深度學習基礎 - 三角函數

flyfish

圖片自己繪制和引用wiki
誰的方法
歐拉將圓的半徑為1，將三角放在單位圓中。贊嘆他的方法吧。
誰引進的弧度
讀《古今數學思想》第二卷中知道
歐拉，1748年他在關于木星和土星運動中的不等式中給出了三角函數的系統處理。又是他1748年的《引論》中已經搞清了三角函數的周期性，并引入了角的弧度。
三角函數是他，弧度也是他。
牛頓和萊布尼茨給出了三角函數的級數展開式。
三角函數是周期函數，天文現象大都也是周期的。所以那時歐拉就用數學解決天文。

咱的正弦是怎么來的
讀《數學史概論》作者:霍華德·伊夫斯 (Howard Eves)知道
1631年鄧玉涵、湯若望、徐光啟寫的《大測》書中，將sinus譯成正半弦或前半弦，簡稱正弦
源頭在哪
在查找三角函數的知識時，通常會找wiki，搜索Trigonometric functions
三角學之英文名稱 Trigonometry ，
名字約定就這么叫是在公元1600年，實際源于希臘文trigono (三角) 和 metrein (測量)，
其原來的意思是三角形測量（解法）
哲學的英文是Philosophy,而這個單詞又是來自希臘文,是由philia 和 sophia組成，意思是愛智慧。
看，最后又是到希臘。
正題
三角形

$$\sin A=\frac{\text{?opposite（對邊）?}}{\text{?hypotenuse?（斜邊）}}$$

$$\cos A=\frac{\text{?adjacent（鄰邊）?}}{\text{?hypotenuse（斜邊）?}}$$

$$\tan A=\frac{\text{?opposite（對邊）?}}{\text{?adjacent（鄰邊）?}}$$
重要的也就這三個

怎樣算一些特殊角的三角函數值是多少？
已知：三角形內角和為$180^{°}$
如何算$30^{°}和60^{°}$
需要利用勾股定理計算
先畫一個等邊三角形如圖

這時候取一半

結果如下
$$\begin{array}{rl}\sin 30^{°}& =\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{hypotenuse}}=\frac{1}{2}\\ \cos 30^{°}& =\frac{\mathrm{adjacent}j}{\mathrm{hypotenuse}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan 30^{°}& =\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$$
如何算$45^{°}$

結果如下
$$\begin{array}{rl}\sin 45^{°}& =\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{hypotenuse}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \cos 45^{°}& =\frac{\mathrm{adjacent}}{\mathrm{hypotenuse}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \tan 45^{°}& =\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}=\frac{1}{1}=1\end{array}$$
那么$cos180^{°}$是多少？

我們把半徑為1的圓，叫單位圓
根據勾股定理
$${\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )=1$$
$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$$

當把任意三角形放在直角坐標系里，再加上單位圓，正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）就變成了單位圓上點的坐標，大于360度 也就是至少轉了一周，孫悟空是逃不出如來佛五指山，還是單位圓上坐標。

看圖找坐標$180^{°}$在x軸的負軸上，然后根據誰比誰，鄰邊比斜邊就行 ，$cos180^{°}=?1$。有了單位圓就變得好理解了。

弧度與角度
長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度
換算公式
$$2\pi =360^{°},1^{°}=\frac{\pi }{180},1={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^{°}\approx 57.3^{°}$$
180度，為什么三角形是180度呢？
看圖的證明（引用自wiki）

先說360度的事
首先從圓開始，圓的360度哪來不知道就猜。前人粗略估計天體運行規律一年劃分為360天，將圓分成360份，每一份就是一度，平角就是180度。三角形的內角等于平角。那印度人還把圓周分成360×60=21600份呢！任何人都可以將圓分成任意等份。
喜帕恰斯（Hipparchus）匯編了一部自公元前8世紀在巴比倫觀測到的月食總表，他采用了巴比倫的60進制書寫數字，并且將黃道圈和其他的圓劃分為360度。這是在邁克爾·霍斯金寫的《牛津通識讀本：天文學簡史（中文版）》 這本書看到的。
喜帕恰斯的譯名漢語里各有各的叫法。希巴恰斯、希巴克斯、依巴谷、伊巴谷等都是他的譯名。
喜帕恰斯的成果在《天文學大成（Almagest）》里面記述的。有的人把這本書翻譯成《至大論》，這本書是希臘天文學家托勒密(Ptolemy)編纂的天文學和數學百科全書
地心說是由經亞里士多德、托勒密他們逐漸完善起來的。托勒密認為，地球處于宇宙中心靜止不動。想看看地心說流行的時代的人們是怎么思考的？
《天文學大成》我沒有找到中譯本，找到了《Almagest》英文版要100多US dollar。

再說180度的事
文獻有記載嗎？
《幾何原本》
歐幾里得的《幾何原本》是作為當時講解柏拉圖學派必要的數學內容，作為哲學研究的預備知識。
公設是這個單詞postulate，意思假定；要求；視…為理所當然
從人們的經驗中總結出的幾何常識事實。

公設1：任意一點到另外任意一點可以畫直線
公設2：一條有限線段可以繼續延長
公設3：以任意點為心及任意的距離可以畫圓
公設4：凡直角都彼此相等
公設5：同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角和小于二直角的和，則這二直線經無限延長后在這一側相交

這個第五公設是平行公理里的原始等價命題
例如
三角形內角和為兩直角。
所有三角形的內角和都相等。
。
例如同樣是讀《幾何原本》。那有人認為這不是常識。
羅巴切夫斯基認為不是這樣，就有了羅氏幾何（雙曲幾何）三角形的內角和小于一個平角（180°）
黎曼認為不是這樣，就有了黎曼幾何三角形的內角和大于180度。
陳省身認為不是這樣，就有了微分幾何。
同樣是讀書，高手提出了自己的見解，也就是《孟子·盡心下》里說的：盡信《書》，則不如無《書》。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的深度学习基础 - 三角函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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