搜索技术【二分搜索】 - 简介 原理
搜索技術【二分搜索】 - 簡介 & 原理
【舉個栗子】
某大型娛樂節目在玩猜數游戲，主持人在女嘉賓的手心寫一個10以內的整數，讓女嘉賓的老公猜數字是多少，而女嘉賓只能提示老公猜的數字是大了還是小了，并且只有3次機會。
主持人悄悄地在女嘉賓手心寫了一個8。
女嘉賓的老公： “2。” 女嘉賓： “小了?！?女嘉賓的老公： “3?！?女嘉賓： “小了。” 女嘉賓的老公： “10?！?女嘉賓： “還是沒猜對?！?那么，你有沒有辦法以最快的速度猜出來呢？
從問題描述來看，如果有n 個數，那么在最壞情況下需要猜n 次才能成功，其實完全沒有必要一個一個地猜，因為這些數是有序的，可以使用二分搜索策略，每次都和中間的元素做比較，如果比中間的元素小，則在前半部分查找；如果比中間的元素大，則在后半部分查找。
這種方法被稱為二分查找或折半查找，也被稱為二分搜索技術。
【原理】 - 二分搜索技術
例如，給定有n 個元素的序列，這些元素是有序的（假定為升序），從序列中查找元素x 。
用一維數組S []存儲該有序序列，設變量low和high表示查找范圍的下界和上界，middle表示查找范圍的中間位置，x 表示特定的查找元素。
[算法步驟]
① 初始化。令low=0，即指向有序數組S []的第1個元素；high=n ?1，即指向有序數組S []的最后一個元素。
② 判定low≤high是否成立，如果成立，則轉向步驟3，否則算法結束。
③ middle=(low+high)/2，即指向查找范圍的中間元素。如果數量較大，則為避免low+high溢出，可以采用middle=low+(high - low)/2。
④ 判斷x 與S [middle]的關系。如果x =S [middle]，則搜索成功，算法結束；如果x >S [middle]，則令low=middle+1；否則令high=middle?1，轉向步驟2。
[舉個栗子]
例如，在有序序列（5,8,15,17,25,30,34,39,45,52,60）中查找元素17。
① 數據結構。用一維數組S []存儲該有序序列，x =17。
② 初始化。low=0，high=10，計算middle=(low+high)/2=5。
③ 將x 與S [middle]做比較。x =17，S [middle]=30，在序列的前半部分查找，令high=middle?1，搜索的范圍縮小到子問題S [0…middle?1]。
④ 計算middle=(low+high)/2=2。
⑤ 將x 與S [middle]做比較。x =17，S [middle]=15，在序列的后半部分查找，令low=middle+1，搜索的范圍縮小到子問題S[middle+1…high]。
⑥ 計算middle=(low+high)/2=3。
⑦ 將x 與S [middle]做比較。x =S [middle]=17，查找成功，算法結束。
[算法實現]
用BinarySearch(int n , int s [], int x )函數實現二分查找算法，其中n 為元素個數，s []為有序數組，x 為待查找的元素。low指向數組的第1個元素，high指向數組的最后一個元素。如果low≤high，middle=(low+high)/2，即指向查找范圍的中間元素。如果x =S[middle]，則搜索成功，算法結束；如果x >S [middle]，則令low=middle+1，在后半部分搜索；否則令high=middle?1，在前半部分搜索。
① 非遞歸算法。
int BinarySearch(int s[] , int n , int s){ //二分查找非遞歸算法int low = 0, high = n - 1; //low指向數組的第1個元素，high指向數組的最后一個元素while(low <= high){int middle = (low + high) / 2; //middle為查找范圍的中間值if(x == s[middle]){ //x 等于查找范圍的中間值，算法結束return middle;}else if(x > s[middle]){ //x 大于查找范圍的中間元素，在后半部分查找low = middle + 1; }else{ //x小于查找范圍的中間元素，在前半部分查找high = middle - 1;}}return -1; }② 遞歸算法。遞歸有自調用問題，增加兩個參數low和high標記搜索范圍的開始和結束。
int recursionBS(int s[] . int x , int low ,int high){ //二分查找遞歸算法//low 指向搜索區間的第1個元素，high 指向搜索區間的最后一個元素if(low > high){ ///遞歸結束條件return -1;}int middle = (low + high) / 2; //計算middle值(查找范圍的中間值)if(x == s[middle]){ //x 等于s[middle]，查找成功，算法結束return middle;}else if(x < s[middle]){ //x 小于s[middle]，在前半部分查找return recursionBS(s , x ,low , middle - 1);}else{ //x 大于s[middle]，在后半部分查找return recursionBS(s , x ,middle + 1 , high);} }[算法分析]
① 時間復雜度
怎么計算二分查找算法的時間復雜度呢？如果用T (n )來表示n 個有序元素的二分查找算法的時間復雜度，那么結果如下。
- 當n =1時，需要一次做比較，T (n )=O (1)。
- 當n >1時，將待查找元素和中間位置元素做比較，需要O (1)時間，如果比較不成功，那么需要在前半部分或后半部分搜索，問題的規?？s小了一半，時間復雜度變為T (n /2)。
- 當n >1時，可以遞推求解如下：
遞推最終的規模為1，令n =2^x ，則x =log n 。
二分查找的非遞歸算法和遞歸算法查找的方法是一樣的，時間復雜度相同，均為O (logn )。
② 空間復雜度
在二分查找的非遞歸算法中，變量占用了一些輔助空間，這些輔助空間都是常數階的，因此空間復雜度為O (1)。
二分查找的遞歸算法，除了使用一些變量，還需要使用棧來實現遞歸調用。在遞歸算法中，每一次遞歸調用都需要一個?？臻g存儲，我們只需看看有多少次調用即可。假設原問題的規模為n ，首先第1次遞歸就分為兩個規模為n /2的子問題，這兩個子問題并不是每個都執行，只會執行其中之一，因為與中間值做比較后，要么在前半部分查找，要么在后半部分查找；然后把規模為n /2的子問題繼續劃分為兩個規模為n/4的子問題，選擇其一；繼續分治下去，在最壞情況會分治到只剩下一個數值，那么算法執行的節點數就是從樹根到葉子所經過的節點，每一層執行一個，直到最后一層，如下圖所示。
遞歸調用最終的規模為1，即n /2 ^x =1，則x =logn 。假設陰影部分是搜索經過的路徑，一共經過了logn 個節點，也就是說遞歸調用了logn 次。遞歸算法使用的棧空間為遞歸樹的深度，因此二分查找遞歸算法的空間復雜度為O (logn )。在二分搜索中需要注意以下幾個問題。
① 必須滿足有序性。
② 搜索范圍。初始時，需要指定搜索范圍，如果不知道具體范圍，則對正數可以采用范圍[0,inf]，對負數可以采用范圍[-inf,inf]，inf為無窮大，通常設定為0x3f3f3f3f。
③ 二分搜索。在一般情況下，mid=(l +r )/2或mid=(l +r)>>1。如果l 和r 特別大，則為了避免l +r 溢出，可以采用mid=l +(r-l )/2。對判斷二分搜索結束的條件，以及判斷mid可行時是在前半部分搜索，還是在后半部分搜索，需要具體問題具體分析。
④ 答案是什么。在減少搜索范圍時，要特別注意是否漏掉了mid點上的答案。
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二分搜索分為整數上的二分搜索和實數上的二分搜索，大致過程如下。
① 整數上的二分搜索
整數上的二分搜索，因為縮小搜索范圍時，有可能r =mid-1或l=mid+1，因此可以用ans記錄可行解。對是否需要減1或加1，要根據具體問題來分析。
l = a ; r = b; //初始搜索范圍 while(l <= r){int mid = (l + r) / 2;if(judge(mid)){ans = mid; //記錄可行解r = mid - 1;}else{l = mid + 1;} } return ans;② 實數上的二分搜索
實數上的二分搜索不可以直接比較大小，可以將r -l >eps作為循環條件，eps為一個較小的數，例如1e-7等。為避免丟失可能解，縮小范圍時r =mid或l =mid，在循環結束時返回最后一個可行解。
l = a; r = b; //初始搜索范圍 while(r - l>eps){ //判斷差值double mid = (l + r) / 2;if(judge(mid)){l = mid; //l 記錄了可行解，在循環結束時返回答案l}else{r = mid;} } return l;還可以運行固定的次數，例如運行100次，可達10^-30 精度，在一般情況下都可以解決問題
l = a ; r = b; for(int i = 0 ; i < 100 ; i++){ //運行100次double mid = (l + r) / 2;if(judge(mid)){l = mid;}else{r = mid;} } return l;總結
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