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最短路徑問題是圖論中的一個經典問題。

最短路徑問題就是求圖G(V,E)中某兩個特定頂點間最短的路徑長度。

本文介紹求最短路徑的一個經典算法——Dijkstra算法，

它由荷蘭圖靈獎獲得者、計算機科學家Dijkstra于1959年提出。

該算法能夠有效地計算出某個特定頂點（稱為源點），到其余所有頂點的最短路徑，

即它能夠很好地解決單源最短路徑問題。

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1. 問題介紹

1.1 題目描述

從一個城鎮抵達另一個城鎮時，有不同的路徑可以選擇，請幫助行人選擇最短路徑。 現在，已知起點和終點，請計算出要從起點到終點，最短需要行走多少距離。

1.2 輸入

本題包含多組數據。 每組數據第一行包含兩個正整數N和M（0<N<200,0<M<1000），分別代表現有城鎮的規模和已修建的道路的數目。城鎮分別以0~N-1編號。 接下來是M行道路信息，每一行有三個整數A,B,X（0<=A,B<N,A!=B,0<X<10000），表示城鎮A和城鎮B之間有一條長度為X的雙向道路。 再接下來的下一行有兩個整數S,T（0<=S,T<N），分別代表起點和終點。

1.3 輸出

對于每組數據，請在一行中輸出最短需要行走的距離。 若不存在從S到T的路線，則輸出-1。

1.4 樣例輸入

3 3 0 1 1 0 2 3 1 2 1 0 2 3 1 0 1 1 1 2

1.5 樣例輸出

2 -1

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2. 解決方案

我們不作證明的給出以下結論：

• 最短路徑的特點
  • 源點到該點相鄰（只含一條弧），該弧的權值最小；
  • 若已知源點到目標點的最短路徑，則源點到達該路徑中其他結點的路徑，也是最短路徑。
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下面給出Dijkstra算法：

• Dijkstra算法在運行過程中將頂點集合V分成兩個集合S和T。
  • ?S：已確定的頂點集合，初始只含源點s
  • ?T=V-S:尚未確定的頂點集合
  • 算法反復從集合T中選擇當前到源點s最近的頂點u，將u加入集合S，然后對所有從u發出的邊進行松弛操作。

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3. 代碼

又到了重要的代碼環節。。上干貨

//注意該代碼是無向圖 //如果是有向圖，在初始化圖的時候只保留from->to 即可#include<iostream> #include<cstdio> #include<vector> #include<cstring> #include<queue> #include<climits>using namespace std;const int MAXN = 200; const int INF = INT_MAX;struct Edge {int to;int length;Edge(int t, int l) :to(t), length(l) {} };struct Point {int number;int distance;Point(int n, int d) :number(n), distance(d) {}friend bool operator < (Point a, Point b){return a.distance > b.distance;} };vector<Edge> graph[MAXN]; int dis[MAXN]; bool visit[MAXN];void Dijkstra(int s) {priority_queue<Point> myPriorityQueue;dis[s] = 0;myPriorityQueue.push(Point(s, dis[s]));while (!myPriorityQueue.empty()){int u = myPriorityQueue.top().number;myPriorityQueue.pop();visit[u] = true;for (int i = 0; i < graph[u].size(); i++){int v = graph[u][i].to;int d = graph[u][i].length;if (!visit[v] && dis[v] > dis[u] + d){dis[v] = dis[u] + d;myPriorityQueue.push(Point(v, dis[v]));}}}return; }int main() {int n, m;while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF){memset(visit, false, sizeof(visit));memset(graph, 0, sizeof(graph));fill(dis, dis + n, INF);while (m--){int from, to, length;scanf("%d%d%d", &from, &to, &length);graph[from].push_back(Edge(to, length));graph[to].push_back(Edge(from, length));}int s, t;scanf("%d%d", &s, &t);Dijkstra(s);if (dis[t] == INF){dis[t] = -1;}printf("%d\n", dis[t]);}return 0; }

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4. 總結

注意一下，上面的代碼處理的是無向圖的最短路徑問題。

考慮一下，如果是有向圖的最短路徑問題如何解決呢？

事實上，只需要簡單改變graph的構造方式即可，即注釋掉

graph[to].push_back(Edge(from, length));

之后，本代碼可解決有向圖的最短路徑問題。

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圖論這個章節難度還是挺大的，筆者看了挺長時間還是不得要領。。

在返校之前盡量把最小生成樹問題也放上來吧。。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数据机构】最短路径之Dijkstra算法（迪克斯特拉算法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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