題目描述

給定數組arr，數組中所有的值都為正數，且不為空不重復。數組中每個數代表一種貨幣的面值，每種面值的貨幣可以使用任意張，然后，給一個aim，代表要換錢的面值，請問，用數組中的面值換錢，總共有多少種方式？

暴力遞歸思路

遞歸的第一步，將問題劃分為更小的子問題，比如，數組arr[1，5，10]這三種面值的貨幣，aim=1000。首先，可以先取出第一種面值。假如，第一種1元的有0張，那么問題就劃分為arr=[5，10]，aim=1000；如果第一種1元的有1張，問題就劃分為arr=[5，10]，aim=999。依此類推，直到第一種貨幣的面值一元有1000張時，也就是超過aim，那么，第一種的所有結果都例舉出來了。
因此，從上面分析中抽象出遞歸函數。首先，遞歸函數需要記錄arr，和目前是第幾種貨幣面值，也就是數組的索引，其次，還需要記錄aim，當aim為0時，就找到一種換錢方法。
遞歸的出口是，數組遍歷完最后一個，此時aim恰好為0，說明找到一個換錢方法，不為零，就不是，當然，不對的情況包含aim大于和小于的情況。
遞歸方法，就是設定一個res記錄當前符合的換錢方式，遇到出口就返回1或0，否則，就繼續向下遞歸。
遞歸代碼

public static int process(int[] arr,int index,int aim){int res=0;if(index==arr.length){res = aim==0 ? 1:0;}else {for (int i = 0; i*arr[index]<=aim; i++) {res+=process(arr,index+1,aim-i*arr[index]);}}return res;}

記憶搜索法

暴力遞歸時間復雜度高的根本原因，就是存在大量的重復操作，而重復操作之所以大量發生，是因為在遞歸的過程中，很多重復計算的結果沒有記錄下來，才會導致重復計算。
因此，記憶搜索法其實也很簡單，就是把每一步遞歸的結果放入一個map中，然后每次遞歸前，先檢查map中有沒有，如果已經有結果，直接取出來，就不需要重復計算了。

動態規劃法

第一步，判斷是否可行？本題中間遞歸結果是不依賴前面的路徑的，因此可行。
第二步，畫圖，找出遞歸過程的變化量，index和aim，畫圖。
第三步，標記結果位置，此題的結果位置為index0，aim1000。
第四步，填入已知數據，已知數據為indexarr.length這一行，aim0的位置填返回值1，其他都是0。
第五步，根據已知結果，結合遞歸函數，我們已知了最后一行indexarr.length的結果，就可以根據遞歸函數，推出indexarr.length-1這一行的結果，然后依次填完表格，直到找到index0，aim1000位置的結果，就是返回的最終結果。

動態規劃和記憶搜索對比

其實，動態規劃可以理解為就是記憶搜索法 。
記憶搜索法不關心到達某一個遞歸過程的路徑，只是單純的記錄遞歸過程的每個結果，避免重復計算。
動態規劃是通過表格來表示每個遞歸過程之間的順序，每個過程依賴前面已知的結果，其實也是在記錄前面的遞歸結果，避免重復計算，只不過是也同時保留了遞歸順序之間的過程。
兩者都是空間換時間的優化思想，區別在于，動態規劃記錄計算順序，而記憶搜索法只是簡單避免重復計算，不記錄計算順序。

因此總結一下，什么動態規劃？
其本質就是利用申請的額外空間來記錄每一個暴力遞歸的結果，下次要用的時候可以直接使用，并且記錄每種遞歸狀態之間的計算順序，依次計算。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划练习三：换钱问题（动态规划概念理解与记忆搜索法概念理解对比）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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