今天做蒙特卡洛計算二重積分的時候遇見的問題
題目
利用蒙特卡洛方法求積分
$${?}_D{e}^{?x^2+y^2}{d}_x{d}_y$$其中D表示橢圓$4x^2+9y^2=36$的內部。

由于二重積分的積分區域是一個橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 所以是想在一個橢圓柱內隨機投點 算出積分表示的體積占整個橢圓柱的體積的百分比 再乘以橢圓柱的體積 就可以求出積分表示的體積
然后就利用蒙特卡洛再橢圓面內隨機投點 比較z軸的值即可
但是再隨機投點的時候 想到了兩種不同的投點方式
1.先投出一個矩形，再利用橢圓的方程限制一下范圍，最后得到一個橢圓
2.以極坐標的形式投點但最后兩種方式答案不一樣 所以我畫出了兩種方式投點得到的散點圖

%先投出矩形，再通過限制得到橢圓 subplot(1,2,1) for i =1:10000x=6*rand-3; %得到隨機數Xi～U(0,3) y=4*rand-2; %得到隨機數Xi～U(0,3) while ~(4*x^2+9*y^2<=36) x=6*rand-3; %得到隨機數Xi～U(0,3) y=4*rand-2; %得到隨機數Xi～U(0,3) end plot(x,y,'.') hold on; end %極坐標方式得到橢圓 subplot(1,2,2); m = 10000 for i = 1:mtheta = unifrnd(0,2*pi);r=rand;x= 3*cos(theta)*r;y= 2*sin(theta)*r; plot(x,y,'.'); hold on end

上圖中，右邊是極坐標形式投點，左邊是先投矩形再限制。
可以看出，利用極坐標形式投點得到的散點圖明顯不是均勻分布，在中心部分明顯比邊緣部分更密集。而右圖則呈現均勻的投點。我認為原因是利用極坐標形式在投點時，對于每一個半徑，在橢圓上的投點是均勻的，而且對不同的半徑也是均勻投點的，但是問題在于，不同的半徑橢圓的周長不一樣，而在每一圈上的投點個數是相等的，因此，在內部，點會更加密集，最終也就導致投點不均勻。
因此，利用極坐標投點看似均勻分布，實則內部更加密集。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的蒙特卡洛随机椭圆投点的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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