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• • 一、遞推算法
  • 二、楊輝三角展開

一、遞推算法

這是一種比較簡單的算法，即通過已知條件，利用特定關系得到中間結論，然后得到最后結果的算法。遞推算法可以分為順推和逆推兩種。

二、楊輝三角展開

1、楊輝三角

• 楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。
• 楊輝三角的性質：
  每個數等于它上方兩數之和。
  每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大。
  第n行的數字有n項。
  前n行共[(1+n)n]/2 個數。
  第n行的m個數可表示為 C(n-1，m-1)，即為從n-1個不同元素中取m-1個元素的組合數。
  第n行的第m個數和第n-m+1個數相等 ，為組合數性質之一。

2、算法步驟
（1）每個數字等于上一行的左右兩個數字之和。可用此性質寫出整個楊輝三角。即第n+1行的第i個數等于第n行的第i-1個數和第i個數之和，這也是組合數的性質之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

（2）(a+b)n的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第(n+1)行中的每一項。

（3）將第2n+1行第1個數，跟第2n+2行第3個數、第2n+3行第5個數……連成一線，這些數的和是第4n+1個斐波那契數；將第2n行第2個數(n>1)，跟第2n-1行第4個數、第2n-2行第6個數……這些數之和是第4n-2個斐波那契數。

（4）將第n行的數字分別乘以10^{（m-1），其中m為該數所在的列，再將各項相加的和為11}（n-1）

3、C語言實現

#include <stdio.h> #define N 8void main() {int a[N+1][N+1], i, j;for(i=0; i<=N; i++){a[i][i]= a[i][0]= 1;}for(i=2; i<=N; i++){for(j=1; j<i; j++){a[i][j]= a[i-1][j]+ a[i-1][j-1];}}printf("%d 階楊輝三角：\n", N+1);for(i=0; i<=N; i++){for(j=0; j<=i; j++)printf("%4d",a[i][j]);printf("\n"); } }

4、算法思想
使用二維數組存放楊輝三角中的數據元素，初始時，將第1列和對角線上的元素初始化為1，即a[i][0]=a[i][i]=1，
然后利用每一行元素值是它上一層兩個相鄰元素之和求其他元素值，即a[i][j]= a[i-1][j]+a[i-1][j-1]。

參考文獻：《The Function and Algorithm of Program Language C/C++》

總結

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