問題模型

有四只鴨子，隨機分布在圓形的池塘中，請問四只鴨子同時處于同一個半圓的概率有多大？

統(tǒng)計模擬

使用計算機進行大量的隨機實驗，統(tǒng)計推斷出未知變量的概率。我們將進行100萬次獨立采樣試驗，每次試驗中讓四只鴨子隨機分布在圓形池塘中，統(tǒng)計四只鴨子處于同一半圓的試驗次數(shù)。那么使用該次數(shù)除以100萬，就可以大概得到題目所求的概率。

建立模型

假設(shè)以原點為中心，半徑為1的單位圓即為問題里的池塘，四只鴨子為出現(xiàn)在單位圓內(nèi)部隨機位置的四個點，那么這四個點位于同一半圓內(nèi)的概率即為題目所求的概率值。

怎么判斷四個點位于同一個半圓？

四個點可能一下子有點抽象，那么不妨將問題弱化：考慮從四個點變?yōu)槿齻€點的情況。怎么判斷三個點位于同一個半圓？

如上圖所示，在圓中有三個點，我們可以畫出三個點組成的三角形的三條邊，不難發(fā)現(xiàn)，圓的圓心在三角形的外邊，這時我們一定可以找到圓的一條直徑，將三角形分在圓的某個半圓中。

那如果圓心在三個點組成的三角形內(nèi)部呢，能找到一條直徑將三個點分在同一個半圓嗎？稍微在頭腦中模擬一下，不難想到，答案是否定的。如下圖所示，無論怎樣選取直徑，都不能將三個點分到同一個半圓中。

于是我們可以得到一個結(jié)論，只要圓心位于三角形外，就一定能將三角形分在同一個半圓中。

那么推廣到四個點的情況，結(jié)論會是怎樣的？

首先，如果圓中隨機分布的四個點共半圓，那么這四個點中的任意三個也一定共半圓，這個很容易理解。那么結(jié)論反過來成立嗎？也就是說，圓中有四個點，任意三個點都共半圓，那么這四個點一定共半圓嗎？

我們可以使用反證法。

假設(shè)存在圓中有四個點，其中任意三個點都共半圓，但是四個點不共半圓的情況。不失一般性，我們假設(shè)四個點為a，b，c，d。如下圖所示，我們畫出a，b，c點和經(jīng)過這三個點的圓直徑。

三條直徑將圓分為了6個區(qū)域，分別為S1~S6。現(xiàn)在我們考慮將第四個點放在什么地方，可以滿足任意三個點共半圓，但是四個點不共半圓的情況。

如果d點放在區(qū)域S1，S2或者S3，顯然，abcd共藍色直徑左邊的半圓，矛盾；

如果d點放在區(qū)域S6，顯然，abcd共紫色半徑下方的半圓，矛盾；

如果d點放在區(qū)域S4，此時abcd不共半圓，但是此時abd點也不共半圓，與假設(shè)任意三個點共半圓，矛盾；

如果d點放在區(qū)域S5，此時abcd不共半圓，但是此時acd點也不共半圓，與假設(shè)任意三個點共半圓，矛盾。

綜上，d點無論放在哪個區(qū)域，都不滿足假設(shè)的條件，因此假設(shè)不成立！

因此我們得到結(jié)論，圓內(nèi)隨機分布的四個點，如果其中任意三個點都共半圓，那么這四個點也一定共半圓。

于是我們得到了判斷四只鴨子位于池塘的同一半圓區(qū)域的判別條件。

判斷點在三角形外部的方法

判斷一個點在三角形外部還是內(nèi)部有很多種方法，我常用的是兩種，一種是內(nèi)角和法：如果點在三角形內(nèi)部，那么該點與三角形的三個頂點形成的三個角的和為360度，反之，如果點在三角形外部，那么三個角之和一定小于360度。

第二種是同向法。對于三角形Δabc，如果點p在三角形內(nèi)部，那么對于三角形的每條邊構(gòu)成的向量——例如向量ab——來說，其另外一個頂點c與該邊的起始點a構(gòu)成的向量ca，這兩個向量的叉積方向與向量pa和向量ab的叉積方向是一致的，從數(shù)值上的表現(xiàn)來看，要么同為正值，要么同為負值。對于向量bc，向量ca的情況，結(jié)果也是一致的。而對于在三角形外部的點q來說，至少有一條邊的情況不滿足叉積方向一致。

如上圖中的例子，先看三角形內(nèi)部的點p。對于邊ab來說，向量ab叉乘向量ca，根據(jù)右手定則，叉積的方向指向屏幕里面，向量ab叉乘向量pa，根據(jù)右手定則，叉積的方向指向屏幕里面，兩個叉積方向一致；對于邊bc來說，向量bc叉乘向量ab，根據(jù)右手定則，叉積的方向指向屏幕里面，向量bc叉乘向量pb，根據(jù)右手定則，方向指向屏幕里面，兩個叉積方向一致；對于邊ca來說，向量ca叉乘向量bc，根據(jù)右手定則，方向指向屏幕里面，ca叉乘pc，方向同樣是指向屏幕里面。因此可以判斷點p在三角形內(nèi)部。

而對于q點，我們可以直接看邊ca，向量ca與向量bc的叉乘方向指向屏幕里面，但是向量ca與向量qc叉乘，根據(jù)右手定則，叉積的方向指向屏幕外面，兩者方向不一致，可以判斷q點在三角形外部。

我們可以從數(shù)值上來驗證這個結(jié)論。對于二維向量a(ax,ay)和b(bx,by)，其叉積的數(shù)值為ax*by-bx*ay。對于筆者所畫的上圖，如果以左下角為坐標原點，正右方向為x軸方向，正上方向為y軸方向，單個像素為單位長度的話，各點的坐標如下：

a(75, 145), b(266, 76), c(241, 302), p(204, 164), q(95, 252)

先看邊ab，

ab X ca = (191, -69) X (-166, -157) = 191 * (-157) - (-69) * (-166) = -41441

ab X pa = (191, -69) X (-129, -19) = 191 * (-19) - (-129) * (-69) = -12530

ab X qa = (191, -69) X (-20, -107) = 191 * (-107) - (-20) * (-69) = -21887

三個叉乘的方向一致，再看邊bc

bc X ab = (-25, 226) X (191, -69) = -25 * (-69) - 226 * 191 = -44891

bc X pb = (-25, 226) X (62, -88) = -25 * (-88) - 226 * 62 = -11812

bc X qb = (-25, 226) X (171, -176) = -25 * (-176) - 226 * 171 = -34246

三個叉乘方向一致，最后看邊ca,

ca X bc = (-166, -157) X (-25, 226) = -166 * 226 - (-25) * (-157) = -41441

ca X pc = (-166, -157) X (37, 138) = -166 * 138 - 37 * (-157) = -17099

ca X qc = (-166, -157) X (146, 50) = -166 * 50 - 146 * (-157) = 14622

向量ca與向量bc的叉積方向和向量ca與向量pc的叉積方向一致，但是和向量ca與向量qc的叉積方向不一致。所以得出結(jié)論，點p在三角形abc內(nèi)部，而點q在外部。

綜上，我們已經(jīng)得到了求解題目的所有步驟。

代碼

使用同向法判斷點在三角形外部代碼

1 bool beyondTriangle(Point2f& a, Point2f& b, Point2f& c, Point2f&p)2 {3 Point2f ab = Point2f(b.x - a.x, b.y -a.y);4 Point2f ca = Point2f(a.x - c.x, a.y -c.y);5 Point2f pa = Point2f(a.x - p.x, a.y -p.y);6 double cross_ca_ab = ca.x * ab.y - ab.x *ca.y;7 double cross_pa_ab = pa.x * ab.y - ab.x *pa.y;8 double orientation = cross_ca_ab *cross_pa_ab;9 if (orientation < 0) return true;10 Point2f bc = Point2f(c.x - b.x, c.y -b.y);11 Point2f pb = Point2f(b.x - p.x, b.y -p.y);12 double cross_ab_bc = ab.x * bc.y - bc.x *ab.y;13 double cross_pb_bc = pb.x * bc.y - bc.x *pb.y;14 orientation = cross_ab_bc *cross_pb_bc;15 if (orientation < 0) return true;16 Point2f pc = Point2f(c.x - p.x, c.y -p.y);17 double cross_bc_ca = bc.x * ca.y - ca.x *bc.y;18 double cross_pc_ca = pc.x * ca.y - ca.x *pc.y;19 orientation = cross_bc_ca *cross_pc_ca;20 if (orientation < 0) return true;21 return false;22 }

求解的主要代碼如下：

doublecalcFourDuckInCirclePoolPolarCoordinates()

{int PIECE = 36000;int REGION = 100000;int ITER = 1000000;double PI = acos(-1);

uniform_int_distribution theta_d(0, PIECE);

uniform_int_distribution r_d(0, REGION);

default_random_engine theta_e((unsignedint)time(NULL));

default_random_engine r_e(0);

vectorpos;

pos.resize(4);int candies = 0;

Point2f center(0.f, 0.f);for (int i = 0; i < ITER; ++i)

{for (int duck = 0; duck < 4; ++duck)

{

auto theta_=theta_d(theta_e);

auto r_=r_d(r_e);double theta = ((double)theta_ / 100.0 - 180) / 180 *PI;double r = (double)r_*1.0 /REGION;double x = r *cos(theta);double y = r *sin(theta);

pos[duck]=Point2f(x, y);

}if (!beyondTriangle(pos[0], pos[1], pos[2], center)) continue;if (!beyondTriangle(pos[0], pos[1], pos[3], center)) continue;if (!beyondTriangle(pos[0], pos[2], pos[3], center)) continue;if (!beyondTriangle(pos[1], pos[2], pos[3], center)) continue;++candies;

}double probability = candies*1.0 /ITER;

cout<< "probability:" << fixed << setprecision(5) << candies*1.0 / ITER <

}

結(jié)果

多次的采樣實驗結(jié)果顯示，通過統(tǒng)計模擬求解四只鴨子位于池塘同一個半圓的概率的答案為0.5！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的三个点在同一个半圆的概率_求解四只鸭子在同一半圆池塘的概率的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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