遞歸

遞歸在算法中具有很重要的地位，也是很多學(xué)習(xí)編程的初學(xué)者非常頭疼的問(wèn)題，看我的這篇文章，希望能為還處于迷霧中的你帶來(lái)希望

首先我們要知道遞歸的作用：

1.可替代多重循環(huán)

2.解決本來(lái)就是用遞歸形式定義的問(wèn)題

3.將問(wèn)題分解為規(guī)模更小的子問(wèn)題進(jìn)行求解

其實(shí)對(duì)于我來(lái)說(shuō)，遞歸非常重要的原因在于可以替代多重循環(huán)，當(dāng)循環(huán)過(guò)大時(shí)，會(huì)給計(jì)算機(jī)相當(dāng)大的負(fù)荷，一時(shí)半會(huì)很難出結(jié)果，這時(shí)候我們就需要運(yùn)用到遞歸這個(gè)手段。這里我會(huì)把知識(shí)由淺入深，以舉例的方式讓各位登堂入室，話不多說(shuō)，直接上干貨。

1.求階乘

遞歸的基本概念就是一個(gè)函數(shù)調(diào)用其自身
我們都知道如何求階乘，這是我們初中數(shù)學(xué)就學(xué)了的內(nèi)容，那么如何用編程的思維解決這個(gè)問(wèn)題呢
對(duì)于遞歸，我們首先要明確問(wèn)題是什么，把抽象事物具體化

接下來(lái)我們需要厘清遞歸中的表達(dá)式或者關(guān)系
然后找到遞歸結(jié)束條件，也就是遞歸出口——不遞歸的條件。如果沒(méi)有遞歸出口，那么函數(shù)只會(huì)像一個(gè)無(wú)底洞，結(jié)果大失所望
這是對(duì)應(yīng)的C代碼

#include<stdio.h>int Factorial(int n) {if(n == 0)return 1;elsereturn n * Factorial(n - 1); }int main() {printf("%d\n",Factorial(5));return 0; }

其實(shí)遞歸很耗費(fèi)內(nèi)存資源的，因?yàn)槊看握{(diào)用一下自身就會(huì)需要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)新的棧來(lái)存放。
為了加深印象，我把程序改一下

#include<stdio.h>int f(int n) {if(n > 1)f(n - 1);printf("n = %d\n",n); }int main() {f(5);printf("%d\n",f(5)); //printf的值是遞歸函數(shù)最后一行的雙引號(hào)內(nèi)的字符串的長(zhǎng)度 return 0; }

具體函數(shù)調(diào)用分析如下圖

每次一個(gè)遞歸調(diào)用完后，所在的棧空間也會(huì)被立即釋放，得到的結(jié)果會(huì)返回上一個(gè)棧，直到函數(shù)結(jié)束
既然基本套路熟悉了，我想帶大家聊聊遞歸中很經(jīng)典的問(wèn)題，不用猜也知道，漢諾塔問(wèn)題

2.Hanoi問(wèn)題

這個(gè)問(wèn)題為什么說(shuō)是經(jīng)典呢，因?yàn)樗莻€(gè)簡(jiǎn)單又很精髓的遞歸問(wèn)題
通過(guò)該問(wèn)題，你可以知道遞歸還有一個(gè)重要特點(diǎn)，就是把細(xì)節(jié)模塊化，以整體的思想看待問(wèn)題。

首先分情況討論，
1.原目標(biāo)塔上只有一個(gè)盤子，那么我們直接將盤子從A移到C即可
2.原目標(biāo)塔上有不止一個(gè)盤子，又由于大盤在下小盤在下的規(guī)定，我們可以先將A座的盤子都移到B座以C為中間“變量”，當(dāng)A座只剩最后一個(gè)盤子，也就是全場(chǎng)最大的盤子，將其移到C座，然后以A為中間“變量”，將B座盤子移到C座

具體C代碼如下

#include<stdio.h>void Hanoi(int n, char src, char mid, char dest) {if(n == 1){printf("%c -> %c \n", src, dest);}else{Hanoi(n - 1, src, dest, mid); // printf("%c -> %c \n", src, dest);Hanoi(1, src, mid, dest);Hanoi(n - 1, mid, src, dest);}}int main() {int n;printf("Please enter number : ");scanf("%d",&n);Hanoi(n, 'A', 'B', 'C');return 0; }

對(duì)于遞歸，記住不要糾結(jié)具體細(xì)節(jié)，把握整體框架最為重要！

這里還有一個(gè)小練習(xí)，關(guān)于求最大公約數(shù)的問(wèn)題，比方說(shuō)求12和8的最大公約數(shù)，你可以先想想，然后再看我的代碼答案，記得，要用遞歸做哦！

#include<stdio.h>int gcd(int a, int b) {if(b == 0)return a;elsereturn gcd(b, a % b); }int main() {printf("%d\n",gcd(12,8)); }

是不是很簡(jiǎn)單，遞歸有的時(shí)候就有點(diǎn)像函數(shù)調(diào)用，它只是比較特殊，它只是總是在調(diào)用自己罷了。如果除數(shù)等于零，那么被除數(shù)就是最大公約數(shù)，如果除數(shù)不等于零，那么就把b的值給a，b的值變?yōu)閍 % b。遞歸還有一個(gè)特點(diǎn)，就是以十分簡(jiǎn)易的代碼實(shí)現(xiàn)了值的互換或者修改

3.N皇后問(wèn)題

N皇后問(wèn)題是八皇后問(wèn)題的延伸，要求在NxN格的國(guó)際象棋上擺放N個(gè)皇后，使其不能互相攻擊，即任意兩個(gè)皇后都不能處于同一行、同一列或同一斜線上，問(wèn)有多少種擺法。

#include<stdio.h> #include<math.h>int queenPos[100]; int N;void NQueen(int k) //在0~k-1行皇后擺好的情況下擺第k行的皇后 {int i;if(k == N){for(i = 0; i < N; i++)printf("%d ",queenPos[i] + 1);printf("\n");}else{for(i = 0; i < N; i++) //逐步嘗試第k個(gè)皇后的列位置 {int j;for(j = 0; j < k; j++){if(queenPos[j] == i || abs(k - j) == abs(queenPos[j] - i))break;}if(j == k){queenPos[k] = i;NQueen(k + 1);}}} } int main() {scanf("%d",&N);NQueen(0);return 0; }

這里我們不妨設(shè)最多有100個(gè)皇后，定義數(shù)組queenPos[100]，然后再設(shè)全局變量N用于記錄有多少皇后，NQueen（int k）是用于記錄在0~k-1行皇后擺好的情況下擺第k行的皇后。如果全都擺好了，即k == N，那么把可能擺放位置的其中一種輸出，如果棧都退完了那么就結(jié)束了，否則銷毀當(dāng)前這個(gè)棧再往回退棧。如果k != N，那么先循環(huán)遍歷N個(gè)可能的位置給第k行的皇后，然后再把暫時(shí)確定的第k行皇后的位置與前k-1行所有皇后比較，如果有產(chǎn)生沖突的則再改變第k行皇后的位置。如果j==k,那么就確定第k行皇后的位置，同時(shí)進(jìn)入下一層NQueen(k+1)。
這就是這個(gè)遞歸的思路
四皇后是N皇后最小的底線，大家可以試一試，答案是

4.逆波蘭表達(dá)式

逆波蘭表達(dá)式的定義：
1）一個(gè)數(shù)是一個(gè)逆波蘭表達(dá)式，值為該數(shù)；
2）“運(yùn)算符 逆波蘭表達(dá)式 逆波蘭表達(dá)式”是逆波蘭表達(dá)式，值為兩個(gè)逆波蘭表達(dá)式的值運(yùn)算結(jié)果。

這里我不妨設(shè)整個(gè)表達(dá)式所占的大小不超過(guò)20個(gè)字符，代碼如下：

#include<stdio.h> #include<stdlib.h>double exp() {char s[20];scanf("%s",s);switch(s[0]){case '+' :return exp() + exp();case '-' :return exp() - exp();case '*' : return exp() * exp();case '/' : return exp() / exp();default : return atof(s);break;} }int main() {printf("%lf",exp());return 0; }

atof()函數(shù)是stdlib.h中的函數(shù)，將字符串內(nèi)容轉(zhuǎn)化成double類型。
當(dāng)輸入* + 1 2 - 8 6
結(jié)果為

5.爬樓梯

LiHua爬樓梯，每次可以走1級(jí)或者兩級(jí)，要求輸入樓梯級(jí)數(shù)，求不同的走法數(shù)

這里我們可以吧問(wèn)題拆分細(xì)小化

n級(jí)臺(tái)階的走法 = n - 1 級(jí)臺(tái)階走法 + n - 2 級(jí)臺(tái)階走法

例如共有5級(jí)臺(tái)階，可拆分成第一步走一級(jí)和第一步走兩級(jí)的走法，然后再?gòu)牡谝徊阶咭患?jí)再細(xì)分之后的臺(tái)階走法。

C代碼如下：

#include<stdio.h>int N;int stairs(int n) {if(n < 0)return 0;if(n == 0)return 1;if(n == 1)return 1;if(n == 2)return 2;return stairs(n - 1) + stairs(n - 2); }int main() {scanf("%d", &N);printf("%d\n", stairs(N));return 0; }

這里還有一個(gè)類似爬樓梯的題目，可以參照這篇博客2020 計(jì)蒜客藍(lán)橋杯省賽 B 組模擬賽（一）題解2.爬樓梯

6.放蘋果

關(guān)于遞歸最重要的無(wú)非是遞歸表達(dá)式和遞歸終止條件。
首先分析，需要輸入蘋果數(shù)和盤子數(shù)。關(guān)于兩者的數(shù)目就存在兩種情況：
1、蘋果數(shù)n大于盤子數(shù)m，n > m時(shí)，f(n,m) = f(m,m)；
2、蘋果數(shù)n小于等于盤子數(shù)m，n <= m時(shí)，f(n,m) = f(n, m - 1) + f(n - m,m),即有盤子為空的放法 + 無(wú)盤子為空放法。

詳細(xì)代碼如下：

#include<stdio.h>int f(int n, int m) {if(n < m)return f(n, n);if(n == 0)return 0;if(m == 0)return 1;elsereturn f(n, m - 1) + f(n - m, m); }int main() {int t, n, m, i;scanf("%d", &t);for(i = 0; i < t; i++){scanf("%d %d", &n, &m);printf("%d\n", f(n, m));}return 0; }

三個(gè)蘋果三個(gè)盤子就是4

經(jīng)過(guò)這么多練習(xí)可以發(fā)現(xiàn)，遞歸很多時(shí)候都用于直接就出結(jié)果，不在意輸出過(guò)程的題目。

7.全排列

全排列是遞歸中非常重要的知識(shí)點(diǎn)，在深度學(xué)習(xí)中的用處很廣。比方說(shuō)我對(duì)1、2、3、4、5進(jìn)行全排列，那么如下圖所示

首先讓第一個(gè)位置有n種擺法，然后就只用考慮p+1到q的全排列了，把一個(gè)大的全排列分解為一層層嵌套的子問(wèn)題這便是遞歸思想，注意最后還要把交換過(guò)的元素?fù)Q回來(lái)，要不然會(huì)使一些情況重復(fù)。
詳細(xì)代碼如下

#include<stdio.h>void swap(int A[], int i, int j) {int temp = A[i];A[i] = A[j];A[j] = temp; } void printArray(int A[], int n) {int i;for(i = 0; i < n; i++){printf("%d ", A[i]);}printf("\n"); }void perm(int A[], int p, int q) {if(p == q)printArray(A, q + 1);else{int i;for(i = p; i <= q; i++){swap(A, p, i);perm(A, p + 1, q);swap(A, p, i);}} }int main() {int A[5] = {1, 2, 3, 4, 5};perm(A, 0, 4); }

這里還有一個(gè)類似的全排列題型，可以參看博文藍(lán)橋杯2015第六屆C語(yǔ)言B組省賽習(xí)題題解——習(xí)題E.九數(shù)組分?jǐn)?shù)

這里我列出九數(shù)組分?jǐn)?shù)的代碼，你們可以觀察一下，思路其實(shí)都是一樣的，先swap然后遞歸再swap換回來(lái)。

#include <stdio.h>void test(int x[]) {int a = x[0]*1000 + x[1]*100 + x[2]*10 + x[3];int b = x[4]*10000 + x[5]*1000 + x[6]*100 + x[7]*10 + x[8];if(a*3==b) printf("%d / %d\n", a, b); }void f(int x[], int k) {int i,t;if(k>=9){test(x);return;}for(i=k; i<9; i++){{t=x[k]; x[k]=x[i]; x[i]=t;}f(x,k+1);t=x[k]; x[k]=x[i]; x[i]=t; // 填空處} }int main() {int x[] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9};f(x,0); return 0; }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法一：递归（包含Hanoi问题、N皇后问题、逆波兰表达式、爬楼梯、放苹果、全排列）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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