一. 概述

由于RSA、AES等國際算法面臨高強(qiáng)度算法禁售和被部署后門風(fēng)險，我國基于ECC橢圓曲線，自研SM2/SM3/SM4/SM9一套安全算法。根據(jù)國家整體戰(zhàn)略，金融及重要領(lǐng)域要逐步實(shí)現(xiàn)國密算法替換，另根據(jù)人民銀行總體規(guī)劃，在2022年金融行業(yè)要全面應(yīng)用國密算法。

在FireFly移動金融開發(fā)平臺中，完善的提供了支持國密算法的加解密算法包。為了更好的使用和推廣國密算法，下面具體分析ECC橢圓曲線的加密原理。

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二. 橢圓曲線算法原理

橢圓曲線(Elliptic Curve Cryptography)加密算法是一種公鑰加密技術(shù)，以橢圓曲線理論為基礎(chǔ)。利用有限域上橢圓曲線的點(diǎn)構(gòu)成的Abel群離散對數(shù)難解性，實(shí)現(xiàn)加密、解密和數(shù)字簽名。將橢圓曲線中的加法運(yùn)算與離散對數(shù)中的模乘運(yùn)算相對應(yīng)，就可以建立基于橢圓曲線的對應(yīng)密碼體制。

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三. 橢圓曲線算法優(yōu)化

1. 更適合于移動互聯(lián)網(wǎng)

在同等加密安全強(qiáng)度下，ECC密鑰長度為163bit，而RSA密鑰長度為1024bit。ECC加密算法的密鑰長度很短，意味著占用更少的存儲空間，更低的CPU開銷和占用更少的帶寬。隨著越來越多的用戶使用移動設(shè)備來完成各種網(wǎng)上活動，ECC加密算法為移動互聯(lián)網(wǎng)安全提供更好的客戶體驗(yàn)。### 2. 更好的安全性

ECC加密算法提供更強(qiáng)的保護(hù)，比目前的其他加密算法能更好的防止攻擊，使你的網(wǎng)站和基礎(chǔ)設(shè)施比用傳統(tǒng)的加密方法更安全，為移動互聯(lián)網(wǎng)安全提供更好的保障。### 3. 更好的性能

ECC加密算法需要較短的密鑰長度來提供更好的安全。

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四.橢圓曲線理論基礎(chǔ)

1. 定義

一條橢圓曲線是在射影平面上滿足方程

Y2Z + a1XYZ + a3Yz2 = X3+ a2X2Z + a4XZ2 + a5Z3

所有點(diǎn)的集合，且曲線上的每個點(diǎn)都是非奇異（或光滑）的。* 該方程是Weierstrass方程，是一個齊次方程。* 橢圓曲線的形狀，并不是橢圓的。只是因?yàn)闄E圓曲線的描述方程，類似于計(jì)算一個橢圓周長的方程，故得名。下面是橢圓曲線的形狀：

• 由橢圓曲線的定義可以知道，橢圓曲線是光滑的，所以橢圓曲線上的平常點(diǎn)都有切線。

2. 橢圓曲線上的加密

① 運(yùn)算法則

任意取橢圓曲線上兩點(diǎn)P、Q （若P、Q兩點(diǎn)重合，則做P點(diǎn)的切線）做直線交于橢圓曲線的另一點(diǎn)R’，過R’做y軸的平行線交于R。我們規(guī)定P+Q=R。（如圖）

② 運(yùn)算法則詳

• 這里的+是從普通加法中抽象出來的加法，他具備普通加法的一些性質(zhì)，但具體的運(yùn)算法則顯然與普通加法不同。* k個相同的點(diǎn)P相加，我們記作kP。如下圖：P+P+P = 2P+P = 3P，3P即為P點(diǎn)的3倍點(diǎn)。
• 3. 有限域上的橢圓曲

① 有限域

前面講到的橢圓曲線是定義在實(shí)數(shù)域上的，實(shí)數(shù)是連續(xù)的，導(dǎo)致了橢圓曲線的連續(xù)，但是并不適合用于加密。所以，必須把橢圓曲線變成離散的點(diǎn)，需要把橢圓曲線定義在有限域上（顧名思義，有限域是一種只有由有限個元素組成的域）。

下面，給出一個有限域Fp，這個域只有有限個元素。

Fp中只有p（p為素?cái)?shù)）個元素0,1,2 …… p-2,p-1；

Fp 的加法（a+b）法則是a+b≡c (mod p)；即(a+b)÷p的余數(shù)和c÷p的余數(shù)相同。

Fp 的乘法(a×b)法則是 a×b≡c (mod p)；

Fp 的除法(a÷b)法則是 a/b≡c (mod p)；即a×b-1≡c (mod p)；（b-1也是一個0到p-1之間的整數(shù)，但滿足b×b-1≡1 (mod p)；

Fp 的單位元是1，零元是0。② 可加密橢圓曲線

同時，并不是所有的橢圓曲線都適合加密。y2 = x3 + ax + b是一類可以用來加密的橢圓曲線，也是最為簡單的一類。下面就把 y2 = x3 + ax + b這條曲線定義在Fp上：

選擇兩個滿足下列條件的小于p(p為素?cái)?shù))的非負(fù)整數(shù)a、b

4a3 + 27b2 ≠ 0 (mod p)

則滿足下列方程的所有點(diǎn)(x,y)，再加上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)O∞ ，構(gòu)成一條橢圓曲線。

y2 = x3 + ax + b(mod p)

其中x,y屬于0到p-1間的整數(shù)，并將這條橢圓曲線記為Ep(a,b)。

示例：查看 y2 = x3 + x + 1 (mod 23)的圖像

這樣橢圓曲線，就成了一個一個離散的點(diǎn)，橢圓曲線在不同的數(shù)域中會呈現(xiàn)出不同的樣子，但其本質(zhì)仍是一條橢圓曲線。③ 計(jì)算橢圓曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)

Fp上的橢圓曲線同樣有加法，根據(jù)加法法則，可以計(jì)算出橢圓曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)。

已知點(diǎn)P(x1, y1), Q(x2,y2)，計(jì)算點(diǎn)R(x3, y3)：

X3 ≡ k2 – x1 – y1 (mod p)

Y3 ≡ k(x1–x3) –y1 (mod p)

若P≠Q(mào)，PQR三點(diǎn)共線，其斜率 k=(y2–y1) / (x2 –x1) 。

其中若P=Q，PR為過P點(diǎn)的橢圓切線，其斜率 k=(3x12+ a) / 2y1④ 橢圓曲線上的點(diǎn)的階

如果橢圓曲線上一點(diǎn)P，存在最小的正整數(shù)n，使得數(shù)乘nP=O∞，則將n稱為P的階，若n不存在，我們說P是無限階的。事實(shí)上，在有限域上定義的橢圓曲線上所有的點(diǎn)的階n都是存在的。

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五. 橢圓曲線加解密原理

1. 加解密依據(jù)

公開密鑰算法總是要基于一個數(shù)學(xué)上的難題。比如RSA依據(jù)的是：給定兩個素?cái)?shù)p、q 很容易相乘得到n，而對n進(jìn)行因式分解卻相對困難。那橢圓曲線上有什么難題呢？

考慮如下等式：

K=kG [其中K,G為Ep(a,b)上的點(diǎn)，k為小于n（n是點(diǎn)G的階）的整數(shù)]

給定k和G，根據(jù)加法法則，計(jì)算K很容易；但給定K和G，求k就相對困難了。這就是橢圓曲線加密算法采用的難題。

我們把點(diǎn)G稱為基點(diǎn)（base point），k（k<n，n為基點(diǎn)G的階）稱為私有密鑰（privte key），K稱為公開密鑰（public key)。

k = 2，K為G的2倍點(diǎn);

k = 3，K為G的3倍點(diǎn);

k = 4，K為G的4倍點(diǎn);

…

如果給定橢圓曲線上K為G的一個倍點(diǎn)，如何計(jì)算K為G的多少倍？直觀上理解，正向計(jì)算一個倍點(diǎn)是容易的，反向計(jì)算一個點(diǎn)K是G的幾倍點(diǎn)則困難的多。因此在橢圓曲線算法中，將倍數(shù)k做為私鑰，將K做為公鑰。### 2. 加解密過程

現(xiàn)在我們描述一個利用橢圓曲線進(jìn)行加密通信的過程：

1.用戶A選定一條橢圓曲線Ep(a,b)，并取橢圓曲線上一點(diǎn)，作為基點(diǎn)G。2.用戶A選擇一個私有密鑰k，并生成公開密鑰K=kG。3.用戶A將Ep(a,b)和點(diǎn)K，G傳給用戶B。4.用戶B接到信息后，將待傳輸?shù)拿魑木幋a到Ep(a,b)上一點(diǎn)M（編碼方法很多，這里不作討論），并產(chǎn)生一個隨機(jī)整數(shù)r（r<n）。5.用戶B計(jì)算點(diǎn)C1=M+rK；C2=rG。6.用戶B將C1、C2傳給用戶A。7.用戶A接到信息后，計(jì)算C1-kC2，結(jié)果就是點(diǎn)M。因?yàn)镃1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M

再對點(diǎn)M進(jìn)行解碼就可以得到明文。

在這個加密通信中，如果有一個偷窺者H ，他只能看到Ep(a,b)、K、G、C1、C2而通過K、G 求k 或通過C2、G求r 都是相對困難的。因此，H無法得到A、B間傳送的明文信息。### 3. 加解密參數(shù)

密碼學(xué)中，描述一條Fp上的橢圓曲線，常用到六個參數(shù)：

T=(p,a,b,G,n,h)。

p 、a 、b 用來確定一條橢圓曲線，

G為基點(diǎn)，

n為點(diǎn)G的階，

h 是橢圓曲線上所有點(diǎn)的個數(shù)m與n相除的整數(shù)部分。

這幾個參數(shù)取值的選擇，直接影響了加密的安全性。參數(shù)值一般要求滿足以下幾個條件：

1.p 當(dāng)然越大越安全，但越大，計(jì)算速度會變慢，200位左右可以滿足一般安全要求；2.p≠n×h；3.pt≠1 (mod n)，1≤t<20；4.4a3 + 27b2 ≠ 0 (mod p)；5.n 為素?cái)?shù)；6.h≤4。

六.橢圓曲線數(shù)字簽名原理

1. 概述

橢圓曲線數(shù)字簽名算法（ECDSA）是使用橢圓曲線密碼（ECC）對數(shù)字簽名算法（DSA）的模擬。

ECDSA是ECC與DSA的結(jié)合，整個簽名過程與DSA類似，所不一樣的是簽名中采取的算法為ECC，最后簽名出來的值也是分為r,s。### 2. 簽名過程

1.選擇一條橢圓曲線Ep(a,b)，和基點(diǎn)G；2.選擇私有密鑰k（k<n，n為G的階），利用基點(diǎn)G計(jì)算公開密鑰K=kG；3.產(chǎn)生一個隨機(jī)整數(shù)r（r<n），計(jì)算點(diǎn)R=rG；4.將原數(shù)據(jù)和點(diǎn)R的坐標(biāo)值x,y作為參數(shù)，計(jì)算SHA1做為hash，即Hash=SHA1(原數(shù)據(jù),x,y)；5.計(jì)算s≡r - Hash * k (mod n)；6.r和s做為簽名值，如果r和s其中一個為0，重新從第3步開始執(zhí)行。### 3. 驗(yàn)簽過程

接受方在收到消息(m)和簽名值(r,s)后，進(jìn)行以下運(yùn)算：

1.計(jì)算：sG+H(m)P=(x1,y1), r1≡x1 mod p。2.驗(yàn)證等式：r1 ≡r mod p。3.如果等式成立，接受簽名，否則簽名無效。

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七.橢圓曲線算法應(yīng)用

橢圓加密算法的應(yīng)用范圍很廣，如 TLS、openPGP以及SSH都在使用，在比特幣以及其他加密數(shù)字貨幣中也得到廣泛使用。另外我國重點(diǎn)推廣的國密SM2算法也正是基于橢圓曲線算法。下面以SM2和TLS為例進(jìn)行說明：

1. SM2

① 概述

SM2算法和RSA算法都是公鑰密碼算法，隨著密碼技術(shù)和計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，目前常用的1024位RSA算法面臨嚴(yán)重的安全威脅，我們國家密碼管理部門經(jīng)過研究，決定采用SM2橢圓曲線算法替換RSA算法。SM2算法在安全性、性能上都具有優(yōu)勢，參見表1算法攻破時間，表2算法性能。

RSA密鑰強(qiáng)度	橢圓曲線密鑰強(qiáng)度	是否攻破
512	106	已被攻破
768	132	已被攻破
1024	160
2048	210

表1 算法攻破時間

算法	簽名速度(次/秒)	驗(yàn)簽速度(次/秒)
1024位RSA	2792	51224
2048位RSA	455	15122
256位SM2	4095	871

表2 算法性能② SM2和橢圓曲線算法之間的關(guān)系

SM2算法采用的橢圓曲線方程為：y2= x3+ ax + b,在SM2算法標(biāo)準(zhǔn)中，通過指定a、b系數(shù)，確定了唯一的標(biāo)準(zhǔn)曲線。同時，為了將曲線映射為加密算法，SM2標(biāo)準(zhǔn)中還確定了其它參數(shù)，供算法程序使用。③ SM2加解密過程

下面是SM2加解密流程中使用到的符號縮略語：

A, B 使用公鑰密碼系統(tǒng)的兩個用戶。

dB 用戶B 的私鑰。

E(Fq) Fq 上橢圓曲線E 的所有有理點(diǎn)(包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)O)組成的集合。

Fq 包含q 個元素的有限域。

G 橢圓曲線的一個基點(diǎn)，其階為素?cái)?shù)。

Hash() 密碼雜湊算法。

Hv( ) 消息摘要長度為v 比特的密碼雜湊算法。

KDF( ) 密鑰派生函數(shù)。

h 余因子，h=#E(Fq)/n，其中n 是基點(diǎn)G 的階。

M 待加密的消息。

M’ 解密得到的消息。

n 基點(diǎn)G 的階(n 是#E(Fq)的素因子)。

O 橢圓曲線上的一個特殊點(diǎn)，稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)或零點(diǎn)，是橢圓曲線加法群的單位元。

PB 用戶B 的公鑰。

q 有限域Fq 中元素的數(shù)目。

a, b Fq 中的元素，它們定義Fq 上的一條橢圓曲線E。

x||y x 與y 的拼接，x、y 是比特串或字節(jié)串。

[k]P 橢圓曲線上點(diǎn)P 的k 倍點(diǎn)。

E(Fq) E(Fq)上點(diǎn)的數(shù)目，稱為橢圓曲線E(Fq)的階。

M⊕t xor運(yùn)算a. 加密算法流程

SM2加密使用公鑰加密，公鑰由一個曲線坐標(biāo)點(diǎn)組成，在X.509證書中的公鑰表示為04標(biāo)記開始的2個32byte的BigInteger，即曲線點(diǎn)P（x,y）。SM2公鑰加密算法比RSA相對復(fù)雜，加密結(jié)果由3個部分組成，SM2加密過程中使用了隨機(jī)數(shù)，因此同樣的明文數(shù)據(jù)每一次加密結(jié)果都不一樣。

設(shè)需要發(fā)送的消息為比特串M，klen 為M 的比特長度。

為了對明文M 進(jìn)行加密，作為加密者的用戶A 應(yīng)實(shí)現(xiàn)以下運(yùn)算步驟：

A1：用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)k∈[1, n-1]；

A2：計(jì)算橢圓曲線點(diǎn)C1 = [k]G=(x1, y1)，按SM2 橢圓曲線公鑰密碼算法第1 部分3.2.9 和3.2.5 給

出的方法，將C1 的數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換為比特串；

A3：計(jì)算橢圓曲線點(diǎn)S= [h]PB，若S 是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則報錯并退出；

A4：計(jì)算橢圓曲線點(diǎn)[k]PB=(x2, y2)，按SM2 橢圓曲線公鑰密碼算法第1 部分3.2.6 和3.2.5 給出的

方法，將坐標(biāo)x2、y2 的數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換為比特串；

A5：計(jì)算t = KDF(x2||y2，klen)，若t 為全0 比特串，則返回A1；

A6：計(jì)算C2=M⊕t；

A7：計(jì)算C3= Hash (x2||M|| y2)；

A8：輸出密文C=C1||C3||C2。

根據(jù)國密推薦的SM2橢圓曲線公鑰密碼算法，首先產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)計(jì)算出曲線點(diǎn)C1，2個32byte的BigInteger大數(shù)，即為SM2加密結(jié)果的第1部分。第2部分則是真正的密文，是對明文的加密結(jié)果，長度和明文一樣。第3部分是雜湊值，用來效驗(yàn)數(shù)據(jù)。按國密推薦的256位橢圓曲線，明文加密結(jié)果比原長度會大96byte。

b. 解密算法流

SM2解密算法是加密逆運(yùn)算。首先需要從密文中取出加密結(jié)果的3部分值，然后通過私鑰計(jì)算出M’明文值，最后效驗(yàn)數(shù)據(jù)

設(shè)klen 為密文中C2 的比特長度。

為了對密文C=C1||C3||C2 進(jìn)行解密，作為解密者的用戶B 應(yīng)實(shí)現(xiàn)以下運(yùn)算步驟：

B1：從C 中取出比特串C1，按SM2 橢圓曲線公鑰密碼算法第1 部分3.2.4 和3.2.10 給出的方法，

將C1 的數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換為橢圓曲線上的點(diǎn)，驗(yàn)證C1 是否滿足橢圓曲線方程，若不滿足則報錯

并退出；

B2：計(jì)算橢圓曲線點(diǎn)S= [h]C1，若S 是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則報錯并退出；

B3：計(jì)算[dB]C1= (x2, y2)，按SM2 橢圓曲線公鑰密碼算法第1 部分3.2.6 和3.2.5 給出的方法，將

坐標(biāo)x2、y2 的數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換為比特串；

B4：計(jì)算t = KDF(x2||y2，klen)，若t 為全0 比特串，則報錯并退出；

B5：從C 中取出比特串C2，計(jì)算M’=C2⊕t；

B6：計(jì)算u = Hash (x2||M’|| y2)，從C 中取出比特串C3，若u≠C3，則報錯并退出；

B7：輸出明文M’。

SM2解密同樣也可以使用軟算法實(shí)現(xiàn)。但因?yàn)樯婕暗剿借€運(yùn)算，為保護(hù)私鑰安全，建議在硬件設(shè)備中運(yùn)行，例如UKey等存儲介質(zhì)這樣可以更好的保護(hù)密鑰安全。拿文件加密來說，首先拿UKey里面的加密證書加密，這部分可在應(yīng)用系統(tǒng)內(nèi)完成。解密的話則需要加密證書對應(yīng)UKey才能做解密，由應(yīng)用系統(tǒng)調(diào)用UKey解密接口，在物理硬件內(nèi)完成數(shù)據(jù)解密，同時可以受設(shè)備PIN碼保護(hù)。④ SM2算法的速度和結(jié)果長" style=“margin: auto” />

簡單講，SM2簽名速度快，驗(yàn)簽速度慢，這點(diǎn)和RSA算法的特性正好相反。參見上表2。另外，加解密速度和驗(yàn)簽速度相當(dāng)。

SM2支持近128G字節(jié)數(shù)據(jù)長度，加密結(jié)果增加96個字節(jié)。

SM2簽名算法對原始數(shù)據(jù)量長度無限制，簽名結(jié)果為64字節(jié)。### 2. TLS

① 概述

HTTPS 通過TLS 層和證書機(jī)制提供了內(nèi)容加密、身份認(rèn)證和數(shù)據(jù)完整性三大功能，可以有效防止數(shù)據(jù)被監(jiān)聽或篡改，還能抵御MITM（中間人）攻擊。TLS 在實(shí)施加密過程中，需要用到非對稱密鑰交換和對稱內(nèi)容加密兩大算法。對稱內(nèi)容加密強(qiáng)度非常高，加解密速度也很快，只是無法安全地生成和保管密鑰。在TLS 協(xié)議中，應(yīng)用數(shù)據(jù)都是經(jīng)過對稱加密后傳輸?shù)?#xff0c;傳輸中所使用的對稱密鑰，則是在握手階段通過非對稱密鑰交換而來。② TLS中密鑰交換算法

目前最常用的密鑰交換算法有RSA 和ECDHE：RSA 歷史悠久，支持度好，但不支持PFS（Perfect Forward Secrecy）；而ECDHE 是使用了ECC（橢圓曲線）的DH（Diffie-Hellman）算法，計(jì)算速度快，支持PFS。③ 基于ECC的密鑰交換算法

下面是五種常見的基于ECC的TLS 密鑰交換算法，它們分別模仿DH_DSS，DHE_DSS，DH_RSA，DHE_RSA和DH_anon。

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以ECDHE_ECDSA為例：

證書包含ECDSA-capable 公鑰，使用ECDHE 算法協(xié)商預(yù)備主密鑰; 證書必須允許密鑰用于使用將在Server 密鑰交換消息中使用的散列算法進(jìn)行簽名;公鑰必須使用一個能夠被Client 支持的曲線和點(diǎn)格式，Client 通過Client Hello 消息中的ec_point_formats 擴(kuò)展指定支持的命名曲線，正如 [TLSECC] 中描述的那樣。這是TLS 1.2 中最安全，性能最高的密碼套件。④ ECDHE密鑰交換的完整握手流程

A: 客戶端向服務(wù)器發(fā)送Client Hello,告知服務(wù)器，客戶端支持的協(xié)議版本、加密套件等信息。

B: a. 服務(wù)端收到響應(yīng)，選擇雙方都支持的協(xié)議、套件，向客戶端發(fā)送Server Hello，同時服務(wù)器也將自己的證書發(fā)送到客戶端(Certificate)。

b. 服務(wù)器利用私鑰將客戶端隨機(jī)數(shù)、服務(wù)器隨機(jī)數(shù)、服務(wù)器DH參數(shù)簽名，生成服務(wù)器簽名。

C: 服務(wù)端向客戶端發(fā)送服務(wù)器DH參數(shù)以及服務(wù)器簽名(Server Key Exchange)。

D: 客戶端向服務(wù)端發(fā)送客戶端DH參數(shù)(Client Key Exchange)。

之后，客戶端利用公鑰驗(yàn)證服務(wù)器簽名，客戶端與服務(wù)器各自利用服務(wù)端DH參數(shù)、客戶端DH參數(shù)生成預(yù)主密鑰，再通過預(yù)主密鑰、客戶端隨機(jī)數(shù)、服務(wù)端隨機(jī)數(shù)生成主密鑰(會話密鑰)。最后握手完成，所有的消息都通過主密鑰加密。如圖：

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八. 結(jié)論

橢圓曲線ECC算法基于橢圓曲線理論，可以用較少的計(jì)算能力提供更高的安全強(qiáng)度，有效地解決了“提高安全強(qiáng)度必須增加密鑰長度”的工程實(shí)現(xiàn)問題，且已經(jīng)得到廣泛的支持和使用，讀者在選擇加密算法時，ECC算法不失為一個優(yōu)秀的選擇。

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九. 參考資料

ECC加密算法入門介紹https://www.pediy.com/kssd/pediy06/pediy6014.htmElliptic

Curve Cryptography: a gentle introductionhttps://andrea.corbellini.name/2015/05/17/elliptic-curve-cryptography-a-gentle-introduction/

國家密碼管理局http://www.oscca.gov.cn/

國家商用密碼（一）SM2橢圓曲線公鑰密碼算法http://www.firstsolver.com/wordpress/?p=1938TLS_

ECChttps://tools.ietf.org/html/rfc4492

網(wǎng)絡(luò)安全成長路線圖

這個方向初期比較容易入門一些，掌握一些基本技術(shù)，拿起各種現(xiàn)成的工具就可以開黑了。不過，要想從腳本小子變成hei客大神，這個方向越往后，需要學(xué)習(xí)和掌握的東西就會越來越多，以下是學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)安全需要走的方向：

# 網(wǎng)絡(luò)安全學(xué)習(xí)方法

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# 網(wǎng)絡(luò)安全學(xué)習(xí)方法

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總結(jié)

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