對于一個多元函數

用牛頓法求其極小值的迭代格式為

其中

為函數

的梯度向量，

為函數

的Hesse(Hessian)矩陣。

上述牛頓法不是全局收斂的。為此可以引入阻尼牛頓法(又稱帶步長的牛頓法)。

我們知道，求極值的一般迭代格式為

其中

為搜索步長，

為搜索方向(注意所有的迭代格式都是先計算搜索方向，再計算搜索步長，如同瞎子下山一樣，先找到哪個方向可行下降，再決定下幾步)。

取下降方向

即得阻尼牛頓法，只不過搜索步長

不確定，需要用線性搜索技術確定一個較優的值，比如精確線性搜索或者Goldstein搜索、Wolfe搜索等。特別地，當

一直取為常數1時，就是普通的牛頓法。

以Rosenbrock函數為例，即有

于是可得函數的梯度

函數

的Hesse矩陣為

編寫Python代碼如下(使用版本為Python3.3)：

"""

Newton法

Rosenbrock函數

函數 f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2

梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)

"""

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def jacobian(x):

return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])

def hessian(x):

return np.array([[-400*(x[1]-3*x[0]**2)+2,-400*x[0]],[-400*x[0],200]])

X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)

X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)

[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)

f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 給定的函數

plt.contour(x1,x2,f,20) # 畫出函數的20條輪廓線

def newton(x0):

print('初始點為:')

print(x0,'\n')

W=np.zeros((2,10**3))

i = 1

imax = 1000

W[:,0] = x0

x = x0

delta = 1

alpha = 1

while i10**(-5):

p = -np.dot(np.linalg.inv(hessian(x)),jacobian(x))

x0 = x

x = x + alpha*p

W[:,i] = x

delta = sum((x-x0)**2)

print('第',i,'次迭代結果:')

print(x,'\n')

i=i+1

W=W[:,0:i] # 記錄迭代點

return W

x0 = np.array([-1.2,1])

W=newton(x0)

plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 畫出迭代點收斂的軌跡

plt.show()

上述代碼中jacobian(x)返回函數的梯度，hessian(x)返回函數的Hesse矩陣，用W矩陣記錄迭代點的坐標，然后畫出點的搜索軌跡。

可得輸出結果為

初始點為:

[-1.2 1. ]

第 1 次迭代結果:

[-1.1752809 1.38067416]

第 2 次迭代結果:

[ 0.76311487 -3.17503385]

第 3 次迭代結果:

[ 0.76342968 0.58282478]

第 4 次迭代結果:

[ 0.99999531 0.94402732]

第 5 次迭代結果:

[ 0.9999957 0.99999139]

第 6 次迭代結果:

[ 1. 1.]

即迭代了6次得到了最優解，畫出的迭代點的軌跡如下：

由于主要使用了Python的Numpy模塊來進行計算，可以看出，代碼和最終的圖與Matlab是很相像的。

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總結

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