文章目錄

• 一、TSP 概述
• • 1. TSP
  • 2. 數學模型
  • 3. TSP分類
• 二、貪心算法
• • 1. 算法思路
  • 2. 算法框架
  • 3. 問題
• 三、貪心算法求解 TSP

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一、TSP 概述

1. TSP

旅行商問題即 TSP（Traveling Salesman Problem），又稱為貨郎擔問題，是數學領域中著名問題之一。假設有一個旅行商人要拜訪n個城市，他必須選擇所要走的路徑，路徑的限制是每個城市只能拜訪一次，而且最后要回到原來出發的城市。路徑的選擇目標是要求得的路徑路程為所有路徑之中的最小值。
TSP問題是一個組合優化問題，該問題可以被證明具有NPC計算復雜性。從圖論的角度來看，該問題實質是給定一個帶權完全無向圖（頂點表示城市，邊表示道路，權重是道路的成本或距離），找一個權值最小的 Hamilton 回路。

2. 數學模型

記 G = (V, E) 為賦權圖，V = {1， 2 ， ……，n} 為頂點集，E 為邊集，各頂點間距離為 C_ij，已知（C_ij > 0，C_ij = +∞，i，j ∈ V），并設
$$xij=\{\begin{array}{l}1，邊(i,j)在最優路線上\\ 0，其他\end{array}$$
則旅行商問題的數學模型可寫成如下的線性規劃形式：
$$p=\sum _{i=j}{c}_{ij}{x}_{ij}$$
$$s.t.=?\begin{array}{ll}{\sum }_{j=i}{c}_{ij}=1,& i\in V\\ {\sum }_{i=j}{c}_{ij}=1,& j\in V\\ {\sum }_{i,j\in S}{x}_{ij}\le |K|?1,& K?V\\ x_{ij}\in \{0,1\}& i,j\in V\end{array}$$
K 為 V 的所有非空子集，|K| 為集合 K 中所含圖 G 的頂點個數。前兩個余數意味著對每個頂點而言，出度和入度都為1，后一約束則保證沒有任何子回路解的產生，于是滿足上述約束的解構成了一條 Hamilton 回路。

3. TSP分類

旅行商問題按把不同的分類方法可以分為不同的種類，這里只介紹距離矩陣劃分： 當 c_ij = c_ji，(i, j ∈ V)時，問題被稱為對稱型旅行商問題，反之稱為非對稱型旅行商問題，非對稱旅行商問題可以化為對稱型旅行商問題，用對稱型的方法求解。當對所有的 i, j, k ∈[1, n]，有不等式 c_ij + c_jk ≥ c_ik，問題滿足三角形不等式的，也稱三角型旅行商問題。
旅行售貨商問題(TSP)是組合優化領域的經典問題之一,而其中考慮多個旅行商的多旅行商問題(MTSP)是經典的旅行商問題的擴展，多種擴展形式¹如下：

最小哈密頓鏈的問題：起點和終點不同；

非對稱旅行商問題（asymmetric TSP）：距離矩陣非對稱的旅行商問題；

多人旅行商問題（muti-person TSP）：由多人完成旅行的旅行商問題；

多目標旅行商問題（multi-objective TSP）；

依次排序問題（Sequence ordering problem ，SOP）：這類問題是非對稱旅行商問題，在給定一系列頂點和距離矩陣下，尋找最短從頂點 1 到頂點 n 哈密頓鏈，同時滿足限制：某些頂點要在一些頂點之前被連接。

載貨量受限制的車輛路徑問題（Capacitated vehicle routing problem，CVRP）：給定 n-1 個頂點和一個倉庫，一直頂點和頂點、倉庫和頂點的距離，卡車載貨量受限制，卡車每次在部分頂點和倉庫之間往返，尋求一條經過所有頂點的最短路線。

二、貪心算法

貪心算法，又名貪婪算法，是一種常用的求解最優化問題的簡單、迅速的算法。貪心算法總是做出在當前看來最好的選擇，它所做的每一個在當前狀態下某種意義上是最好的選擇即貪心選擇，并希望通過每次所作的貪心選擇導致最終得到問題最優解。必須注意的是，貪心算法不是對所有問題都能得到整體最優解，選擇的貪心策略必須具備無后效性，即某個狀態以后的過程不會影響以前的狀態，只與當前狀態有關。

1. 算法思路

貪心算法以當前情況為基礎根據某個優化測度作最優選擇，而不考慮各種可能的整體情況，省去了為找最優解要窮盡所有可能而必須耗費的大量時間。貪心算法采用自頂向下，以迭代的方法做出相繼的貪心選擇，每做一次貪心選擇，就將所求問題簡化為一個規模更小的子問題，通過每一步貪心選擇，可得到問題的一個最優解。雖然每一步上都要保證能獲得局部最優解，但由此產生的全局解有時不一定是最優的，所以貪心算法不要回溯。

貪心算法求解具有以下性質²：

貪心選擇性質：一個問題的整體最優解可通過一系列局部的最優解的選擇達到，并且每次的選擇可以依賴以前作出的選擇，但不依賴于后面要作出的選擇。這就是貪心選擇性質。對于一個具體問題，要確定它是否具有貪心選擇性質，必須證明每一步所作的貪心選擇最終導致問題的整體最優解

最優子結構性質：當一個問題的最優解包含其子問題的最優解時，稱此問題具有最優子結構性質。問題的最優子結構性質是該問題可用貪心法求解的關鍵所在。

2. 算法框架

貪心算法沒有固定的算法框架，算法設計的關鍵是貪心策略的選擇，而貪心策略適用的前提是：局部最優策略能導致產生全局最優解。

//問題隨機初始解 while(能向總目標前進一步) {//利用可行的決策，從候選集合中求出可行解的一個解元素； }

3. 問題

貪心算法也存在如下問題³：

• 不能保證求得的最后解是最佳的；
• 不能用來求最大最小解問題；
• 只能在某些特定條件約束的情況下使用，例如貪心策略必須具備無后效性等。

三、貪心算法求解 TSP

貪心策略基本思路：從一節點出發遍歷所有能到達的下一節點，選擇距離最近的節點作為下一節點，然后把當前節點標記已走過，下一節點作為當前節點，重復貪心策略，以此類推直至所有節點都標記為已走節點結束。
TSP 數據集來自于 TSPLIB 上的 att48.tsp，這是一個對稱 TSP 問題，城市規模為48，其最優值為10628。其距離計算方法如下：

The edge weight type ATT corresponds to a special “pseudo-Euclidean” distance function. Let x[ i ] and y[ i ] be the coordinates of node i. The distance between two points i and j is computed as follows:
double dis = sqrt((pow((double)x[i] - x[j], 2) / 10 + pow((double)y[i] - y[j], 2) / 10 ));
int disInt = (int)dis;
if(disInt < dis) dis = disInt + 1;
else dis = disInt;

具體代碼如下：

/********************************************************************************************************************** TSP 算例來自TSPLIB，att48.tsp 數據集，其中有 48 個城市，距離為偽歐式距離* TSPLIB is a library of sample instances for the TSP (and related problems)from various sources and of various types.* 目前最佳解總距離為 10628，其中距離的計算方式為 sqrt((x*x + y*y)/10)* 使用貪心策略求解，解集總距離為 12861，可見貪心策略只是局部最優解 **********************************************************************************************************************/ #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include<stdio.h> #include<math.h> #include<stdlib.h> #include<time.h>// 城市數量 N #define N 48 // 城市距離矩陣 int distance[N][N];/************************************************************************ Function ：init()* Description：從文件中讀取城市坐標，并計算城市之間的距離 distance[N][N] * Input ：void* Output ：void* Return ：void***********************************************************************/ void init() {//城市的 x 和 y 坐標int x[N] = { 0 };int y[N] = { 0 };//從 data.txt 文件讀取數據FILE* fp;if ((fp = fopen("..//att48.txt", "r")) == NULL)//if ((fp = fopen("..//kroB100.txt", "r")) == NULL){printf("can not open the file!");exit(0);}while (!feof(fp)){int count;fscanf(fp, "%d", &count);fscanf(fp, "%d%d", &x[count - 1], &y[count - 1]);}fclose(fp);//計算城市之間距離for (int i = 0; i < N - 1; i++){distance[i][i] = 0; // 對角線為0for (int j = i + 1; j < N; j++){double dis = sqrt((pow((double)x[i] - x[j], 2) / 10 + pow((double)y[i] - y[j], 2) / 10));int disInt = (int)dis;distance[i][j] = dis == disInt ? disInt : disInt + 1;distance[j][i] = distance[i][j];}}distance[N - 1][N - 1] = 0; }/************************************************************************ Function ：TSPGreedyAlgorithm()* Description：貪心策略求解 TSP 問題* Input ：void* Output ：TSP 路徑和對應的總距離* Return ：void***********************************************************************/ void TSPGreedyAlgorithm() {//總路程int totalDistance = 0; //默認從 0 開始遍歷int current = 0; //標識城市是否被訪問,訪問過置為 1bool visit[N] = { false };visit[0] = 1;printf("TSP 路徑為：%d ->", 1);//遍歷 N - 1 次for (int i = 1; i < N; i++){//設置較大的距離初始值用來選取最近鄰int min_distance = 0x7fffffff;//保存當前最近鄰城市int temp;//循環選取城市for (int j = 1; j < N; j++){if (!visit[j] && distance[current][j] < min_distance){min_distance = distance[current][j];temp = j;}}visit[temp] = 1;current = temp;totalDistance += min_distance;printf(" %d ->", temp + 1);}totalDistance += distance[current][0];printf(" %d\n", 1);printf("TSP 總距離為：%d\n", totalDistance); }int main() {init();TSPGreedyAlgorithm();return 0; }

結果如下：

可見，貪心算法求解 TSP 問題只能得到局部最優解，如果需要得到最優解，需要采用局部搜索算法等非精確性算法，作者將在后文中繼續介紹其他方法求解 TSP 問題。

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The multiple traveling salesman problem: an overview of formulations and solution procedures. ??

計算機算法設計與分析研究,新華出版社,2015.09. ??

計算機算法基礎,西南交通大學出版社,2015.02. ??

總結

以上是生活随笔為你收集整理的贪心算法求解 TSP 旅行商问题及其实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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