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接觸3D程序設計，難免要認識各種坐標系統，并在各個系統之間進行轉換，直接使用程序代碼實現公式是個方法，然而3D的世界中經常運用矩陣運算，因此，認識齊次坐標也是必備的，因為，這不單只是數學，與程序代碼本身的效率也有很大的關系！

這是左手還是右手？

在3D世界中，最常運用的是直角坐標，然而卻有多種不同的表示方式，也就是X、Y、Z軸正方向會有各自不同的表示，軟件或鏈接庫可能采用不同系統，這是種困擾，然而木已成舟，開發者只能在運用鏈接庫之前，先分辨它們到底采用哪個系統，粗略來說，直角坐標系統可以分為兩種：左手坐標（Left-hand Coordinate）、右手坐標（Right-hand Coordinate）。

對于前者，把左手拿出來，姆指指向若符合X軸正方向，食指符合Y軸正方向，而掌心往上符合Z正方向的話，那么該系統是采用左手坐標，例如，WebGL裁剪空間（Clip Space）就是左手坐標系統；對于后者，就是把右手拿出來，姆指與食指對應X、Y軸后，看看掌心往上是不是符合Z軸正方向，如果是的話，就是采用右手坐標，例如glMatrix、Three.js就屬于這類右手坐標系統。如果你一開始設計3D對象時，是采用左手坐標，然而接下來想要套用glMatrix呢？表面上看來，右手坐標似乎只是將Z軸正方向反過來，對glMatrix是如此，然而對其他鏈接庫或軟件就不一定了。

例如，OpenSCAD、Blender是右手坐標，然而，它的X、Y是代表2D平面，Z代表高度，也就是說，同為右手坐標系統，還是要注意一下三個軸各自的意義為何；至于3D雕塑軟件的部份，似乎偏好左手坐標，例如：Sculptris、SculptGL，不過，它們的z軸正方向是朝上，而不是像WebGL裁剪空間的z軸代表深度。左手坐標或右手坐標的差別，會影響到坐標轉換時導證出來的公式結果，如果試圖結合兩種不同系統的鏈接庫，就必須自行實作轉換，不然繪制出來就會是錯誤的畫面。例如，一個右手系統的(x,y,z)要換成左手系統的話，并不是只有(x,y,-z)一種轉換方式，(?x,y,z)、(x,?y,z)、(?x,?y,z)、(?x,y,?z)、(x,?y,?z)，也都是轉換為左手坐標的可能方式。

這是哪個空間？

剛開始接觸WebGL時，至少會接觸兩個空間：裁剪空間與屏幕空間（Screen Space）。對WebGL來說，屏幕指的就是Canvas，基本上，若頂點正確出現在裁剪空間中，WebGL會自動處理屏幕空間的繪制，不過，如果要處理像鼠標點選的問題時，就必須處理繪圖坐標至裁剪空間的轉換問題。要繪制的幾何對象是由一組頂點定義，雖然裁剪空間是左手坐標，然而這組頂點可以基于左手或右手坐標定義，也就是說頂點定義在一個獨立的對象空間（Object space），或說是局部空間（Local Space），這個空間有個獨立原點，頂點都是相對于該原點而定義。接著，我們會縮放、轉動、移動這些幾何對象，實際上這些轉換動作，是將這些對象中的頂點，轉換至世界空間（World Space）。也就是開發者建構的3D世界，在世界空間中可能有許多對象，然而可能只想繪制出某范圍內的對象，這就像是有個相機，世界很大，然而，只有相機內看到的范圍才會被繪制出來，這個范圍稱為觀察空間（View Space）。

開發者可能會用左、右、上、下，以及近面、遠面邊界，來定義觀察空間，而觀察空間會透過一些計算，對應至裁剪空間，這個過程稱為投影，常見的作法有正交投影或透視透影──正交投影不會創造出遠近感，然而，透視透影會因為視體（Viewing frustum）的視場角度（fov）等參數不同，呈現出不同的遠近感。簡單來說，從對象空間、世界空間、觀察空間一直到裁剪空間等，必須經過多個空間轉換，才能順利地繪制出想要的3D對象，這些轉換，說穿了，就是一連串的線性轉換數學公式，然而，透過矩陣運算的話會更好，因為這會牽涉到程序運算時的效率問題。

這是點還是向量？

若要透過矩陣運算來執行空間轉換，此時，就不得不接觸齊次坐標（Homogeneous coordinate）。多半的說詞是，齊次坐標在進行仿射轉換（Affine Transformation）時很方便，像是混合縮放、轉動、移動等操作的轉換時計算方便，不過，實際上，齊次坐標還可以用來區別點與向量的差別。若單純只使用直角坐標，(a, b, c)會是代表什么呢？一個點？一個向量？誰知道！

使用齊次坐標的話，(a, b, c, 1)表示這是個點，而(a, b, c, 0)表示是個向量。至于為什么會這么定義，事實上，這會牽涉到一些線性代數的基礎，有興趣的話，我們可以看看〈Understanding of homogeneous coordinates〉（https://bit.ly/2KECitX）。齊次坐標用第四個分量來代表點，這表示直角坐標中的同一個點(Px, Py, Pz)，與之對應的齊次坐標可以有無數個，也就是說(1, 2, 3, 1)、(2, 4, 6, 2)、(3, 6, 9, 3)等都代表著同一點(1, 2, 3)，也就是說，對于齊次坐標中的點(Px, Py, Pz, w)，對應的直角坐標點是(Px/w, Py/w, Pz/w)。

這就表示，當轉換公式涉及某分量的除法時，透過齊次坐標可以化為矩陣運算。例如，公式轉換中，若x'=near*x/z，y'=near*y/z，z'=z，就可以用齊次坐標[near * x, near * y, z, z]來表示；也就是說，計算用的矩陣若以列為主（row-major）撰寫的話，會是[near, 0, 0, 0, 0, near, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0]。一旦線性轉換公式可以化為矩陣運算，那么，就能將各種轉換予以組合，最后得到一個矩陣，也就是說，若打算進行縮放、旋轉、平移等n個轉換操作，對象是1,000個頂點，直接用函式實作個別轉換公式的話，必須進行n*1000的呼叫；相對地，如果使用一個結合了n個轉換的矩陣，就只需要1,000次計算，若轉換對象是圖像的像素的話，這樣的差異會更為驚人。

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不是都有鏈接庫/框架嗎？

是的，3D程序設計也會有現成的鏈接庫或框架，來做這類的轉換操作，然而，別以為這樣，就可以輕松了事。最起碼，還是要先搞清楚它采用的坐標系統，以及相關的參數意義，最好的方式，是親自導證一次縮放、旋轉、平移、投影等矩陣等是怎么來的，這會讓開發者在轉換坐標系統時，更為得心應手。對齊次坐標與矩陣轉換有興趣的話，不妨可以看看〈Interactive guide to homogeneous coordinates〉，該文從程序人的角度，提供互動的方式，來協助你認識齊次坐標與矩陣轉換。別以為這只是數學，正如該文中所談到的：「認識選擇的框架背后的數學，寫出來的程序代碼才會有效率」。

轉載于:https://my.oschina.net/u/4024424/blog/3051735

總結

以上是生活随笔為你收集整理的3D程序设计离不开各种坐标系统的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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