hi，凹凸們????

今天給大家介紹一下定價模型與平價關系式。前文鏈接：期權類型與到期盈虧（投資必知必會）

一、布萊克-斯科爾斯-默頓模型

在20世紀70年代初，費希爾·布萊克( Fisher black)、邁倫·斯科爾斯( Myron Scholes)和羅伯特·默頓( Robert Merton)在對歐式股票期權定價研究方面取得了重大的理論突破，提出了針對歐式期權定價的模型，該模型被稱為布萊克-斯科爾斯-默頓模型(簡稱BSM模型)。

模型假設：

在推導出布萊克斯科爾斯-默頓模型時，有以下7個假設前提條件：

一是假設基礎資產的股票價格服從幾何布朗過程；二是可以賣空證券，并且可以完全運用賣空所獲得的資金；三是無交易費用和無稅收，所有證券均可無限分割；四是在期權期限內，基礎資產無期間收入(比如股票不支付股息)；五是市場不存在無風險套利機會；六是證券交易是連續進行的；七是短期無風險利率是一個常數，并對所有期限都是相同的。

微分方程：

此外，模型在推導過程中運用到了一個很重要的微分方程，具體就是

微分方程

其中，式子中的 f 表示看漲期權價格，S表示期權基礎資產的價格，r為連續復利的無風險收益率，σ為基礎資產價格百分比變化(收益率)的波動率，t是時間變量。

定價公式：

歐式看漲期權的定價公式

看漲期權定價公式

通過看漲-看跌平價關系式，可以得到看跌期權的定價公式：

看跌期權定價公式

其中：

d的計算

c與p分別代表歐式看漲、看跌期權的價格，S0是基礎資產在初始0時刻的價格，K是期權的執行價格，r是連續復利的無風險收益率，σ為基礎資產價格百分比變化(收益率)的年化波動率，T是期權合約的期限(單位是年)，N()表示累積標準正態分布的概率密度。

代碼實現基于布萊克-斯科爾斯-默頓模型計算歐式看漲期權、看跌期權定價的函數：

import?numpy?as?np from?scipy.stats?import?normdef?call_BS(S,K,sigma,r,T):'''用bs模型計算歐式看漲期權價格S?期權基礎資產價格K?期權執行價格sigma?基礎資產價格百分比變化（收益率）的年化波動率r?無風險收益率T?期權合約剩余年限'''d1?=?(np.log(S/K)?+?(r?+?pow(sigma,2)/2)*T)?/?(sigma*np.sqrt(T))d2?=?d1?-?sigma*np.sqrt(T)return?S*norm.cdf(d1)?-?K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)def?put_BS(S,K,sigma,r,T):'''用bs模型計算歐式看跌期權價格S?期權基礎資產價格K?期權執行價格sigma?基礎資產價格百分比變化（收益率）的年化波動率r?無風險收益率T?期權合約剩余年限'''d1?=?(np.log(S/K)?+?(r?+?pow(sigma,2)/2)*T)?/?(sigma*np.sqrt(T))d2?=?d1?-?sigma*np.sqrt(T)return?K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2)?-?S*norm.cdf(-d1)

例子：

一份期限為6個月的股票期權，期權的基礎資產是工商銀行的A股股票,2018年12月28日股票收盤價是5.29元/股，期權的執行價格為6元股，無風險利率為年化4%，股票收益率的年化波動率是24%，運用布萊克斯科爾斯-默頓模型計算看漲期權看跌期權的價格。

call_BS(S=5.29,?K=6,?sigma=0.24,?r=0.04,?T=0.5) put_BS(S=5.29,?K=6,?sigma=0.24,?r=0.04,?T=0.5)

二、看漲-看跌期權 平價關系式

具有相同執行價格與期限的歐式看跌期權、看漲期權在價格上有一個重要關系式。

1.兩個投資組合

首先，考慮以下兩個投資組合在期權合約到期時的盈虧情況。A投資組合：一份歐式看漲期權和一份在T時刻到期的本金為K的零息債券；B投資組合：一份歐式看跌期權和一份基礎資產。這里需要假設看漲期權與看跌期權具有相同的執行價格K與相同的合約期限T。

對于A投資組合而言，零息債券在期權合約到期日(T時刻)的價值顯然是等于K，而對于看漲期權則分兩種情形討論。

情形1：如果在T時刻，基礎資產價格St>K，A投資組合中的歐式看漲期權將被執行，此時，A投資組合的價值是(St-K)+K=St；

情形2：如果在T時刻，基礎資產價格St<K，A投資組合中的歐式看漲期權就沒有價值，此時A投資組合的價值為K。

對于B投資組合而言，也分兩種情形討論。

情形1：如果在T時刻，基礎資產價格St>K，此時，B投資組合中的歐式看跌期權沒有價值，此時，B投資組合價值為St，也就是僅剩下基礎資產的價值；

情形2：如果在T時刻，基礎資產價格St<K，此時，B投資組合中的歐式看跌期權會被行使，此時B投資組合價值為(K-St)+St=K。綜合以上的分析，當St>K時，在T時刻兩個投資組合的價值均為St；當St<K時在T時刻兩個投資組合的價值均為K。換而言之，在T時刻(期權合約到期時)，兩個投資組合的價值均為max(St, K)

由于A投資組合與B投資組合中的期權均為歐式期權，在期權到期之前均不能行使，既然兩個投資組合在T時刻均有相同的收益，在期權合約的存續期內也應該有相同的價值。否則，就會出現無風險套利機會，套利者可以買入價格低的投資組合，與此同時賣空價格高的投資組合進行無風險的套利，無風險套利收益就是等于兩個組合價值的差額。

2. 抽象的數學表達式

看漲期權 + 零息債券價格 = 看跌期權 + 基礎資產價格

平價共識

代碼實現：

def?call_parity(p,S,K,r,T):'''通過平價關系式用看跌期權價格計算歐式看漲期權價格。p：歐式看跌期權價格S：期權基礎資產價格K：執行價格r：無風險收益率T：合約剩余期限????'''return?p?+?S?-?K?*?np.exp(-r?*?T)def?put_parity(c,S,K,r,T):'''通過平價關系式，用看漲期權價格計算歐式看跌期權價格。c：歐式看漲期權價格S：期權基礎資產價格K：執行價格r：無風險收益率T：合約剩余期限????'''return?c?+?K?*?np.exp(-r?*?T)?-?S

例子：

假設當前股票價格為20元股，期權的執行價格為18元/股，無風險收益率為每年5%,3個月的歐式看漲期權價格對外報價是2.3元,3個月的歐式看跌期權對外報價是0.3元，期權價格是否合理？

call_parity(p=0.3,?S=20,?K=18,?r=0.05,?T=0.25) ==>2.523599591110134 put_parity(c=2.3,?S=20,?K=18,?r=0.05,?T=0.25) ==>0.07640040888986732

通過計算，看漲期權被低估，看跌期權則被高估，因此可以通過持有看漲期權的多頭頭寸并買入零息債券(相當于買入A投資組合)，同時持有看跌期權的空頭頭寸并賣空基礎資產（相當于賣空B投資組合），從而實現無風險套利。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据科普：定价模型与平价关系式（投资必知必会）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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