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題目描述

思路分析

AC代碼

深入思考

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題目描述

給出一個(gè)由n個(gè)正整數(shù)組成的數(shù)組。您的任務(wù)是找到給定數(shù)組的遞增子數(shù)組的最大長(zhǎng)度。

遞增子數(shù)組由數(shù)組中若干個(gè)連續(xù)元素組成，且子數(shù)組中的每個(gè)元素嚴(yán)格地大于前一個(gè)元素。

【輸入形式】

第一行為一個(gè)正整數(shù)n(1≤n≤)，表示數(shù)組元素的個(gè)數(shù)

第二行給出n個(gè)正整數(shù)a1?a2......an? （1≤ai≤） ，整數(shù)之間使用空格分隔
【輸出形式】

輸出最大遞增子數(shù)組的長(zhǎng)度
【樣例輸入】

5 1?7?2?11?15

【樣例輸出】

3

【樣例說(shuō)明】

1 7可以構(gòu)成一個(gè)遞增子數(shù)組

2 11 15可以構(gòu)成一個(gè)遞增子數(shù)組

所以本樣例的輸出結(jié)果為3

思路分析

直接采用窮舉法，二重循環(huán)遍歷，時(shí)間復(fù)雜度為O()。

設(shè)一個(gè)數(shù)組int arr:

0	1	2	3	4
1	7	2	11	5

設(shè)整型變量cnt=1（任意長(zhǎng)度大于0數(shù)組的最長(zhǎng)連續(xù)遞增子序列最小長(zhǎng)度為1），記錄當(dāng)前子數(shù)組最長(zhǎng)連續(xù)遞增子序列的長(zhǎng)度。子數(shù)組分割方法如下：

第一次	arr[0],arr[1],arr[2],arr[3],arr[4]	cnt=2
第二次	arr[1],arr[2],arr[3],arr[4]	cnt=1
第三次	arr[2],arr[3],arr[4]	cnt=3
第四次	arr[3],arr[4]	cnt=1
第五次	arr[4]	cnt=1

最終結(jié)果輸出3。

AC代碼

#include <iostream> #include<stdio.h> using namespace std; int arr[100000]={0}; int main() {int n;cin >> n;for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&arr[i]);}int Max=0;for(int i=0;i<n;i++){int cnt=1;for(int j=i;j<n-1;j++){if(arr[j]<arr[j+1]){cnt++;}else{break;}}if(cnt>Max)//取所有cnt中的最大值{Max=cnt;}}printf("%d\n",Max); }

深入思考

其實(shí)這題是一個(gè)典型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的變式。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本知識(shí)：

?動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法通常用于求解具有某種最優(yōu)性質(zhì)的問(wèn)題。在這類(lèi)問(wèn)題中，可能會(huì)有許多可行解。每一個(gè)解都對(duì)應(yīng)于一個(gè)值，我們希望找到具有最優(yōu)值的解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法與分治法類(lèi)似，其基本思想也是將待求解問(wèn)題分解成若干個(gè)子問(wèn)題，先求解子問(wèn)題，然后從這些子問(wèn)題的解得到原問(wèn)題的解。與分治法不同的是，適合于用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解的問(wèn)題，經(jīng)分解得到子問(wèn)題往往不是互相獨(dú)立的。若用分治法來(lái)解這類(lèi)問(wèn)題，則分解得到的子問(wèn)題數(shù)目太多，有些子問(wèn)題被重復(fù)計(jì)算了很多次。如果我們能夠保存已解決的子問(wèn)題的答案，而在需要時(shí)再找出已求得的答案，這樣就可以避免大量的重復(fù)計(jì)算，節(jié)省時(shí)間。我們可以用一個(gè)表來(lái)記錄所有已解的子問(wèn)題的答案。不管該子問(wèn)題以后是否被用到，只要它被計(jì)算過(guò)，就將其結(jié)果填入表中。這就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的基本思路。具體的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法多種多樣，但它們具有相同的填表格式。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法跟數(shù)組有著密切的關(guān)系，因此推薦大家在分析動(dòng)態(tài)規(guī)劃的算法時(shí)畫(huà)一張表格（建議使用excel）分析解決問(wèn)題往往能夠事半功倍。
（引自?CSDN博主「靜篤歸心方得平和心氣]
原文鏈接：https://blog.csdn.net/weixin_42182348/article/details/90814032)

最大遞增子數(shù)組問(wèn)題（不要求連續(xù)）

給定數(shù)組arr，返回arr的最長(zhǎng)遞增子序列（Longest increasing subsequence，LIS）的長(zhǎng)度，比如arr=[2,1,5,3,6,4,8,9,7]，最長(zhǎng)遞增子序列為[1,3,4,8,9]返回其長(zhǎng)度為5。

那么，這個(gè)問(wèn)題怎么用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解呢？

設(shè)f[i]表示必須以arr[i]結(jié)尾的所有子數(shù)組的LIS。要計(jì)算f[i]，就要考察i之前的所有位置（0到i-1，這就是代碼內(nèi)層for的控制變量j的變化范圍），找到最大的f[j]。f[j]代表以arr[j]結(jié)尾的子數(shù)組中最大遞增子序列的長(zhǎng)度。

注意到，由于它是遞增的，因此arr[j]就是子序列的最大值。如果arr[i]比arr[j]還大，那就一定大于該序列中的其他數(shù)，能夠構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)度+1的LIS。這就是if中的第一個(gè)條件的來(lái)源。

第二個(gè)條件是為了保證更新f[i]的結(jié)果是得到更大的f[i]值。說(shuō)起來(lái)不太直觀，請(qǐng)看下表。

序號(hào)i	0	1	2	3	4	...
arr[i]	11	13	19	5	21	...
f[i]	1	2	3	1	？	...

此刻i=4。假設(shè)沒(méi)有if中的第二個(gè)條件（f[i]<f[j]+1），求f[4]的詳細(xì)過(guò)程為：

j	0	1	2	3
f[4]	2	3	4	2

arr[0]<arr[4]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f[4]=f[0]+1=2

arr[1]<arr[4]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f[4]=f[1]+1=3

arr[2]<arr[4]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f[4]=f[2]+1=4

arr[3]<arr[4] 但是此時(shí)f[3]=1,f[4]=4(見(jiàn)上一行), 不滿足f[i]<f[j]+1。更新后?f[4]=f[3]+1=2(反而變小了)

而帶上（f[i]<f[j]+1）這個(gè)條件的話，j=3這次循環(huán)就不會(huì)更新f[4]的值，最終算出f[4]的正確值為4。

代碼

#include <iostream> #include<stdio.h> using namespace std; int arr[100000]={0}; int f[100000]={0};//記錄子數(shù)組的LIS。 int main() {int n;cin >> n;for(int i=0;i<n;i++){cin >> arr[i];f[i]=1;//初始化}int Max=0;//記錄以不同元素結(jié)尾的子數(shù)組的LIS的最大值。for(int i=1;i<n;i++){for(int j=0;j<i;j++){if((arr[j]<arr[i])&& (f[i]<f[j]+1)){f[i]=f[j]+1;//f[i]記錄了必須以arr[i]結(jié)尾時(shí)所有子數(shù)組的LIS。}}if(f[i]>Max){Max=f[i];}}cout << Max << endl;return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的HNU暑假程序设计训练 0419的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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