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題目描述

牛牛所在的W市是一個不太大的城市，城市有n個路口以及m條公路，這些雙向連通的公路長度均為1，保證你可以從一個城市直接或者間接移動到所有的城市。牛牛在玩寶可夢Go，眾所周知呢，這個游戲需要到城市的各個地方去抓寶可夢，假設現在牛牛知道了接下來將會刷出k只寶可夢，他還知道每只寶可夢的刷新時刻、地點以及該寶可夢的戰斗力，如果在寶可夢刷新時，牛牛恰好在那個路口，他就一定能夠抓住那只寶可夢。

由于游戲公司不想讓有選擇恐懼癥的玩家為難，所以他們設計不存在任何一個時刻同時刷出兩只及以上的寶可夢。

假設不存在任何一個時刻會同時刷出兩只寶可夢，牛牛一開始在城市的1號路口，最開始的時刻為0時刻，牛牛可以在每個時刻之前移動到相鄰他所在位置的路口，當然他也可以保持原地不動，他現在想知道他能夠捕獲的寶可夢戰斗力之和最大為多少？

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輸入描述:

第一行輸入兩個正整數$n,m,(1\le n\le 200,0\le m\le 10000)$表示城市的路口數目以及公路數目。

接下來m行每行兩個正整數$u,v(1\le u,v\le n)$表示一條長度為1鏈接兩個路的公路。

接下來一行輸入一個正整數$k(1\le k\le 10^5)$表示寶可夢的數目。

接下來輸入k行，每行三個正整數$t_i,p_i,va{l}_i(1\le p_i\le n,1\le t_i,va{l}_i\le 10^9)$，分別表示寶可夢刷新的時間、地點、以及戰斗力，輸入數據保證不會出現在同一時刻刷出多只寶可夢。

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輸出描述:

輸出一個整數表示牛牛能捉到的寶可夢戰斗力之和最大是多少。

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輸入

3 2
1 2
2 3
3
1 1 5
2 3 10
3 2 1

1 0
3
1 1 100
100 1 10000
10000 1 1

3 2
1 2
2 3
1
1 3 1000000000

3 2
1 2
2 3
1
1 2 1000000000

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輸出

11

10101

0

1000000000

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備注:

輸入數據保證不會出現在同一時刻刷出多只寶可夢。

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題解

• 既然要在不同的城市移動，想要盡可能捕獲多的寶可夢，那么就需要走最短路：$Floyd$
• 接下來我們需要捕捉寶可夢，很顯然需要按照時間升序將寶可夢排序
• 定義$dp[i]:最后捕獲的寶可夢為i的最大價值$
• 然后我們考慮狀態轉移，可以發現，對于$當前寶可夢所在點po{s}_i$，$前一寶可夢所在點po{s}_j$，如果 $兩只寶可夢刷新時間<=dis[po{s}_i][po{s}_j]$，那么說明可以從 $dp[j]$ 轉移到 $dp[i]$ ，即可以更新 $dp[i]=dp[j]+va{l}_i$
• 注意題目并不保證圖聯通，所以初始化地圖 $dis=inf$
• 目前來看已經可以解決問題了，但是發現寶可夢數量 $k<=1e5$，而 01背包dp過程復雜度$k^2$，時間復雜度肯定是不允許的。
• 我們發現，地圖點數 $n<=200$，因此任意兩點最短路最多是199（為了好看當作200即可）。
  
  考慮上圖情況，如果 $j\to i$時間超過了200，說明我們在這段時間內，可以去到任意位置去找其他寶可夢，可以不從 $j$ 直接到 $i$，那么我們知道01背包內層循環順序是逆序的，也就是說，當我們判斷 $j\to i$ 的時候，我們已經經過了 $k$ 點，也就是說，我們已經得到了 $j\to k\to i$ 的最優解，所以并不需要再次重復計算 $j\to i$。
• 但是我們可以直接讓 $\Delta t>=200$ 的直接跳過么，很顯然不可以，因為如果 $j\to i>=200$，但是實際上 $j\to i$ 的價值更優于 $j\to k\to i$；或者沒有 $k$ 供我們轉移，那么我們就不可以直接跳過 $j$。
• 但其實分析到這里的話，隨便怎么圍繞常熟優化一下都是可以 $Accept$ 的，我采用的是每次找最靠近的 $200$ 個寶可夢，這樣復雜度就是 $O(200k)$ 了。

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AC-Code

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int mod = 1e9 + 7; const int maxn = 2e5 + 7;int dis[201][201];void floyd(int n) {for (int k = 1; k <= n; ++k)for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = 1; j <= n; ++j)dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]); }struct Node {int pos, t, val;Node() {}Node(int pos, int t, int val) :pos(pos), t(t), val(val) {} }node[maxn];ll dp[maxn];int main() {int n, m; while (cin >> n >> m) {for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = 1; j <= n; ++j)dis[i][j] = i == j ? 0 : 0x3f3f3f3f;for (int i = 0; i < m; ++i) {int u, v; cin >> u >> v;dis[u][v] = dis[v][u] = 1;}floyd(n);int k; cin >> k;for (int i = 1; i <= k; ++i) {cin >> node[i].t >> node[i].pos >> node[i].val;dp[i] = -1e18;}sort(node + 1, node + 1 + k, [](Node a, Node b) {return a.t < b.t; });node[0].pos = 1, node[0].t = 0; // 初始化牛牛位置dp[0] = 0;ll ans = 0;for (int i = 1; i <= k; ++i) {for (int j = i - 1; j >= 0; --j) {if (i - j >= 200) break; // 常數優化if (dis[node[i].pos][node[j].pos] <= node[i].t - node[j].t)dp[i] = max(dp[i], dp[j] + node[i].val);}ans = max(ans, dp[i]);}cout << ans << endl;}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2020牛客寒假算法基础集训营3——J.牛牛的宝可梦Go【最短路 DP（01背包） 复杂度优化】（附优化分析）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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