課程名：形式語言與自動機

作者：Lupinus_Linn

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引用：

• 本文中部分文字與圖片引用自北京郵電大學計算機學院王柏教授的《形式語言與自動機》課程課件。
• 緒論中的證明方法部分引自清華大學王生原老師課件。
• 部分題目插圖引用自北京郵電大學出版社《形式語言與自動機 第二版》教材。

在此一并表示感謝，并不做商業用途。

本筆記所有內容的傳送門

Part.1緒論, Part.2 語言與文法
Part 3.有限自動機
Part.4 正則語言，2DFA，Mealy&Moore機
Part.5 上下文無關語言與下推自動機(PDA)
Part.6 圖靈機

文章目錄

• • Part.4 正則語言
  • • 4.1 基本概念
    • 4.2 右線性文法?正則表達式
    • 4.3 正則語言可以表示為有限自動機、正則表達式和右線性文法
    • 4.4 有限自動機→正則表達式：狀態消去法
    • 4.5 正則表達式→有限自動機
    • 4.6 右線性文法→有限自動機
    • 4.7 有限自動機→右線性文法
    • 4.8 DFA的最小化：填表算法
    • • 4.8.1 刪除不可達狀態
      • 4.8.2 填表算法
      • 4.8.3 等價狀態的合并
      • 4.8.4 例子
    • 4.9 正則語言的泵引理
    • 4.10 雙向有限自動機(2DFA)
    • • 4.10.1 2DFA的五要素
      • 4.10.2 2DFA的格局
      • 4.10.3 2DFA接受的語言
    • 4.11 有輸出的有限自動機(Mealy&Moore)
    • • 4.11.1 Mealy機
      • 4.11.2 Moore機
      • 4.11.3 Moore機→Mealy機
      • 4.11.4 不做要求：Mealy機→Moore機

Part.4 正則語言

4.1 基本概念

• 正則語言：滿足正則語言的判定定理的語言。
• 正則(表達)式：用類似代數表達式的方法表示正則語言。
• 正則式的相等：表示的語言相同。
• 正則集：滿足正則式的字符串的集合。
• 正則式和語言的的聯合運算+，連接運算?，正閉包$L^{+}$，星閉包$L^{?}$及運算性質。

注1：正則集是T* 的子集。(即正則集是T*上的語言)
注2：L+包含ε當且僅當L包含ε。
注3：每個正則集至少對應一個正則式（可有無窮多 個正則式）

4.2 右線性文法?正則表達式

兩個等價

左線性文法和右線性文法等價。

右線性文法和正則式等價（右線性文法產生的語言都是正則語言，正則語言都可以用右線性文法產生）
從右線性文法導出正則式：設$x\to \alpha x+\beta ,\alpha \in T^{?},x\in N,thenx={\alpha }^{?}\beta$。不斷代入消元，最后得出$S=<RE>$

4.3 正則語言可以表示為有限自動機、正則表達式和右線性文法

三者兩兩等價，都表示正則語言

生成終結符吃掉，并轉移到產生式的非終結符。
直接生成終結符的非終結符是被接受的。 每個狀態名對應一個非終結符，轉移條件和轉移到的狀態構成產生式右側。
被接受的狀態額外還有僅產生終結符的產生式。最后做文法三消。 類似解方程，代入消元。 按照運算順序，將基本運算還原成文法。 狀態消去法。被消去的中間狀態對<射入，射出>的狀態對都有影響。 按照運輸按順序，將基本運算畫成自動機。 右線性文法 有限自動機 正則表達式

例子：

G=（{S，A}，{0，1}，P ，S）其中P：S—>1A，A—> 0A |1S|0

文法轉正則式：解方程
$A\to 0A|1S|0,即A\to 0A|11A|0，解得A=(0+11{)}^{?}0，得S=1(0+11{)}^{?}0$

正則式轉文法：按照運算順序，按基本運算還原。
$1,(0+11{)}^{?},0$是依次連接的，對應文法的連接，則$S\to 1A0,A\to (0+11{)}^{?}$
閉包運算的文法是$A\to aA|?$，所以$A\to 0A|11A|?$

文法轉自動機：生成一個吃一個，生成終結符串的，轉移到一個新增的接受狀態。
因為mermaid語法的限制，用方形框表示接受。
$S\to 1A$，則狀態$q_S$用字符$1$轉移到狀態$q_A$，其他以此類推。
$A$可以推出終結符串$0$，則$q_A$通過$0$轉移到新的接受狀態$q_H$

1 0 1 0 qs qa qh

自動機轉文法：每一個轉移，對應一個產生式。轉移到接受狀態的，額外增加推出終結符串。
$q_S$接受$1$轉移到$q_A$，所以文法有產生式$q_S\to 1q_A$，其他以此類推。
最后可能要做三消（消單消空消遞歸）。
$$\begin{gathered} q_S\to 1q_A \\ {q}_A\to 1q_S \\ {q}_A\to 0q_A \\ {q}_A\to 0{\mathbf{q}}_{\mathbf{H}}|0 \end{gathered}$$

自動機轉正則式：狀態消去法
要消去狀態$q_A$，入射$q_A$的有$\{q_S\}$，出射$q_A$的有$\{q_H,q_S\}$，所以對$q_S$到$q_H$，$q_S$到$q_S $有影響。

10*1 10*0 qs qh

此時已經是基本結構，一舉寫出
$$S=(10^{?}1{)}^{?}10^{?}0$$

正則式轉自動機：按照運算順序，按基本運算還原。
用$S=1(0+11{)}^{?}0$來還原，5.里那個比較復雜。
$1,(0+11{)}^{?},0$是依次連接的，對應自動機某一些狀態區域的空轉移。
空閉包的結構是，要么空轉移，要么在原地轉圈后轉移。
0+11的結構是，兩條并行線。
11結構是，順序執行。

rightZone midZone leftZone 1 空 空 0 1 1 空 0 c q3 qf a q2 d q1

4.4 有限自動機→正則表達式：狀態消去法

精髓：將正則表達式作為轉移弧的標記。不斷刪去狀態，刪去狀態時將其前驅和后繼的轉移弧標記修改。刪到基本結構時寫出最終表達式。

刪除方法：

基本結構：

對于$q\in F$

$q=q_0$，則正則表達式為$(R+S{U}^{?}T{)}^{?}S{U}^{?}$，即觀察從$q_0$到$q$的可能路徑。
為到達$q_0$，可以在$q_0$自環轉任意次或者$q_0$和$q$之間反復橫跳任意次。
之后要到達$q$，一定會單獨經過一次$S$，然后在$q$又可以自環轉任意次。

$q=q_0$，最后可以刪到只剩下一個狀態。正則表達式為$R^{?}$.

當有$|F|>1$，即有多個狀態被接受時，將到達每個終態的正則表達式加起來。

技巧：刪去的順序不一定，可以先局部再整體。

例子：

• 另有狀態消去法的形式化方法– CONVERT(G)，但其不適合手工操作，略去不表。

4.5 正則表達式→有限自動機

精髓：將正則表達式的匹配過程寫成一個二叉樹，然后中序遍歷，按照幾種基本結構將其畫成自動機。
其實大多數時候是隨手畫。

基礎：

歸納：

4.6 右線性文法→有限自動機

精髓：因為右線性文法每次會產生一個非終結符合一個終結符，將生成終結符作為自動機的轉移條件，產生的非終結符作為下一個狀態。
因為只產生終結符時應該是接受狀態，但是文法中沒有這個符號，所以就新建一個符號H，讓終結符指向H，H被接受。
為了不引入空轉移，根據是否能由S推出空串決定S的可接受性。

方法：設右線性文法$G＝（N，T，P，S）$，構造一個與G等
價的有限自動機$NFAM＝（Q，T，\delta ，q_0，F）$，其中： $Q＝N\cup H$，$H$為一個新增加的狀態, $H\in /N$， $q_0＝S$.
$$F=\{\begin{array}{l}\{H,S\},ifS\to ?\in P\\ \{H\}\end{array}$$
$\delta :$
$$\begin{gathered} B\in \delta (A,a)ifA\to aB\in P \\ H\in \delta (A,a)ifA\to a\in P \\ \delta (H,a)=? \end{gathered}$$
例子：

4.7 有限自動機→右線性文法

精髓：把$\delta$函數的轉移看成是一個個生成式。

方法：設$NFAM＝（Q，T，\delta ，q_0，F）$，構造一個右線性文法$G＝（N，T，P，S）$，其中$N＝Q$， $S＝q_0$

$P:$
$$A\to aB\in Pif\delta (A,a)=B,thenifB\in F,addA\to atoP$$
例子：

4.8 DFA的最小化：填表算法

• 最小化：對DFA M的極小化是找出一個狀態數比M少的
  DFA M1，使滿足 L(M) = L(M1)。若DFA Ｍ不存在互為等價狀態及不可達狀態，則稱 DFA Ｍ是最小化的.
• 狀態偶對：兩個狀態的有序二元組稱為狀態偶對。
• 狀態的等價和可區分：兩者是對立的。對于某一DFA M，如果兩個狀態$q_0,q_1$通過任意的串$\omega$都可以轉移接收狀態（不一定是同一個接收狀態），則兩者等價。反之兩者可區分。
  即：設$DFAM=(Q，T，\delta ，q_0，F)$，若$q_x,q_y\in Q$，對于$?\omega \in T^{?}$，若$(q_x,\omega ){┣}^{?}(q_x,?)?(q_y,\omega ){┣}^{?}(q_y,?)$，則$q_x,q_y$等價，反之兩者可區分。
• 不可達狀態：即無法從$q_0$輸入任何字符串$\omega$到達的狀態。

4.8.1 刪除不可達狀態

可以減小填表算法的負擔。
從$q_0$開始，迭代尋找(bfs)可以到達的狀態$Q_{可達}$，則$Q?Q_{可達}$即為不可達狀態，刪除不可達狀態即含有其的轉移條目。

4.8.2 填表算法

精髓：因為狀態的等價關系是傳遞的，可以通過兩兩判斷等價性來找出所有等價的狀態。又因為是自反的、對稱的，所以只需要一個$n\times n$表格的下三角部分來記錄，且不需要對角線。
如果沒有理由認為兩個狀態是可區分的，那么就認為他們是等價的。

方法：

基礎：所有的終態和非終態是可區分的。

歸納：如果某兩個狀態$q_x,q_y$可以通過符號$a$轉移到兩個可區分的狀態，那么他們是可區分的。

例子：

4.8.3 等價狀態的合并

將所有的狀態根據等價性構成一個劃分，將劃分塊用其等價類代替。
用等價類作為狀態標記構造一個新的DFA，其轉移關系為：如果原來不同劃分之間至少有一種轉移，那么這兩個等價類增加一條轉移。
即：設待最小化的DFA為$DFAA=(Q,T,\delta ,q_0,F)$ ，最小化的自動機為$DFAB=(Q_B,T,{\delta }_B,[q0],F_B)$ , 其中 $Q_B=\{[q]|q\in Q\}$, ${\delta }_B([q],a)=[\delta (q,a)]\}$，$F_B=\{[q]|q\in F\}$

4.8.4 例子

4.9 正則語言的泵引理

精髓：因為正則語言對應的是有限自動機，其狀態數是有限的，那么由Pigeonhole Rule，對于無限的語言（有限語言可以通過“并”構成正則語言），如果其為正則語言，那么一定會在自動機的某一段繞圈來達到無限。

泵引理：正則語言中足夠長的句子一定能拆成三段，并且中間一段重復0次或任意多次得到的句子仍然屬于正則語言（可以Pumping in和Pumping out）。泵引理成立是正則語言的一個必要條件。

用泵引理來證明某語言不是正則語言

證明步驟

選任意的n.

找到一個滿足以下條件的串$w\in L$ (長度至少為n).

任選滿足$w=xyz\wedge y=?\wedge |xy|\le n$ 的$x,y,z$

找到一個 $k\ge 0$, 使 $x{y}^{k}z=L$.

例子：利用泵引理證明下述語言不是正則語言：
$$L=\{1^{n^2}|n\ge 0\}$$
答：

假設$L$是正則語言。

那么，存在$N\in Z^{+}$，對于$?\omega \in L(|\omega |\ge N)$滿足泵引理。

取$\omega =1^{N^2}$，顯然$\omega \in L$且$|\omega |=N^2\ge N$。

那么，$\omega$可以被分為$\omega =xyz$，且$|xy|\le N,|y|>0$.

那么，$y$只能是$1^m(m>0)$,$x$為$1^l(l\ge 0)$，$z$為$1^{N^2?l?m}$，且滿足$m+l\le N$。

那么$x{y}^{2}z=1^l{1}^{2m}{1}^{N^2?l?m}=1^{N^2+m}$。

因為$m>0$所以$N^2+m>N^2$；因為$m+l\le N$且$l\ge 0$，得$m\le N$，所以$N^2+m\le N^2+N<N^2+2N+1=(N+1{)}^2$，所以$N^2<N^2+m<(N+1{)}^2$，即新串的長度嚴格位于兩個完全平方數之間，所以其不是完全平方數。

則$x{y}^{2}z\in /L$，而由泵引理$x{y}^{2}z\in L$，所以假設不成立，$L$不是正則語言。

例子：由文法$G$產生的語言$L(G)$，其中$P:S\to aSbS|c$.
語言的描述有很多種，用類似$a^n{b}^n$的公式化描述的只有一部分。還有用敘述性描述（比如a和b的數量一樣多）和文法描述的（本題）。這些描述有時候很難寫出完全等價的公式化描述，其實只需要其中的一個句子即可。

假設L是正則語言，則存在正整數N，對于任意L內的字符串$\omega$成立$|\omega |\ge N$時，可以應用泵引理。

對于L，不妨取$\omega =a^{N}c(bc{)}^N={\omega }_1{\omega }_0{\omega }_2$，則$|{\omega }_0|>0,|{\omega }_1{\omega }_0|\le N$，顯然${\omega }_0=a^i(i>0)$。

則對于${\omega }^{\prime }={\omega }_1{\omega }_0^2{\omega }_2=a^{N+i}c(bc{)}^N$，其不屬于$L$（注意是文法那個L，不是取的句子），而與泵引理矛盾，所以L不是正則語言。

4.10 雙向有限自動機(2DFA)

雙向有限自動機：讀入一個字符之后，讀頭既可以左移一格， 也可以右移一格，或者不移動的有限自動機。

確定的雙向有限自動機: 每讀入一字符，必須向左或右移動，不考慮不移動的情況.

4.10.1 2DFA的五要素

$2DFAM＝(Q，T，\delta ，q_0，F)$

$\delta :Q\times T\to Q\times \{L,R\}$
$$\delta (q,a)=(p,R)or\delta (q,a)=(p,L)$$
其他與DFA相同。即每次除了狀態轉移之外還要移動讀頭（左移或右移一格）。

4.10.2 2DFA的格局

• 2DFA的格局和DFA的不同，要把字符串整個列出來。

• $\delta (q，a_{m+1})=(p，R)$的格局表示：$a_1{a}_2\dots a_{m}q{a}_{m+1}\dots a_n┣a_1{a}_2\dots a_{m+1}pa+m+2\dots a_n$

• $\delta (q，a_{m+1})=(p，L)$的格局表示: $a_1{a}_2\dots a_{m}q{a}_{m+1}\dots a_n┣a_1{a}_2\dots a_{m?1}p{a}_m{a}_{m+1}\dots a_n$

4.10.3 2DFA接受的語言

• 2DFA接受的語言是$L(M)=\{\omega |q_{\omega }{┣}_{\omega }^{?}q，q\in F\}$

4.11 有輸出的有限自動機(Mealy&Moore)

有輸出的有限自動機是有限自動機的一個類型.
這類自動機在有字符輸入時，不僅存在狀態轉換， 同時引起字符輸出.

根據輸入字符，自動機狀態，輸出字符三者之 間關系，可有兩類有輸出的自動機:

米蘭機(Mealy): 輸出字符與輸入字符及狀態有關.
摩爾機(Moore): 輸出字符僅與狀態有關.

最大優點: 節省狀態

4.11.1 Mealy機

• $M＝(Q，T，R，\delta ，g，q_0)$
  相比DFA，多了輸出函數$g:Q\times T\to R$
  $\delta$和$g$函數共同描述Mealy機的工作情況。

• 繪圖：
  $$\{\begin{array}{l}\delta (p,a)=q\\ g(p,a)=b\end{array}$$
  繪制為

  a/b p q

• 例子：
  
  

4.11.2 Moore機

• $M＝(Q，T，R，\delta ，g，q_0)$
  相比DFA，多了轉移函數$g$
  相比Mealy機，Moore機的轉移函數$g$是個一元函數，只與當前狀態有關。

• 繪圖：
  $$?\begin{array}{l}\delta (p,a)=q\\ g(p)=b_1\\ g(q)=b_2\end{array}$$
  繪制為

  a p,b1 q,b2

  因為輸出只與狀態有關，所以把輸出寫在狀態圈里。

• 例子：

4.11.3 Moore機→Mealy機

• Moore機比較簡單，所以轉換成Mealy機很方便。
• 將Moore機中某個狀態$q$的輸出$b$，作為新的Mealy機任何到達$q$狀態的轉移時的輸出。
  即：設摩爾機$M＝(Q,T,R,\delta ,g,q_0)$ 米蘭機$M’＝(Q,T,R,\delta ,g’,q_0)$ 如果$中$有$\delta (q，a)=p$，$ g§ = b$ 則$M’$中有$g’(q，a)=b=g(\delta (q，a))$

例子：

4.11.4 不做要求：Mealy機→Moore機

略去不表。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的形式语言与自动机 Part.4 正则语言，2DFA，MealyMoore机的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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