1．簡(jiǎn)介(Brief Introduction)

在學(xué)習(xí)卡爾曼濾波器之前，首先看看為什么叫“卡爾曼”。跟其他著名的理論（例如傅立葉變換，泰勒級(jí)數(shù)等等）一樣，卡爾曼也是一個(gè)人的名字，而跟他們不同的是，他是個(gè)現(xiàn)代人！

卡爾曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利數(shù)學(xué)家，1930年出生于匈牙利首都布達(dá)佩斯。1953，1954年于麻省理工學(xué)院分別獲得電機(jī)工程學(xué)士及碩士學(xué)位。1957年于哥倫比亞大學(xué)獲得博士學(xué)位。我們現(xiàn)在要學(xué)習(xí)的卡爾曼濾波器，正是源于他的博士論文和1960年發(fā)表的論文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（線性濾波與預(yù)測(cè)問(wèn)題的新方法）。如果對(duì)這編論文有興趣，可以到這里的地址下載： http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf

卡爾曼濾波器到底是干嘛的？我們來(lái)看下wiki上的解釋：

卡爾曼濾波的一個(gè)典型實(shí)例是從一組有限的，包含噪聲的，對(duì)物體位置的觀察序列（可能有偏差）預(yù)測(cè)出物體的位置的坐標(biāo)及速度。在很多工程應(yīng)用(如雷達(dá)、計(jì)算機(jī)視覺(jué))中都可以找到它的身影。同時(shí)，卡爾曼濾波也是控制理論以及控制系統(tǒng)工程中的一個(gè)重要課題。例如,對(duì)于雷達(dá)來(lái)說(shuō)，人們感興趣的是其能夠跟蹤目標(biāo)。但目標(biāo)的位置、速度、加速度的測(cè)量值往往在任何時(shí)候都有噪聲?？柭鼮V波利用目標(biāo)的動(dòng)態(tài)信息，設(shè)法去掉噪聲的影響，得到一個(gè)關(guān)于目標(biāo)位置的好的估計(jì)。這個(gè)估計(jì)可以是對(duì)當(dāng)前目標(biāo)位置的估計(jì)(濾波)，也可以是對(duì)于將來(lái)位置的估計(jì)(預(yù)測(cè))，也可以是對(duì)過(guò)去位置的估計(jì)(插值或平滑)。

斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次實(shí)現(xiàn)了卡爾曼濾波器?？柭贜ASA埃姆斯研究中心訪問(wèn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的方法對(duì)于解決阿波羅計(jì)劃的軌道預(yù)測(cè)很有用，后來(lái)阿波羅飛船的導(dǎo)航電腦便使用了這種濾波器。 關(guān)于這種濾波器的論文由Swerling (1958)、Kalman (1960)與 Kalman and Bucy (1961)發(fā)表。

目前,卡爾曼濾波已經(jīng)有很多不同的實(shí)現(xiàn).卡爾曼最初提出的形式現(xiàn)在一般稱為簡(jiǎn)單卡爾曼濾波器。除此以外，還有施密特?cái)U(kuò)展濾波器、信息濾波器以及很多Bierman, Thornton 開(kāi)發(fā)的平方根濾波器的變種。也許最常見(jiàn)的卡爾曼濾波器是鎖相環(huán)，它在收音機(jī)、計(jì)算機(jī)和幾乎任何視頻或通訊設(shè)備中廣泛存在。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，卡爾曼濾波器是一個(gè)“optimal recursive data processing algorithm（最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法）”。對(duì)于解決很大部分的問(wèn)題，他是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的。他的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過(guò)30年，包括機(jī)器人導(dǎo)航，控制，傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達(dá)系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等等。近年來(lái)更被應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖像處理，例如頭臉識(shí)別，圖像分割，圖像邊緣檢測(cè)等等。

2．卡爾曼濾波器的介紹（Introduction to the Kalman Filter）

為了可以更加容易的理解卡爾曼濾波器，首先應(yīng)用形象的描述方法來(lái)講解，然后我們結(jié)合其核心的5條公式進(jìn)行進(jìn)一步的說(shuō)明和探索。結(jié)合現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)，其實(shí)卡爾曼的程序相當(dāng)?shù)暮?jiǎn)單，只要你理解了他的那5條公式。
在介紹他的5條公式之前，先讓我們來(lái)根據(jù)下面的例子做個(gè)直觀的解釋。

假設(shè)我們要研究的對(duì)象是一個(gè)房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)判斷，這個(gè)房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設(shè)我們用一分鐘來(lái)做時(shí)間單位）。假設(shè)你對(duì)你的經(jīng)驗(yàn)不是100%的相信，可能會(huì)有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（White Gaussian Noise），也就是這些偏差跟前后時(shí)間是沒(méi)有關(guān)系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我們?cè)诜块g里放一個(gè)溫度計(jì)，但是這個(gè)溫度計(jì)也不準(zhǔn)確的，測(cè)量值會(huì)比實(shí)際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。

好了，現(xiàn)在對(duì)于某一分鐘我們有兩個(gè)有關(guān)于該房間的溫度值：你根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測(cè)值（系統(tǒng)的預(yù)測(cè)值）和溫度計(jì)的值（測(cè)量值）。下面我們要用這兩個(gè)值結(jié)合他們各自的噪聲來(lái)估算出房間的實(shí)際溫度值。
假如我們要估算k時(shí)刻的是實(shí)際溫度值。首先你要根據(jù)k-1時(shí)刻的溫度值，來(lái)預(yù)測(cè)k時(shí)刻的溫度。因?yàn)槟阆嘈艤囟仁呛愣ǖ?#xff0c;所以你會(huì)得到k時(shí)刻的溫度預(yù)測(cè)值是跟k-1時(shí)刻一樣的，假設(shè)是23度，同時(shí)該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3，你對(duì)自己預(yù)測(cè)的不確定度是4度，他們平方相加再開(kāi)方，就是5）。然后，你從溫度計(jì)那里得到了k時(shí)刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時(shí)該值的偏差是4度。

由于我們用于估算k時(shí)刻的實(shí)際溫度有兩個(gè)溫度值，分別是23度和25度。究竟實(shí)際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計(jì)呢？究竟相信誰(shuí)多一點(diǎn)，我們可以用他們的covariance來(lái)判斷。因?yàn)镵g^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我們可以估算出k時(shí)刻的實(shí)際溫度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度?？梢钥闯?#xff0c;因?yàn)闇囟扔?jì)的covariance比較小（比較相信溫度計(jì)），所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計(jì)的值。

現(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時(shí)刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是要進(jìn)入k+1時(shí)刻，進(jìn)行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，好像還沒(méi)看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對(duì)了，在進(jìn)入k+1時(shí)刻之前，我們還要算出k時(shí)刻那個(gè)最優(yōu)值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。這里的5就是上面的k時(shí)刻你預(yù)測(cè)的那個(gè)23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進(jìn)入k+1時(shí)刻以后k時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對(duì)應(yīng)于上面的3）。

就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。他運(yùn)行的很快，而且它只保留了上一時(shí)刻的covariance。上面的Kg，就是卡爾曼增益（Kalman Gain）。他可以隨不同的時(shí)刻而改變他自己的值，是不是很神奇！
下面就要言歸正傳，討論真正工程系統(tǒng)上的卡爾曼。

3． 卡爾曼濾波器算法（The Kalman Filter Algorithm）

在這一部分，我們就來(lái)描述源于Dr Kalman 的卡爾曼濾波器。下面的描述，會(huì)涉及一些基本的概念知識(shí)，包括概率（Probability），隨即變量（Random Variable），高斯或正態(tài)分配（Gaussian Distribution）還有State-space Model等等。但對(duì)于卡爾曼濾波器的詳細(xì)證明，這里不能一一描述。

首先，我們先要引入一個(gè)離散控制過(guò)程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一個(gè)線性隨機(jī)微分方程（Linear Stochastic Difference equation）來(lái)描述，我們結(jié)合下面PPT截圖進(jìn)行說(shuō)明：

上兩式子中，x(k)是k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，u(k)是k時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)的控制量。A和B是系統(tǒng)參數(shù)，對(duì)于多模型系統(tǒng)，他們?yōu)榫仃嚒(k)是k時(shí)刻的測(cè)量值，H是測(cè)量系統(tǒng)的參數(shù)，對(duì)于多測(cè)量系統(tǒng)，H為矩陣。q(k)和r(k)分別表示過(guò)程和測(cè)量的噪聲。他們被假設(shè)成高斯白噪聲(White Gaussian Noise)，他們的covariance分別是Q，R（這里我們假設(shè)他們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化）。

對(duì)于滿足上面的條件(線性隨機(jī)微分系統(tǒng)，過(guò)程和測(cè)量都是高斯白噪聲)，卡爾曼濾波器是最優(yōu)的信息處理器。先給出KF算法的流程和五個(gè)核心更新方程如下：

KF算法

五個(gè)更新方程為：

編寫公式不方便，所以寫成了PDF然后做了截圖粘在了下面，下面就上面的例子和五個(gè)核心的公式對(duì)Kalman算法進(jìn)行下說(shuō)明：

就這樣，算法就可以自回歸的運(yùn)算下去。

看到這聰明的同學(xué)可能已經(jīng)看出來(lái)了，問(wèn)道卡爾曼增益為什么會(huì)是第三步中那樣求，現(xiàn)在只大致說(shuō)一下原理，具體推到比較復(fù)雜，有興趣的同學(xué)可以參考這文獻(xiàn)去推一推。

還記得前面我們說(shuō)的誤差協(xié)方差矩陣$P_k$么，即求第k次最優(yōu)溫度的誤差協(xié)方差矩陣，對(duì)應(yīng)于上例中的3和2.35....這些值?？聪旅鍼PT，我們最小化P即可得到卡爾曼增益K，對(duì)應(yīng)上例求解K只最小化最優(yōu)溫度值的偏差，即最小化P(K)：

我們由第四步可以看出，k時(shí)刻系統(tǒng)的最優(yōu)溫度值=k-1時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)值（由上一狀態(tài)的最優(yōu)溫度值加上過(guò)程誤差）+帶卡爾曼增益權(quán)值項(xiàng)的偏差。如果觀測(cè)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于估計(jì)誤差，那么K就很小，k時(shí)刻的預(yù)測(cè)值約等于k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值，如果對(duì)i時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于觀測(cè)誤差，此時(shí)相應(yīng)的q較大，K較大，i時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值更傾向于觀察的數(shù)據(jù)。

卡爾曼濾波器的原理基本描述就完成了，希望能幫助大家理解這這5個(gè)公式，其算法可以很容易的用計(jì)算機(jī)的程序?qū)崿F(xiàn)。下面，我會(huì)用程序舉一個(gè)實(shí)際運(yùn)行的例子。

4． 簡(jiǎn)單例子（A Simple Example）
這里我們結(jié)合第二第三節(jié)，舉一個(gè)非常簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明卡爾曼濾波器的工作過(guò)程。所舉的例子是進(jìn)一步描述第二節(jié)的例子，而且還會(huì)配以程序模擬結(jié)果。

根第二節(jié)的描述，把房間看成一個(gè)系統(tǒng)，然后對(duì)這個(gè)系統(tǒng)建模。當(dāng)然，我們見(jiàn)的模型不需要非常地精確。我們所知道的這個(gè)房間的溫度是跟前一時(shí)刻的溫度相同的，所以A=1。沒(méi)有控制量，所以u(píng)(k)=0。因此得出：
x(k|k-1)=x(k-1|k-1) ……… (6)
式子（2）可以改成：
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)

因?yàn)闇y(cè)量的值是溫度計(jì)的，跟溫度直接對(duì)應(yīng)，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)

現(xiàn)在我們模擬一組測(cè)量值作為輸入。假設(shè)房間的真實(shí)溫度為25度，我模擬了200個(gè)測(cè)量值，這些測(cè)量值的平均值為25度，但是加入了標(biāo)準(zhǔn)偏差為幾度的高斯白噪聲（在圖中為藍(lán)線）。

為了令卡爾曼濾波器開(kāi)始工作，我們需要告訴卡爾曼兩個(gè)零時(shí)刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他們的值不用太在意，隨便給一個(gè)就可以了，因?yàn)殡S著卡爾曼的工作，X會(huì)逐漸的收斂。但是對(duì)于P，一般不要取0，因?yàn)檫@樣可能會(huì)令卡爾曼完全相信你給定的X(0|0)是系統(tǒng)最優(yōu)的，從而使算法不能收斂。我選了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。

該系統(tǒng)的真實(shí)溫度為25度，圖中用黑線表示。圖中紅線是卡爾曼濾波器輸出的最優(yōu)化結(jié)果（該結(jié)果在算法中設(shè)置了Q=1e-6，R=1e-1）。

附matlab下面的kalman濾波程序：

clear????

N=200;????

w(1)=0;???????????????????? %w為過(guò)程噪聲??

w=randn(1,N)????

x(1)=25;????

a=1;??????????????????????? %a為方程中A(k)??

for k=2:N;????

x(k)=a*x(k-1)+w(k-1);????

end????

V=randn(1,N);?????????????? %V為觀察噪聲??

q1=std(V);????

Rvv=q1.^2;????

q2=std(x);????

Rxx=q2.^2;?????

q3=std(w);????

Rww=q3.^2;????

c=0.2;????????????????????? %c為方程中H(k)??

Y=c*x+V;??????????????????? %Y為觀察值??

p(1)=0;????

s(1)=0;????

for t=2:N;????

p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww;???? %p1為方程中p'??

b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv);????

s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1));????

p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);????

end????

t=1:N;????

plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b');?

更為詳細(xì)的過(guò)程可參考有關(guān)的資料。

文章參考了：

1 博文http://hi.baidu.com/irvkqscjezbrtwq/item/4ad3bb018b8c7e37a3332a07

2 自動(dòng)化所董秋雷上課課件

3 《學(xué)習(xí)Opencv》 于仕琪 P384 kalman濾波器部分

4 如果做視頻跟蹤具體參數(shù)選擇可參考《數(shù)字視頻處理》黎洪松 P102-106

5 如果想探索其具體推導(dǎo)過(guò)程可參考《現(xiàn)代信號(hào)處理》 張賢達(dá) P177-188

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的卡尔曼滤波简介（转载）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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