目錄

• 一、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
• • 1、什么是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
  • 2、什么是算法
  • 3、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法的重要性
  • 4、如何學(xué)好數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法
• 二、算法效率
• 三、時(shí)間復(fù)雜度
• • 1、時(shí)間復(fù)雜度的概念
  • 2、時(shí)間復(fù)雜度的表示方法
  • 3、算法復(fù)雜度的三種情況
  • 4、簡(jiǎn)單時(shí)間復(fù)雜度的計(jì)算
  • 5、復(fù)雜時(shí)間復(fù)雜度的計(jì)算
  • 五、不同時(shí)間復(fù)雜度效率的比較
• 四、空間復(fù)雜度
• • 1、空間復(fù)雜度的概念
  • 2、空間復(fù)雜度的計(jì)算方法
  • 3、常見(jiàn)空間復(fù)雜度的計(jì)算
• 五、總結(jié)

一、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

1、什么是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(Data Structure)是計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)、組織數(shù)據(jù)的方式，指相互之間存在一種或多種特定關(guān)系的數(shù)據(jù)元素的集合。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行管理（增刪查改）的一系列操作。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)庫(kù)的作用很相似，二者的區(qū)別在于管理的位置不同：當(dāng)數(shù)據(jù)量很大時(shí)，數(shù)據(jù)一般都會(huì)存放在磁盤中，此時(shí)我們用數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行管理；當(dāng)數(shù)據(jù)量相對(duì)較小時(shí)，我們用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)管理。

2、什么是算法

算法 (Algorithm) 就是定義良好的計(jì)算過(guò)程，他取一個(gè)或一組的值為輸入，并產(chǎn)生出一個(gè)或一組值作為輸出。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)算法就是一系列的計(jì)算步驟，用來(lái)將輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成輸出結(jié)果。

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法是相輔相成的，二者是我中有你、你中有我的關(guān)系：在一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中可能會(huì)用到算法來(lái)優(yōu)化，一個(gè)算法中也可能用到數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)組織數(shù)據(jù)。

3、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法的重要性

在校園招聘的筆試：

目前校園招聘筆試一般采用Online Judge (在線OJ) 形式， 一般都是20-30道選擇題+2道編程題，或者3-4道 編程題。

可以看出，現(xiàn)在公司對(duì)我們代碼能力的要求是越來(lái)越高了，大廠筆試中幾乎全是算法題而且難度大，中小廠的筆試中才會(huì)有選擇題。算法不僅筆試中考察，面試中面試官基本都會(huì)讓現(xiàn)場(chǎng)寫代碼。而算法能力短期內(nèi)無(wú)法快速提高，至少需要持續(xù)半年以上算法訓(xùn)練積累，否則真正校招時(shí) 試會(huì)很艱難，因此算法要早早準(zhǔn)備。

在校園招聘的面試中：

在面試環(huán)節(jié)，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法也是被經(jīng)常問(wèn)到的一部分，大家在牛客、LeetCode的面經(jīng)中也能夠發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)，比如如下的一些問(wèn)題：

• 怎么用兩個(gè)棧實(shí)現(xiàn)一個(gè)隊(duì)列？
• 如何判斷兩個(gè)鏈表是否相交？
• Vector和數(shù)組的區(qū)別？
• 紅黑樹的原理、時(shí)間復(fù)雜度等？
• map和set底層原理？
• 快速排序思想是什么？
• Hashmap的原理？

在未來(lái)的工作中：

這里我引用網(wǎng)上的一篇文章：學(xué)好算法對(duì)一個(gè)程序員來(lái)說(shuō)是必須的嗎？如果是，至少應(yīng)該學(xué)到哪種程度

4、如何學(xué)好數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法

關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的答案，我想大家都知道，要想學(xué)好數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法，除了多練還是多練，至少我們需要把《劍指offer》《程序員代碼面試指南》全部刷完，LeetCode至少刷幾百道題，然后就是注意在做具體題目之前要先畫圖分析，理清思路之后再下手。

劍指offer 程序員面試經(jīng)典 LeetCode OJ 題庫(kù)

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二、算法效率

算法的復(fù)雜度

算法效率分析分為兩種：第一種是時(shí)間效率，第二種是空間效率。時(shí)間效率被稱為時(shí)間復(fù)雜度，而空間效率被稱作空間復(fù)雜度。

時(shí)間復(fù)雜度主要衡量的是一個(gè)算法的運(yùn)行速度，而空間復(fù)雜度主要衡量一個(gè)算法所需要的額外空間。

在計(jì)算機(jī)發(fā)展的早期，計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)容量很小，所以對(duì)空間復(fù)雜度很是在乎；但是經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)行業(yè)的迅速發(fā)展，計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)容量已經(jīng)達(dá)到了很高的程度；所以我們?nèi)缃褚呀?jīng)不需要再特別關(guān)注一個(gè)算法的空間復(fù)雜度，而更注重于時(shí)間復(fù)雜度。

算法復(fù)雜度在校招中的考察

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三、時(shí)間復(fù)雜度

1、時(shí)間復(fù)雜度的概念

時(shí)間復(fù)雜度的定義：在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，算法的時(shí)間復(fù)雜度是一個(gè)函數(shù)，它定量描述了該算法的運(yùn)行時(shí)間。(這里的函數(shù)指的是數(shù)學(xué)中的函數(shù)，而不是我們C語(yǔ)言中的函數(shù))

一個(gè)算法執(zhí)行所耗費(fèi)的時(shí)間，從理論上說(shuō)是不能算出來(lái)的，因?yàn)橹挥挟?dāng)我們把程序放在機(jī)器上跑起來(lái)，才能知道具體時(shí)間。但是我們需要每個(gè)算法都上機(jī)測(cè)試嗎？是可以都上機(jī)測(cè)試，但是這很麻煩，所以才有了時(shí)間復(fù)雜度這個(gè)分析方式。

一個(gè)算法所花費(fèi)的時(shí)間與其中語(yǔ)句的執(zhí)行次數(shù)成正比例，算法中的基本操作的執(zhí)行次數(shù)，為算法的時(shí)間復(fù)雜度。

2、時(shí)間復(fù)雜度的表示方法

我們計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度時(shí)不是計(jì)算算法運(yùn)行的具體次數(shù)，而是用大O的漸進(jìn)表示法來(lái)計(jì)算，其具體計(jì)算方法如下：

• 用常數(shù)1取代運(yùn)行時(shí)間中的所有加法常數(shù)。
• 在修改后的運(yùn)行次數(shù)函數(shù)中，只保留最高階項(xiàng)。
• 如果最高階項(xiàng)存在且不是1，則去除與這個(gè)項(xiàng)目相乘的常數(shù)。

3、算法復(fù)雜度的三種情況

算法的復(fù)雜度分為三種情況：

• 最壞情況：任意輸入規(guī)模的最大運(yùn)行次數(shù)(上界)
• 平均情況：任意輸入規(guī)模的期望運(yùn)行次數(shù)
• 最好情況：任意輸入規(guī)模的最小運(yùn)行次數(shù)(下界)

例如：在一個(gè)長(zhǎng)度為N數(shù)組中搜索一個(gè)數(shù)據(jù)x

最好情況：1次找到
平均情況：N/2次找到
最壞情況：N次找到
平均情況：N/2次找到

在實(shí)際中一般情況關(guān)注的是算法的最壞運(yùn)行情況，所以數(shù)組中搜索數(shù)據(jù)時(shí)間復(fù)雜度為O(N)。

4、簡(jiǎn)單時(shí)間復(fù)雜度的計(jì)算

例1：

void Func(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 100; ++ k) {++count; } printf("%d\n", count); }

上面程序具體執(zhí)行的次數(shù)：100

用大O的漸進(jìn)表示法得出時(shí)間復(fù)雜度：O(1) (用常數(shù)1取代運(yùn)行時(shí)間中的所有加法常數(shù)。)

例2：

void Func1(int N) {int count = 0;for (int i = 0; i < N; ++i){for (int j = 0; j < N; ++j){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N; ++k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count); }

上面程序具體執(zhí)行的次數(shù)：N * N + 2*N + 10

用大O的漸進(jìn)表示法得出時(shí)間復(fù)雜度：O(N^2) (只保留最高階項(xiàng))

例3：

void Func2(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k) {++count; } int M = 10; while (M--) {++count; } printf("%d\n", count); }

上面程序具體執(zhí)行的次數(shù)：2*N + 10

用大O的漸進(jìn)表示法得出時(shí)間復(fù)雜度：O(N) (如果最高階項(xiàng)存在且不是1，則去除與這個(gè)項(xiàng)目相乘的常數(shù)

5、復(fù)雜時(shí)間復(fù)雜度的計(jì)算

（1）冒泡排序的時(shí)間復(fù)雜度

void BubbleSort(int arr[], int n) {int i = 0;int j = 0;for (i = 0; i < n - 1; i++){for (j = 0; j < n - i - 1; j++){if (arr[j] > arr[j + 1]){int temp = arr[j];arr[j] = arr[j + 1];arr[j + 1] = temp;}}} }

具體執(zhí)行次數(shù)：時(shí)間復(fù)雜度計(jì)算時(shí)以最壞情況為準(zhǔn)，則假設(shè)數(shù)組開(kāi)始是逆序的，那么第一次排序執(zhí)行 n-1 次，第二次排序執(zhí)行 n-2 次，第三次執(zhí)行 n-3 次 … …，直到最后達(dá)成有序，所以冒泡排序的具體執(zhí)行次數(shù)是一個(gè)等差數(shù)列，具體次數(shù) = (首項(xiàng)+尾項(xiàng))/2*項(xiàng)數(shù) = (N^2-N)/2

用大O的漸進(jìn)表示法得出時(shí)間復(fù)雜度：O(N^2)

（2）二分查找的時(shí)間復(fù)雜度

int BinarySearch(int arr[], int n, int x) //n元素個(gè)數(shù) x:要查找的數(shù) {int left = 0;int right = n - 1;while (left < right){int mid = (left + right) / 2;if (arr[mid] > x){right = mid - 1; //中間元素比x大就挪動(dòng)right下標(biāo)}else if (arr[mid] < x){left = mid + 1; //中間元素比x小就挪動(dòng)left下標(biāo)}elsereturn mid; //找到就返回該元素所在的下標(biāo)}return 0; //找不到就返回0 }

具體執(zhí)行次數(shù)：和上面一樣，這里考慮最壞情況，即數(shù)組中沒(méi)有想找的元素，數(shù)組會(huì)從中間開(kāi)始查找，每次排除掉一半的元素，直到把所有元素排除完，第一次排除后剩下 1/2 的元素，第二次排除后剩下 1/4 元素，第三次排除后剩下 1/8 元素 … …，設(shè)元素個(gè)數(shù)為N，查找次數(shù)為X，則 X * (?)^N = 1 -> (?)^N = X -> 具體次數(shù)：X = log₂N

用大O的漸進(jìn)表示法得出時(shí)間復(fù)雜度：O(logN)

注：因?yàn)樵阪I盤上無(wú)法表示出log的底數(shù)，所有在時(shí)間復(fù)雜度中把log的底數(shù)2省略掉了，直接用logN表示log₂N的時(shí)間復(fù)雜度。

（3）階乘遞歸的時(shí)間復(fù)雜度

long long Factorial(int N) {return N < 2 ? N : Factorial(N - 1) * N; }

具體次數(shù)：這里 n 調(diào)用 n-1 , n-1 調(diào)用 n-2 …，直到 n = 1，所以一共執(zhí)行了 n-1 次。

用大O的漸進(jìn)表示法得出時(shí)間復(fù)雜度：O(N)

以五的階乘示例：

（4）斐波那契遞歸的時(shí)間復(fù)雜度

long long Fibonacci(size_t N) {return N < 2 ? N : Fibonacci(N - 1) + Fibonacci(N - 2); }

具體次數(shù)：以上圖為例，我們可以看到在數(shù)值大于2的時(shí)候，每一層的調(diào)用次數(shù)是以2的指數(shù)形式增長(zhǎng)的，是一個(gè)等比數(shù)列。

用大O的漸進(jìn)表示法得出時(shí)間復(fù)雜度為：O(2^N)

五、不同時(shí)間復(fù)雜度效率的比較

我們可以看到當(dāng)測(cè)試數(shù)據(jù)很大時(shí) O(logN) 和 O(1) 的效率幾乎是一樣的，所以二分查找是一種效率很高的算法，但是它也有一個(gè)缺陷，那就是它操作的數(shù)組元素必須是有序的。

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四、空間復(fù)雜度

1、空間復(fù)雜度的概念

空間復(fù)雜度也是一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，是對(duì)一個(gè)算法在運(yùn)行過(guò)程中額外占用存儲(chǔ)空間大小的量度 。

空間復(fù)雜度不是程序占用了多少bytes的空間，因?yàn)檫@個(gè)也沒(méi)太大意義，空間復(fù)雜度算的是變量的個(gè)數(shù)。 空間復(fù)雜度計(jì)算規(guī)則基本跟時(shí)間復(fù)雜度類似，也使用大O的漸進(jìn)表示法。

注意：函數(shù)運(yùn)行時(shí)所需要的棧空間(存儲(chǔ)參數(shù)、局部變量、一些寄存器信息等)在編譯期間已經(jīng)確定好了，因此空間復(fù)雜度主要通過(guò)函數(shù)在運(yùn)行時(shí)候顯式申請(qǐng)的額外空間來(lái)確定。

2、空間復(fù)雜度的計(jì)算方法

空間復(fù)雜度的計(jì)算方法和時(shí)間復(fù)雜度非常相似，且都是用大O的漸進(jìn)表示法表示。 具體計(jì)算方法如下：

• 用常數(shù)1取代運(yùn)行過(guò)程中定義的常數(shù)個(gè)變量。
• 在修改后的運(yùn)行次數(shù)函數(shù)中，只保留最高階項(xiàng)。
• 如果最高階項(xiàng)存在且不是1，則去除與這個(gè)項(xiàng)目相乘的常數(shù)。

3、常見(jiàn)空間復(fù)雜度的計(jì)算

（1）冒泡排序的空間復(fù)雜度

void BubbleSort(int arr[], int n) {int i = 0;int j = 0;for (i = 0; i < n - 1; i++){for (j = 0; j < n - i - 1; j++){if (arr[j] > arr[j + 1]){int temp = arr[j];arr[j] = arr[j + 1];arr[j + 1] = temp;}}} }

這里我們?cè)谘h(huán)外部定義了兩個(gè)變量，然后在循環(huán)內(nèi)部又定義了一個(gè)變量；可能有的同學(xué)會(huì)認(rèn)為temp變量因?yàn)樵谘h(huán)內(nèi)部，每次進(jìn)入循環(huán)都會(huì)被重新定義，所以空間復(fù)雜度為N^2，其實(shí)不是的；

我們知道雖然時(shí)間是累積的，一去不復(fù)返，但是空間是不累積的，我們可以重復(fù)使用；對(duì)于我們的temp變量來(lái)說(shuō)，每次進(jìn)入if這個(gè)局部范圍時(shí)開(kāi)辟空間，離開(kāi)這個(gè)局部范圍時(shí)空間銷毀，下一次在進(jìn)入時(shí)又重新開(kāi)辟空間，出去又再次銷毀；所以其實(shí)從始至終temp都只占用了一個(gè)空間；

所以上面一共一共定義了三個(gè)變量，用大O的漸進(jìn)表示法得到空間復(fù)雜度為O(1)。

（2）二分查找的空間復(fù)雜度

int BinarySearch(int arr[], int n, int x) //n元素個(gè)數(shù) x:要查找的數(shù) {int left = 0;int right = n - 1;while (left < right){int mid = (left + right) / 2;if (arr[mid] > x){right = mid - 1; //中間元素比x大就挪動(dòng)right下標(biāo)}else if (arr[mid] < x){left = mid + 1; //中間元素比x小就挪動(dòng)left下標(biāo)}elsereturn mid; //找到就返回該元素所在的下標(biāo)}return 0; //找不到就返回0 }

和冒泡排序的空間復(fù)雜度一樣，這里只定義了三個(gè)（常數(shù)個(gè)）變量，所以空間復(fù)雜度是O(1)。

（3）階乘遞歸的空間復(fù)雜度

long long Fac(int N) {return N < 2 ? N : Factorial(N - 1) * N; }

我們知道，每次函數(shù)調(diào)用開(kāi)始時(shí)都會(huì)在棧區(qū)上形成自己的函數(shù)棧幀，調(diào)用結(jié)束時(shí)函數(shù)棧幀銷毀；

對(duì)于上面的遞歸來(lái)說(shuō)：只有當(dāng) N < 2 的時(shí)候函數(shù)才開(kāi)始返回，而在這之前所形成的 Fac(N) Fac(N-1) Fac(N-2) … 這些函數(shù)的函數(shù)棧幀在返回之前都不會(huì)釋放，而是一直存在，知道函數(shù)一步一步開(kāi)始返回的時(shí)候開(kāi)辟的空間才會(huì)被逐漸釋放。所以在計(jì)算遞歸類空間復(fù)雜度度時(shí)，我們?cè)谝獾氖沁f歸的深度；

這里調(diào)用的遞歸深度為 n - 1（遞歸 n - 1 次），所以空間復(fù)雜度為O(N)。

（4）斐波那契遞歸的空間復(fù)雜度

long long Fibonacci(size_t N) {return N < 2 ? N : Fibonacci(N - 1) + Fibonacci(N - 2); }

首先就，斐波那契是逐個(gè)分支進(jìn)行遞歸的，以上圖為例，它會(huì)先遞歸6-5-4-3-2-1，再遞歸6-5-4-3-2，再遞歸6-5-4-2，以此類推，直到把最后一個(gè)分支遞歸完；

其次，空間是不會(huì)累積的，所以盡管我們同一個(gè)函數(shù)的函數(shù)棧幀會(huì)被開(kāi)辟很多次，但是它仍然只計(jì)入一次開(kāi)辟的空間復(fù)雜度。

所以遞歸調(diào)用開(kāi)遞歸的深度，這里的空間復(fù)雜度為O(N)。

五、總結(jié)

• 時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度都是用大O的漸進(jìn)表示法來(lái)表示。
• 時(shí)間復(fù)雜度看運(yùn)算執(zhí)行的次數(shù)，空間復(fù)雜度看變量定義的個(gè)數(shù)。
• 在遞歸中，時(shí)間復(fù)雜度看調(diào)用的次數(shù)，空間復(fù)雜度看調(diào)用的深度。
• 時(shí)間是累積的，一去不復(fù)返；空間是不累積的，可以重復(fù)利用。

• 冒泡排序的時(shí)間復(fù)雜度為O(N^2)，空間復(fù)雜度為O(1)。
• 二分查找的時(shí)間復(fù)雜度為O(logN)，空間復(fù)雜度為O(1)。
• 階乘遞歸的時(shí)間復(fù)雜度為O(N)，空間復(fù)雜度為O(N)。
• 斐波那契遞歸的時(shí)間復(fù)雜度為O(2^N)，空間復(fù)雜度為O(N)。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数据结构】时间复杂度和空间复杂度的计算的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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