冥想盆

?感性理解深搜剪枝（看完這個(gè)再看下面的文章）

?理解本題的思路

【代碼實(shí)現(xiàn)1:最慢最好理解（自己打的）：100多ms】

【代碼實(shí)現(xiàn)2:次慢：30多ms】

【代碼實(shí)現(xiàn)3:最快：10多ms】

?最后放上幾個(gè)大佬的博客

?

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【題目描述】

Mr.W 要制作一個(gè)體積為?Nπ?的?M?層生日蛋糕，每層都是一個(gè)圓柱體。 設(shè)從下往上數(shù)第?i 蛋糕是半徑為 Ri?，高度為 Hi??的圓柱。當(dāng)?i<M時(shí)，要求 Ri?>Ri+1?且 Hi?>Hi+1?。由于要在蛋糕上抹奶油，為盡可能節(jié)約經(jīng)費(fèi)，我們希望蛋糕外表面（最下一層的下底面除外）的面積?Q最小。 令?Q =Sπ ，請(qǐng)編程對(duì)給出的?N?和?M?，找出蛋糕的制作方案（適當(dāng)?shù)?Ri??和 Hi??的值），使?S?最小。

（除?Q?外，以上所有數(shù)據(jù)皆為正整數(shù)）

【輸入格式】

?

第一行為?N?，表示待制作的蛋糕的體積為 Nπ；

第二行為?M?，表示蛋糕的層數(shù)為?M?。

【輸出格式】

輸出僅一行，一個(gè)整數(shù)?S（若無(wú)解則 S=0?）。

【樣例輸入】

100 2

【樣例輸出】

68

【附：圓柱相關(guān)公式：】

體積?

側(cè)面積?

底面積?

【數(shù)據(jù)范圍與提示】

對(duì)于全部數(shù)據(jù)，1≤N≤10^4,1≤M≤20。

首先分為四大部分：

1.感性理解深搜和剪枝

2.理解本題思路

3.著重理解代碼的優(yōu)化性

4.最后附上優(yōu)秀的大佬博客?

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感性理解深搜剪枝（看完這個(gè)再看下面的文章）

?接下來(lái)，理解本題的思路

不得不承認(rèn)，我覺得最麻煩的就是這個(gè)半徑和高的最小值，這個(gè)就要理解好題目。題目中說(shuō)半徑如此，高也是如此,，這意味著什么？意味著底下每一層的半徑和高度至少比上一層多1，也就是說(shuō)，最底下那一層的半徑和高最小為m。

有了這一步，我們的半徑和高的規(guī)律已經(jīng)心中有數(shù)了，也知道應(yīng)該怎樣了，那么我們?cè)谥骱瘮?shù)中的初始化應(yīng)該是怎樣的呢？

1.for(int i=m;i*i*m<=n;i++) //這個(gè)i表示的是半徑的范圍2.for(int j=m;i*i*j<=n;j++) //這個(gè)j表示的是高的范圍3.if(i*i+2*i*j<minn) //這一步表示的是只有我們?cè)诿杜e到這個(gè)表面積小于我們之前記錄過(guò)的才可以繼續(xù)4.dfs(1,i*i*j,i*i+2*i*j,i,j) //進(jìn)入遞歸函數(shù)， /* 1.從前1層開始 2.體積為i*i*j 3.表面積為2*i*j 4.i表示半徑 5.j表示高 */

?萬(wàn)事開頭難，慢慢理解題目就好了

我都以這個(gè)最慢的代碼為基準(zhǔn)，因?yàn)槲易钍煜み@個(gè)，然后其他的幾個(gè)代碼，把最慢的理解清楚之后，理解起來(lái)很簡(jiǎn)單，而且我都注釋的很清楚了，所以不用慌。

接下來(lái)進(jìn)入遞歸當(dāng)中，遞歸當(dāng)中最重要的莫過(guò)于剪枝了（我會(huì)放出三個(gè)代碼，分別是最慢最好理解，次慢次理解，最快難理解），這三個(gè)代碼剪枝的方法不一樣，但始終是三個(gè)方面

1.前d層的體積加上后面體積的最小值還大于n（題目給出的體積的限制）就剪枝

2.前d層的體積加上后面體積的最大值還小于n，就剪枝

3.前d層的表面積加上后面的表面積大于我們記錄過(guò)的最優(yōu)解，剪枝（沒(méi)有這一步，再多的剪枝都會(huì)超時(shí)，這個(gè)是最重要的剪枝也是最難的剪枝，而且最坑的是，就算你用數(shù)組來(lái)記錄也沒(méi)用，這是一條公式，一條極難想到的公式）

接下來(lái)我們一個(gè)一個(gè)理解啊

1.體積剪枝（最大值不足以滿足題目要求） if(v+(r-1)*(r-1)*(h-1)*(m-d)<n)return; /*1.如果當(dāng)前體積加上之后每層的最大值,還比題目要求的體積小，直接結(jié)束該趟遞歸2.我在主函數(shù)當(dāng)中講了我們的搜索是自下而上，所以下面一層的高和半徑都比上面一層要大3.為什么說(shuō)是最大值呢？因?yàn)槲覀冞x取的是當(dāng)前上一層的半徑，而且越往上越小而我們乘以的同樣也是那么多層，所以說(shuō)這個(gè)是最大值 */ 2.體積剪枝（最小值超過(guò)題目要求） if(v+m-d>n)return; /*1.如果當(dāng)前體積加上之后每層的最小值,還比題目要求的體積大，直接結(jié)束該趟遞歸2.為什么說(shuō)是最小值呢？因?yàn)槲覀兊纳弦粚拥母吆桶霃绞潜认旅娴哪且粚右〉?#xff0c;也就是最頂上的可能半徑就為1，是最小的，既然是最小的說(shuō)明下面的就比他要大，但是我們就直接最小半徑的平方1*1*(m-d)也就是層數(shù)，那么可能會(huì)疑惑高去哪里了？高也是假設(shè)了最小的1，所以整個(gè)半徑平方乘以高乘以層數(shù)=1*1*1*(m-d)=m-d */3.最優(yōu)性剪枝（剪掉超過(guò)最優(yōu)解的） if(2*(n-v)/r+s>=minn)return; 不要著急這個(gè)我要慢慢給你們證明

我們來(lái)感性證明一下最優(yōu)性剪枝啊

?首先我們分成幾部分

第一部分：n-v

第二部分：minn

第三部分：除以r乘以2

第四部分：全部一起

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第一部分：v

無(wú)論如何這個(gè)都是可以理解的，v代表前d層的體積，然后我們就是把這個(gè)蛋糕一層一層的體積相加就等于總體積

那么

這個(gè)就是剩下部分的體積，可以理解的吧

第二部分：minn

過(guò)了很久我終于又開始完善這個(gè)博客了。

這個(gè)minn可能是比較難理解的，那么我們一步步來(lái)

這個(gè)的值是小于?

?為什么呢？因?yàn)檫@個(gè)r是我們記錄的最開始的這個(gè)最底層的這個(gè)的半徑，這個(gè)半徑是所有半徑當(dāng)中最大的，所以每一次都這么計(jì)算的值是最大的，那么我們不難想到，既然原本是要小于的，只要這個(gè)值大于的話，是不是就可以剪枝？那么我們把這個(gè)式子所有的 r 提出來(lái)合并，就變成了??

第三部分：除以r乘以2

這樣看可能沒(méi)有感覺，我們只看中間的那一串，h[1]*r[1]一直加到h[d]*r[d]，然而我們的這個(gè)側(cè)面積的公式就是2hd，所以我們就要進(jìn)行一個(gè)小修改，變成,這個(gè)就是我們之前辛辛苦苦記錄過(guò)的前d層的表面積，也就是我們所更新過(guò)的minn值，就是到當(dāng)前為止記錄過(guò)的最小的表面積的值

第四部分：全部一起

好，我在上面說(shuō)了如果我們找到的這個(gè)大于就要剪枝的對(duì)吧，那么我們也說(shuō)了上面的小修改，我們先列出一個(gè)原不等式啊：

這個(gè)是我們的剪枝條件，但是因?yàn)檫@個(gè)的值就是我們之間已經(jīng)找到了的v的值，所以我們直接用v來(lái)代替，然后剩下了就是 n-v=是吧，這個(gè)時(shí)候我們就要把這個(gè)和之前我們修改過(guò)的放在一個(gè)，兩邊同時(shí)除以這個(gè)r乘以2就變成了，這個(gè)是最終形式，s其實(shí)就是我們前d層的體積所對(duì)應(yīng)的表面積，那么這個(gè)是什么意思呢？就是說(shuō)這個(gè)這個(gè)是任何一個(gè)體積的共同形式，那么我們除以了r再乘以2之后就變成了什么呢，變成了就是我們熟悉的側(cè)面積，這個(gè)代表的是我們剩余體積的側(cè)面積，加上我們之前的這個(gè)s就是全部的表面積，這個(gè)的計(jì)算結(jié)果是不能大于我們之前記錄過(guò)的這個(gè)minn的值，所以的話，這個(gè)就成為了我們最重要的剪枝了

所有的剪枝我都講清楚了對(duì)吧，接下來(lái)就看代碼實(shí)現(xiàn)吧?

【代碼實(shí)現(xiàn)1:最慢最好理解（自己打的）：100多ms】

?

/* 題目解釋： 題目的意思：有一個(gè)體積為Nπ的M層蛋糕，底下每一層的高度和半徑至少比上一層的大1， 也就是說(shuō)，最底下一次的半徑和高度至少為M了。(關(guān)鍵關(guān)鍵) 求解符合題意，又要求其表面積要最小的蛋糕，求出其表面積最小值為多少。 依次遞歸用DPS去尋找符合體積大小的數(shù)據(jù)，求解找到的最小值便是答案 */ #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int n,m,minn=2e+9; //min表為面積最小的值，初始化為一個(gè)極大值 void dfs(int d,int v,int s,int r,int h) //前d層蛋糕體積為v 表面積為s 第d層半徑r 高度h {if(d==m)//前d層就是m層，表示我們已經(jīng)搜索完了 {if(v==n)minn=s;//如果體積也符合題目要求的話，更新表面積的最小值 return;//返回值 }if(v+(r-1)*(r-1)*(h-1)*(m-d)<n)return;/*1.如果當(dāng)前體積加上之后每層的最大值,還比題目要求的體積小，直接結(jié)束該趟遞歸2.我在主函數(shù)當(dāng)中講了我們的搜索是自下而上，所以下面一層比上面一層要小3.為什么說(shuō)是最大值呢？因?yàn)槲覀冞x取的是當(dāng)前上一層的半徑，而且越往上越小而我們乘以的同樣也是那么多層，所以說(shuō)這個(gè)是最大值*/ if(v+m-d>n)return; /*1.如果當(dāng)前體積加上之后每層的最小值,還比題目要求的體積大，直接結(jié)束該趟遞歸2.為什么說(shuō)是最小值呢？因?yàn)槲覀兊纳弦粚邮潜认旅娴哪且粚右〉?#xff0c;也就是最頂上的可能半徑就為1，是最小的，既然是最小的說(shuō)明下面的就比他要大，但是我們就直接最小半徑的平方1*1*(m-d)也就是層數(shù)，那么可能會(huì)疑惑高去哪里了？高也是假設(shè)了最小的1，所以整個(gè)半徑平方乘以高乘以層數(shù)=1*1*1*(m-d)=m-d*/if(2*(n-v)/r+s>=minn)return; /*如果求解過(guò)程半途找到比當(dāng)前最小值，也就是minn的值還大的數(shù)據(jù)，結(jié)束該趟遞歸這一步是最關(guān)鍵的一步但是我不知道現(xiàn)在在這里怎么表示出來(lái) */ for(int i=r-1;i>=m-d;i--)/*i(半徑)[再上一層的半徑]的最小值要保證大于當(dāng)前這一層半徑的最小值題目解釋當(dāng)中說(shuō)的至少要大1，也就是說(shuō)上一層的半徑最大是當(dāng)前這一層的半徑-1也就是r-1最小的話就是也要大于等于剩下的層數(shù)，不然后面的層就沒(méi)有整數(shù)半徑比如說(shuō)：總共有5層，當(dāng)前是第3層(順數(shù))，第3層的半徑是5,那么第2層的半徑最大就是4，最小的話就是（5-3）=2因?yàn)橹挥写笥诘扔?的時(shí)候，這一層的上一層才有半徑，如果第2層的半徑是1的話，那么至少要大于等于1，也就是第1層的半徑小于等于0這個(gè)顯然是不可能的 */{for(int j=h-1;j>=m-d;j--)/*j(高度)[再上一層的高度]的最小值要保證大于當(dāng)前這一層高度的最小值跟半徑是同樣的道理，這里就不再解釋了 */ {if((i*i*j+v<=n)&&(s+2*i*j<minn))/*如果我們后面找到的這個(gè)半徑和高度組合的體積小于等于n*//*并且它的面積比我們之前記錄過(guò)的要小的話*/dfs(d+1,v+i*i*j,s+2*i*j,i,j);/*遞歸搜索子狀態(tài)，也就是處理下一個(gè)*/ }} } int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=m;i*i*m<=n;i++)/*1.i表示半徑，半徑的平方(也就是底面積)*層數(shù)(也就是體積)小于要求的體積的話，可以繼續(xù)2.i從m開始是因?yàn)?#xff0c;底下每一層的高度和半徑至少比上一層的大1，也就是說(shuō)，最底下一次的半徑和高度至少為M了*/{for(int j=m;i*i*j<=n;j++)/*1.j表示高度，高度乘以底面積小于要求體積，可以繼續(xù)2.i從m開始是因?yàn)?#xff0c;底下每一層的高度和半徑至少比上一層的大1，也就是說(shuō)，最底下一次的半徑和高度至少為M了 */ {if(i*i+2*i*j<minn)/*小于我們一直更新的最小值，才傳入*/ dfs(1,i*i*j,i*i+2*i*j,i,j);/*從第m層開始，我們之前的枚舉是自下而上，所以在搜索中也是自下而上注意：(分開五個(gè)來(lái)分析) (1)從前1層開始 (2)體積是半徑*半徑*高 (3)表面積不單單是側(cè)面積，最底下那一層的表面積 (4)i表示半徑(5)j表示高度 */ }}printf("%d\n",minn);/*輸出最小值*/return 0; } /* 體積V=πR*R*H 側(cè)面積A’=2*π*R*H 底面積A=π*R*R */

這個(gè)代碼為什么會(huì)最慢了，因?yàn)槲覀儧](méi)有用數(shù)組，也就是說(shuō)，沒(méi)有我們之前的這個(gè)記憶化剪枝技巧

【代碼實(shí)現(xiàn)2:次慢：30多ms】

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define oo 1000000000 using namespace std; int ans; int minn[20];//存儲(chǔ)體積 int n,m; void dfs(int k,int r,int h,int s,int v) //k：當(dāng)前層數(shù) r：當(dāng)前層的半徑 h：高度 s：表面積 v：剩下的體積 {if (s+2*v/r>ans) return;//我們知道剩余的體積，能不能根據(jù)體積，估算一個(gè)剩余的側(cè)面積，//如果（ 當(dāng)前的表面積+余下的側(cè)面積的最小值）//比最優(yōu)值還大，那么當(dāng)前層的搜索就沒(méi)有意義。if (v-minn[m-k]<0) return;//如果剩余的體積減去后面要用的體積小于0的話，說(shuō)明不夠體積做一個(gè)蛋糕 if (k==m)//邊界情況 {if(v==0) if(s<ans) ans=s;return;}for(int tr=r-1;tr>=m-k;tr--)for(int th=h-1;th>=m-k;th--)//不斷縮小半徑和高度 進(jìn)行枚舉(跟那個(gè)的意思是一樣的) {int ts,tv;ts=s+2*tr*th;//后面的表面積 tv=v-tr*tr*th;//剩下的體積 dfs(k+1,tr,th,ts,tv);//搜索下一個(gè) } } int main() {scanf("%d%d",&n,&m);ans=oo;int j=1;//最小的高為只能為1 for(int i=1;i<=m;i++)//預(yù)處理一個(gè)數(shù)組將最小的存起來(lái) 等會(huì)剪枝 {minn[i]+=i*i*j;//記錄體積 j++;//高會(huì)增加，題目中說(shuō)了 }for(int r=m;r*r*m<=n;r++)//因?yàn)榘霃绞窃絹?lái)越小的 所以r的大致范圍可以確定 for(int h=n/(r*r);h>=m;h--)//高度的大致范圍也可以確定 {int s,v;//表面積和剩下的體積 s=r*r+2*r*h;//第一層的側(cè)面積+總頂面積（可以通過(guò)平移使所有頂面積拼成第一層的頂面積） v=n-r*r*h;dfs(1,r,h,s,v);} if(ans==oo) ans=0;//不可能這么大，所以就是沒(méi)有體積炸掉了 printf("%d\n",ans);return 0; }

這個(gè)用了記憶化，但是仍然慢的主要原因應(yīng)該是這個(gè)代碼的很多表達(dá)方式不是最簡(jiǎn)單，讓電腦運(yùn)行次數(shù)最少最方便的

【代碼實(shí)現(xiàn)3:最快：10多ms】

#include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int n,m,minv[21],mins[21]; //V=n*pi m 層數(shù) 自頂向下1.2.3...m //minv[i]表示i層到0層加起來(lái)的最小總體積 minvs 最小表面積 const int inf=1000000000; // inf 足夠大就可以 int(32) -2^31~2^31-1=2147483647 int best=inf; //best 最小表面積 void dfs(int depth,int sumv,int sums,int r,int h)//深度優(yōu)先搜索 自底m向上搜索 //depth表示剩余層數(shù)r h表示當(dāng)前層得半徑和高度 sumv已經(jīng)用的總體積 sums已經(jīng)生成的總表面積 {if(depth==0){if(sumv==n&&sums<best)//搜索完成 更新最小表面積best{best=sums;}return;}// 三個(gè)剪枝條件：//1、已經(jīng)搜索過(guò)的體積加上還未搜索過(guò)的最小體積不能比總體積n 大//2、已經(jīng)搜索過(guò)的表面積加上還未搜索過(guò)的最小表面積不能比之前的最小總表面積best大 //3、n-sumv既所剩體積記作dv 還需要的表面積為s//s=2*ri*hi+2*r(i-1)*h(i-1)+... >=2*ri*hi*ri/r+2*r(i-1)*h(i-1)*r(i-1)/r+...// =2*dv/r（i從depth-1取,r為當(dāng)前半徑 ri/r<1）// 所以得到還需要的最小表面積s=2*(n-sumv)/r，//如果最小的s和已經(jīng)搜索過(guò)的表面積sums依然比best大 就不用繼續(xù)搜索了if(sumv+minv[depth-1]>n||sums+mins[depth-1]>best)//剪枝如上所述return;for( int i=r-1;i>=depth;i--)//遞減順序枚舉depth層半徑的每一個(gè)可能值,這里第depth層的半徑最小值為depth{if(depth==m)sums=i*i; //俯視蛋糕底面積作為外表面積的初始值(總的上表面積,以后只需計(jì)算側(cè)面積)int maxh=min((n-sumv-minv[depth-1])/(i*i),h-1); //maxh最大高度,即depth層蛋糕高度的上限,//(n-sumv-minv[dep-1])表示第depth層最大的體積for(int j=maxh;j>=depth;j--) //同理,第depth層的最小高度值為depth{dfs(depth-1,sumv+i*i*j,sums+2*i*j,i,j);//遞歸搜索子狀態(tài)}} } int main() {scanf("%d%d",&n,&m); int rmax=sqrt(n); //rmax初始半徑 底層半徑 最大值為sqrt(n)int hmax=n; //hmax初始高度 高度最大為 nminv[0]=mins[0]=0;for(int i=1;i<=m;i++)//初始化minv和mins數(shù)組{ minv[i]=minv[i-1]+i*i*i; //從頂層(即第1層)到第i層的最小體積//minv[i]成立時(shí)第j層的半徑和高度都為jmins[i]=mins[i-1]+2*i*i;}dfs(m,0,0,rmax,hmax);//dfs(m,0,0,n+1,n+1);if(best==inf)best=0; //無(wú)解if(best==0)printf("0\n"); else printf("%d\n",best); return 0; }

最快的，用了記憶化，而且所有的表達(dá)方式也是為了后面更方便而定義的

最后放上幾個(gè)大佬的博客，感謝這些大佬

博客1??博客2?博客3?博客4?博客5?博客6?

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的#10019. 「一本通 1.3 例 2」生日蛋糕的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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