文章目錄

• 前言
• 一、Ornstein-Unlenbeck隨機過程
• 二、MATLAB仿真

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前言

高斯噪聲、均值噪聲、朗之萬噪聲等噪聲由于過于“離散”，有時候反而帶來了理想與實際的偏差。為了更好解釋市場趨勢等時序相關的隨機過程，人們引入了多種隨機模型和估計方法。Ornstein-Unlenbeck (OU)均值回歸過程由Taylor(1986)和Hull(1987)引入，有興趣深入了解可以閱讀原文。由維納過程驅(qū)動的奧恩斯坦-昂倫貝克利率作為單因素短期利率在金融領域被廣泛應用(Kho Chia Chen，2014)。JSV2011年的一篇論文提到在電路系統(tǒng)中也常考慮OU噪聲。

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一、Ornstein-Unlenbeck隨機過程

考慮一個簡單的自由馬爾代夫過程，讓其受到一個維納過程$Z$的驅(qū)動，參考美國伊利諾斯大學高教授的文章，將簡單OU過程定義為：

其中常數(shù)$\lambda >0$。當然，這個形式不太直觀，也不好處理，寫出其特殊的微分形式：

維納過程的微分形式服從高斯分布，因此可以使用更簡單生成的高斯隨機變量替代，這種形式的方程在MATLAB中求解僅需要幾行代碼。當然，還有分數(shù)階自由OU過程以及對OU過程的許多有趣的推論，這里不做過多介紹，有興趣的可以閱讀 Free Ornstein-Uhlenbeck processes 這篇文章。

二、MATLAB仿真

我們常常需要的是均值和方差都很小的噪聲，因此只考慮簡單的OU噪聲即可，MATLAB代碼如下：

tspan = 0:1e-2:50; [t,e]=ode45(@ounoise,tspan,[0]); figure;plot(t,e);xlabel(['OU噪聲，均值：' num2str(mean(e)) '，方差：' num2str(std(e))]); figure;[cor,lag] = xcorr(e,e,'normalized');plot(lag/100,cor); figure;[w,fw] = pwelch(e);plot(fw,w);function dx = ounoise(t,x) tm = 2;%相關時間 deta = pi/2;%標準差 r = 1; dx = -r*x+r*randn(1);%簡單過程 % dx = -1/tm*x+sqrt(2/tm)*deta*randn(1); end

則程序結(jié)果如圖：

通過時序可以看出，在遵從布朗運動的隨機性的同時，OU噪聲不斷向著x軸振蕩修正，這個過程也叫均值回歸。由于使用的高斯噪聲，因此每次運行的結(jié)果略有不同，但是整體分布相似。使用分數(shù)階的OU公式時可以通過修改參數(shù)控制均值、標準和噪聲的相關時間，當然對上述結(jié)果整體加減的改均值也是可行的。OU噪聲的自相關函數(shù)并非是單純的沖激函數(shù)，但是其功率譜與高斯噪聲相似。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的MATLAB系统仿真其三：Ornstein-Uhlenbeck(OU)噪声的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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