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題目描述

思路分析

AC代碼

深入思考

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題目描述

給出一個由n個正整數組成的數組。您的任務是找到給定數組的遞增子數組的最大長度。

遞增子數組由數組中若干個連續元素組成，且子數組中的每個元素嚴格地大于前一個元素。

【輸入形式】

第一行為一個正整數n(1≤n≤)，表示數組元素的個數

第二行給出n個正整數a1?a2......an? （1≤ai≤） ，整數之間使用空格分隔
【輸出形式】

輸出最大遞增子數組的長度
【樣例輸入】

5 1?7?2?11?15

【樣例輸出】

3

【樣例說明】

1 7可以構成一個遞增子數組

2 11 15可以構成一個遞增子數組

所以本樣例的輸出結果為3

思路分析

直接采用窮舉法，二重循環遍歷，時間復雜度為O()。

設一個數組int arr:

0	1	2	3	4
1	7	2	11	5

設整型變量cnt=1（任意長度大于0數組的最長連續遞增子序列最小長度為1），記錄當前子數組最長連續遞增子序列的長度。子數組分割方法如下：

第一次	arr[0],arr[1],arr[2],arr[3],arr[4]	cnt=2
第二次	arr[1],arr[2],arr[3],arr[4]	cnt=1
第三次	arr[2],arr[3],arr[4]	cnt=3
第四次	arr[3],arr[4]	cnt=1
第五次	arr[4]	cnt=1

最終結果輸出3。

AC代碼

#include <iostream> #include<stdio.h> using namespace std; int arr[100000]={0}; int main() {int n;cin >> n;for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&arr[i]);}int Max=0;for(int i=0;i<n;i++){int cnt=1;for(int j=i;j<n-1;j++){if(arr[j]<arr[j+1]){cnt++;}else{break;}}if(cnt>Max)//取所有cnt中的最大值{Max=cnt;}}printf("%d\n",Max); }

深入思考

其實這題是一個典型的動態規劃問題的變式。

動態規劃基本知識：

?動態規劃算法通常用于求解具有某種最優性質的問題。在這類問題中，可能會有許多可行解。每一個解都對應于一個值，我們希望找到具有最優值的解。動態規劃算法與分治法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然后從這些子問題的解得到原問題的解。與分治法不同的是，適合于用動態規劃求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的。若用分治法來解這類問題，則分解得到的子問題數目太多，有些子問題被重復計算了很多次。如果我們能夠保存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，這樣就可以避免大量的重復計算，節省時間。我們可以用一個表來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以后是否被用到，只要它被計算過，就將其結果填入表中。這就是動態規劃法的基本思路。具體的動態規劃算法多種多樣，但它們具有相同的填表格式。

動態規劃算法跟數組有著密切的關系，因此推薦大家在分析動態規劃的算法時畫一張表格（建議使用excel）分析解決問題往往能夠事半功倍。
（引自?CSDN博主「靜篤歸心方得平和心氣]
原文鏈接：https://blog.csdn.net/weixin_42182348/article/details/90814032)

最大遞增子數組問題（不要求連續）

給定數組arr，返回arr的最長遞增子序列（Longest increasing subsequence，LIS）的長度，比如arr=[2,1,5,3,6,4,8,9,7]，最長遞增子序列為[1,3,4,8,9]返回其長度為5。

那么，這個問題怎么用動態規劃法求解呢？

設f[i]表示必須以arr[i]結尾的所有子數組的LIS。要計算f[i]，就要考察i之前的所有位置（0到i-1，這就是代碼內層for的控制變量j的變化范圍），找到最大的f[j]。f[j]代表以arr[j]結尾的子數組中最大遞增子序列的長度。

注意到，由于它是遞增的，因此arr[j]就是子序列的最大值。如果arr[i]比arr[j]還大，那就一定大于該序列中的其他數，能夠構成一個長度+1的LIS。這就是if中的第一個條件的來源。

第二個條件是為了保證更新f[i]的結果是得到更大的f[i]值。說起來不太直觀，請看下表。

序號i	0	1	2	3	4	...
arr[i]	11	13	19	5	21	...
f[i]	1	2	3	1	？	...

此刻i=4。假設沒有if中的第二個條件（f[i]<f[j]+1），求f[4]的詳細過程為：

j	0	1	2	3
f[4]	2	3	4	2

arr[0]<arr[4]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f[4]=f[0]+1=2

arr[1]<arr[4]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f[4]=f[1]+1=3

arr[2]<arr[4]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f[4]=f[2]+1=4

arr[3]<arr[4] 但是此時f[3]=1,f[4]=4(見上一行), 不滿足f[i]<f[j]+1。更新后?f[4]=f[3]+1=2(反而變小了)

而帶上（f[i]<f[j]+1）這個條件的話，j=3這次循環就不會更新f[4]的值，最終算出f[4]的正確值為4。

代碼

#include <iostream> #include<stdio.h> using namespace std; int arr[100000]={0}; int f[100000]={0};//記錄子數組的LIS。 int main() {int n;cin >> n;for(int i=0;i<n;i++){cin >> arr[i];f[i]=1;//初始化}int Max=0;//記錄以不同元素結尾的子數組的LIS的最大值。for(int i=1;i<n;i++){for(int j=0;j<i;j++){if((arr[j]<arr[i])&& (f[i]<f[j]+1)){f[i]=f[j]+1;//f[i]記錄了必須以arr[i]結尾時所有子數組的LIS。}}if(f[i]>Max){Max=f[i];}}cout << Max << endl;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的HNU暑假程序设计训练 0419的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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