之所以記錄一下簡諧震動，是因為最近在看拉普拉斯變換的時候，發(fā)現(xiàn)簡諧震動和正弦有關(guān)系，正弦和傅里葉級數(shù)有關(guān)，傅里葉級數(shù)直接導出傅里葉變換，而傅里葉變換是拉普拉斯變換的一個特例，所以從簡單的簡諧運動開始分析，記錄一下學習的足跡．

簡諧運動，又稱為簡諧震動，諧震，SHM(simple Harmonic motion), 即是最簡單也最基本的一種機械震動，當某物體進行簡諧運動時，物體所受到的力跟位移成正比，并且力總是指向平衡位置．

如果用表示物體收到的回復力，用表示物體對于平衡位置的位移，根據(jù)胡克定律，正比于,她們之間的關(guān)系可以用下式來表示：

式中的是回復力與位移成正比的比例系數(shù)，負號的意思是，會復力的方向總跟物體位移的方向相反．

根據(jù)牛二定律

一定質(zhì)量的物體，加速度和物體所收到的和外力大小成正比，跟合力的方向相同，并且如果是孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的機械能守恒．

動力學方程：

對于簡諧運動，其動力學方程是２階微分方程，可以由牛頓第二運動定律得到：

所以：

也就是：

這是一個二階常系數(shù)齊次線性微分方程

可以先求出它的兩個解,如果他們的比不為常數(shù)，也就是線性無關(guān)，那么

就是方程的一個通解．

當為常數(shù)時，指數(shù)函數(shù)和它的各階導數(shù)都只相差一個常數(shù)因子，由于指數(shù)函數(shù)這個特點，我們可以用來嘗試，看能佛選取適當?shù)?#xff0c;使得滿足上面方程的解.

所以:

所以

所以，它的兩個特根為：

所以：

所以，方程的通解是：

轉(zhuǎn)換形式：

是由初始條件決定的常數(shù)，取平衡位置為原點，每一項都有物理意義，是振幅，是角頻率，是相位．

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根據(jù)速度，加速度與位移量的關(guān)系，可以得到：

機械能守恒:

系統(tǒng)總機械能為動能+彈簧勢能:

?

所以

能量守恒得證，根據(jù)這個結(jié)果，系統(tǒng)的總能量和彈性系數(shù)以及最大振幅有關(guān)，說白了，在時刻，施加給系統(tǒng)的第一推動位置，決定了系統(tǒng)的總能量。

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?一圖勝千言，看Geogebra如何描繪整個過程：

最外面藍色圓圈表示位移變化，中間的綠色圓表示速度變化，最內(nèi)層紅色圓表示加速度的變化。

數(shù)學中有一類特殊的函數(shù)，它們有著非常良好的特性，比如三角函數(shù)，e指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)等等，你可以對它們不停求導而不會遇到奇點，也可以對它們進行泰勒展開，得到的收斂半徑無窮大。更為特殊的是，某種意義上，它們似乎是構(gòu)成其它函數(shù)的“元”函數(shù)，大部分的函數(shù)都可以用以上幾類函數(shù)做近似表示，它將我們從時域帶入頻域，進入另一個和我們的世界對偶的新世界。為什么三角函數(shù)這么特殊？這是科學家討論的話題，我等小民無從知曉，不過，冥冥中有種感覺，這種基礎(chǔ)的問題可能會將我們導向研究世界的本質(zhì)，現(xiàn)代物理認為世界上的大部分現(xiàn)象都與波有關(guān)，包括宏觀物體物質(zhì)波，或許這種關(guān)系里面隱藏著更為深刻的真相，現(xiàn)代宇宙學中的“弦理論”，認為世界十一維的，所有的物質(zhì)都是由極其微小的單元”弦“構(gòu)成，弦的震動構(gòu)成了多姿多彩的世界，又是震動，又是圓，這中間，是否蘊藏著某種更本質(zhì)的東西等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。

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結(jié)束！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的简谐震动简单分析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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