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【OpenCV 例程300篇】250. 梯度算子的传递函数

發(fā)布時間：2024/3/24 编程问答 40 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【OpenCV 例程300篇】250. 梯度算子的传递函数小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

『youcans 的 OpenCV 例程300篇 - 總目錄』

【youcans 的 OpenCV 例程300篇】250. 梯度算子的傳遞函數(shù)

1. 空間卷積與頻域濾波

空間域圖像濾波是圖像與濾波器核的卷積，而空間卷積的傅里葉變換是頻率域中相應變換的乘積，因此頻率域圖像濾波是頻率域濾波器（傳遞函數(shù)）與圖像的傅里葉變換相乘。頻率域中的濾波概念更加直觀，濾波器設計也更容易。

對于二維圖像處理，通常使用 $x, y$ 表示離散的空間域坐標變量，用 $u, v$ 表示離散的頻率域變量。二維離散傅里葉變換（DFT）和反變換（IDFT）為：

$F(u,v)=∑x=0M?1∑y=0N?1f(x,y)e?j2π(ux/M+vy/N)f(x,y)=1MN∑u=0M?1∑v=0N?1F(u,v)ej2π(ux/M+vy/N)\begin{aligned} F(u,v) &= \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-j 2\pi (ux/M+vy/N)}\\ f(x,y) &= \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^{j 2\pi (ux/M+vy/N)} \end{aligned}$

空間取樣和頻率間隔是相互對應的，頻率域所對應的離散變量間的間隔為： $Δu=1/MΔT，Δv=1/NΔZ\Delta u = 1/M \Delta T，\Delta v = 1/N \Delta Z$ 。即：頻域中樣本之間的間隔，與空間樣本之間的間隔及樣本數(shù)量的乘積成反比。

空間域濾波器和頻率域濾波器也是相互對應的，形成一個傅里葉變換對：
$\otimes h(x,y) \Leftrightarrow F(u,v)H(u,v) \\f(x,y) h(x,y) \Leftrightarrow F(u,v) \otimes H(u,v)$

這表明 F 和 H 分別是 f 和 h 的傅里葉變換；f 和 h 的空間卷積的傅里葉變換，是它們的變換的乘積。

因此，計算兩個函數(shù)的空間卷積，可以直接在空間域計算，也可以在頻率域計算：先計算每個函數(shù)的傅里葉變換，再對兩個變換相乘，最后進行傅里葉反變換轉(zhuǎn)換回空間域。

也就是說，空間域濾波器和頻率域濾波器實際上是相互對應的，也是可以相互轉(zhuǎn)換的。空間域濾波的核心是卷積核，頻域濾波的核心是構造濾波器的傳遞函數(shù)。有些空間域濾波器在頻率域通過傅里葉變換實現(xiàn)會更方便、更快速。

在空間濾波中，除Laplacian算子之外還討論了Sobel算子、Scharr算子，但在頻域濾波中卻很少提及。這是因為空間濾波中的平滑（模糊）/銳化的概念，與頻域濾波中的低通濾波/高通濾波雖然相似，也有密切聯(lián)系，但在本質(zhì)上卻是不同的。平滑濾波相當于低通濾波，但銳化與高通濾波是不同的。

對空間濾波器核進行傅里葉變換，得到空間濾波器在頻域的傳遞函數(shù)，可以清晰和直觀地理解二者的聯(lián)系和區(qū)別。

2. 梯度算子在空間域的卷積核

2.1 拉普拉斯卷積核（Laplacian）

各向同性卷積核的響應與方向無關。最簡單的各向同性導數(shù)算子（卷積核）是拉普拉斯算子（Laplace）：

$\begin{bmatrix} 0 & 1 &0\\ 1 & -4 &1\\ 0 & 1 &0\\ \end{bmatrix}, \ K2= \begin{bmatrix} 1 & 1 &1\\ 1 & -8 &1\\ 1 & 1 &1\\ \end{bmatrix}, \ K3= \begin{bmatrix} 0 & -1 &0\\ -1 & 4 &-1\\ 0 & -1 &0\\ \end{bmatrix}, \ K4= \begin{bmatrix} -1 & -1 &-1\\ -1 & 8 &-1\\ -1 & -1 &-1\\ \end{bmatrix}$

2.2 Sobel 梯度算子

Sobel 算子是一種離散的微分算子，是高斯平滑和微分求導的聯(lián)合運算，抗噪聲能力強。

Sobel 梯度算子利用局部差分尋找邊緣，計算得到梯度的近似值。

Sobel 梯度算子的卷積核為：
$Kx=[?101?202?101],Ky=[?1?2?1000121]K_x = \begin{bmatrix} -1 & 0 &1\\ -2 & 0 &2\\ -1 & 0 &1\\ \end{bmatrix}, \ K_y = \begin{bmatrix} -1 &-2 &-1\\ 0 &0 &0\\ 1 &2 &1\\ \end{bmatrix}$

2.3 Scharr 梯度算子

Scharr 算子是 Soble 算子在 ksize=3 時的優(yōu)化，與 Soble 的速度相同，且精度更高。Scharr 算子與 Sobel 算子的不同點是在平滑部分，其中心元素占的權重更重，相當于使用較小標準差的高斯函數(shù)，也就是更瘦高的模板。

Scharr 算子的卷積核為：
$Gx=[?303?10010?303],Gy=[?310?300103103]G_x = \begin{bmatrix} -3 & 0 &3\\ -10 & 0 &10\\ -3 & 0 &3\\ \end{bmatrix}, \ G_y = \begin{bmatrix} -3 &10 &-3\\ 0 &0 &10\\ 3 &10 &3\\ \end{bmatrix}$

3. 【例程】梯度算子的傳遞函數(shù)

本例程給出由空間濾波器核計算頻域傳遞函數(shù)的子程序，比較常用空間域濾波器和梯度算子的傳遞函數(shù)。

import cv2 as cv import numpy as np from matplotlib import pyplot as pltdef getTransferFun(kernel, r): # 計算濾波器核的傳遞函數(shù)hPad, wPad = r-kernel.shape[0]//2, r-kernel.shape[1]//2kernPadded = cv.copyMakeBorder(kernel, hPad, hPad, wPad, wPad, cv.BORDER_CONSTANT)kernFFT = np.fft.fft2(kernPadded)fftShift = np.fft.fftshift(kernFFT)kernTrans = np.log(1 + np.abs(fftShift))transNorm = np.uint8(cv.normalize(kernTrans, None, 0, 255, cv.NORM_MINMAX))return transNormif __name__ == '__main__':radius = 64plt.figure(figsize=(9, 5.5))# (1) 盒式濾波器plt.subplot(241), plt.axis('off'), plt.title("1. BoxFilter")kernBox = np.ones((5,5), np.float32) # BoxF 濾波器核HBox = getTransferFun(kernBox, radius) # BoxF 傳遞函數(shù)plt.imshow(HBox, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (2) 高斯低通濾波器plt.subplot(242), plt.axis('off'), plt.title("2. Gaussian")kernX = cv.getGaussianKernel(5, 0) # 一維高斯核kernGaussian = kernX * kernX.T # 二維高斯核HGaussian = getTransferFun(kernGaussian, radius) # 高斯低通傳遞函數(shù)plt.imshow(HGaussian, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (3) 拉普拉斯算子 K1plt.subplot(243), plt.axis('off'), plt.title("3. Laplacian K1")kernLaplacian1 = np.array([[0, 1, 0], [1, -4, 1], [0, 1, 0]]) # Laplacian K1hLaplacian1 = getTransferFun(kernLaplacian1, radius) # Laplacian K1 傳遞函數(shù)plt.imshow(hLaplacian1, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (4) 拉普拉斯算子 K2plt.subplot(244), plt.axis('off'), plt.title("4. Laplacian K2")kernLaplacian2 = np.array([[1, 1, 1], [1, -8, 1], [1, 1, 1]]) # Laplacian K2hLaplacian2 = getTransferFun(kernLaplacian2, radius) # Laplacian K2 傳遞函數(shù)plt.imshow(hLaplacian2, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (5) Sobel 算子，X軸方向plt.subplot(245), plt.axis('off'), plt.title("5. Sobel-X")kernSobelX = np.array([[-1, 0, 1], [-2, 0, 2], [-1, 0, 1]])HSobelX = getTransferFun(kernSobelX, radius) # Sobel-X 傳遞函數(shù)plt.imshow(HSobelX, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (6) Sobel 算子，Y軸方向plt.subplot(246), plt.axis('off'), plt.title("6. Sobel-Y")kernSobelY = np.array([[-1, -2, -1], [0, 0, 0], [1, 2, 1]])HSobelY = getTransferFun(kernSobelY, radius) # Sobel-Y 傳遞函數(shù)plt.imshow(HSobelY, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (7) Scharr 算子，X軸方向plt.subplot(247), plt.axis('off'), plt.title("7. Scharr-X")kernScharrX = np.array([[-3, 0, 3], [-10, 0, 10], [-3, 0, 3]])HScharrX = getTransferFun(kernScharrX, radius) # Scharr-X 傳遞函數(shù)plt.imshow(HScharrX, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)# (8) Scharr 算子，Y軸方向plt.subplot(248), plt.axis('off'), plt.title("8. Scharr-Y")kernScharrY = np.array([[-3, -10, -3], [0, 0, 0], [3, 10, 3]])HScharrY = getTransferFun(kernScharrY, radius) # Scharr-X 傳遞函數(shù)plt.imshow(HScharrY, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)plt.tight_layout()plt.show()
![在這里插入圖片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/246290f557a240b3a7d2adb694c302d6.png#pic_center)

【本節(jié)完】

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總結

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