全局光照

(考慮光照反射一次和兩次)

?全局光照

(考慮光照反射一次,兩次和三次)

全局光照(考慮光照反射一次,兩次,三次,四次和五次)

可以發(fā)現(xiàn)下圖中上方的燈與上圖中對(duì)比, 明顯亮了.

這是因?yàn)檫@個(gè)燈是雙層的玻璃, 光線進(jìn)入需要兩次反射, 出來也需要兩次反射. 所以在上圖的最多反射三次的情況下, 看不見玻璃燈.

?全局光照(考慮光照反射一次,兩次,三次,直到八次)

現(xiàn)象: 發(fā)現(xiàn)在全局光照(最多四次~八次甚至到十六次)時(shí), 變亮的效果越來越低, 直到亮度不再變化(肉眼上)

總結(jié): 亮度會(huì)收斂到某種程度. 因?yàn)槟芰渴睾?

概率論(probability review)

隨機(jī)變量: 表示潛在值的分布?

概率密度函數(shù) (PDF): 描述隨機(jī)過程選擇值 x 的相對(duì)概率

示例：連續(xù)PDF函數(shù)：域上的所有值均等可能

例如 六個(gè)面的骰子, ?X 取值 1,2,3,4,5,6, 搖得任意一個(gè)面的概率一致為: 1/6

?性質(zhì): 概率必須大于0, 所有概率相加為1.

隨機(jī)變量的期望值

定義 :從隨機(jī)分布中重復(fù)抽取樣本所獲得的平均值

X 的期望值: ?

均值 ：

連續(xù)函數(shù)案例：概率分布函數(shù)

一個(gè)隨機(jī)變量 X，可以取任意一組連續(xù)值，其中特定值的相對(duì)概率由連續(xù)概率密度函數(shù) p(x) 給出, 一段連續(xù)的x值形成的面積就是概率.

p(x) 的條件: , 和(概率>0且全部概率相加=1) 一個(gè)意思

期待值:?

隨機(jī)變量的函數(shù)

① 隨機(jī)變量X的函數(shù)Y,也是隨機(jī)變量

② 隨機(jī)變量函數(shù)的期望值

總結(jié)

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