有些情況下，我們需要處理源自同一張圖像的不同分辨率的圖像集合。這些不同分辨率的圖像組成的集合稱為圖像金字塔。

圖像金字塔的主要類型可分為低通和帶通

有兩種常用圖像金字塔：

Gaussian Pyramid （低通）

Laplacian Pyramids （帶通）

之所以稱為金字塔，是因?yàn)榻鹱炙撞坑纱蟪叽绲脑瓐D組成，越往上層，尺寸越小，堆疊起來(lái)就是一個(gè)金字塔的形式：

金字塔的生成過(guò)程

低通金字塔：使用一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠交琭ilter對(duì)圖像進(jìn)行平滑處理，接著對(duì)平滑之后的圖像進(jìn)行下采樣（subsampling），下采樣因子通常為2.（分別對(duì)應(yīng)各個(gè)坐標(biāo)軸）。繼續(xù)對(duì)得出的結(jié)果圖像做相同的操作，重復(fù)這個(gè)步驟多次。每循環(huán)一次，會(huì)得出一副更小的、平滑程度更高的、分辨率更低的圖像。
如果把原圖放在最底部，之后每一次的生成圖像都堆疊到上一次的結(jié)果之上，就形成了金字塔的形狀

帶通金字塔：通過(guò)將金字塔中相鄰兩層圖像做差得到。由于相鄰兩層圖像尺寸不同，因此需要進(jìn)行一些圖像插值操作，已達(dá)到計(jì)算像素間差值的目的。
具體的，拉普拉斯金字塔（Laplacian Pyramids）中的每一層，是由高斯金字塔的對(duì)應(yīng)層以及高一層（需要先插值放大）做差而成。

Scale Space 尺度空間

尺度空間： 將一幅圖像表示為一系列的平滑圖像，稱為尺度空間表示，這些平滑圖像可參數(shù)化表示為平滑核（用于抑制細(xì)尺度結(jié)構(gòu)）的尺寸。
定義:
尺度空間的概念適用于有著任意數(shù)目變量的信號(hào)。而其在二維圖像上的應(yīng)用是最常見(jiàn)的。

尺度空間的其中一個(gè)主要類型，就是線性（高斯）尺度空間。高斯尺度空間因其良好的性質(zhì)而被廣泛地應(yīng)用。

對(duì)于給定的一副二維圖像 f(x,y)，他的線性（高斯）尺度空間表示是由一系列的派生信號(hào)L(x,y;t)所組成，其中L(x,y,;t)由f(x,y)與一個(gè)二維高斯核卷積而成，其中二維高斯核定義如下：

?

因此有：

?

其中 * 號(hào)代表卷積。 分號(hào)表示卷機(jī)操作只對(duì) x,y 這兩個(gè)變量進(jìn)行，t僅指代定義好的尺度級(jí)別（scale level）。上述L 適用于連續(xù)的尺度級(jí)別 t≥0， 但一般情況下僅會(huì)考慮離散的一組t

尺度參數(shù) t=σ^2 是高斯filter的方差。當(dāng)t趨于零時(shí)，g就成為了一個(gè)脈沖函數(shù)（除了零點(diǎn)，別處的函數(shù)值都為零），則有 L(x,y;0)=f(x,y), 也就是說(shuō)，位于尺度級(jí)別 t = 0 的尺度空間表示（scale-space representation）就是原圖本身。隨著t的增大，越來(lái)越大的filter被作用于圖像f，形成平滑度越來(lái)越高的L，以至于原圖中越來(lái)越多的細(xì)節(jié)被丟棄。由于每個(gè)filter的標(biāo)準(zhǔn)差為σ=√t, 對(duì)于位于尺度等級(jí)t的圖像，遠(yuǎn)小于√t的細(xì)節(jié)很大程度上會(huì)被丟棄。

關(guān)于filter的選取

并非任何低通filter都可用于生成尺度空間。可用于生成尺度空間的filter必須滿足以下一點(diǎn)：由該平滑filter生成的粗尺度圖像（高層圖像）不會(huì)引入不存在于細(xì)尺度圖像（低層圖像）中的雜散結(jié)構(gòu)。換言之，給定粗尺度圖像中的任何一個(gè)區(qū)域，細(xì)尺度圖像上總能找到相應(yīng)的區(qū)域。這兩個(gè)區(qū)域相比，粗尺度圖像區(qū)域不能夠有新的結(jié)構(gòu)。

受制于尺度空間公理，高斯卷積核是實(shí)現(xiàn)尺度變換的唯一線性核。

為什么要提出尺度空間？

在現(xiàn)實(shí)世界中，物體在不同尺度下，有著不同的結(jié)構(gòu)。這就表明，我們?nèi)绻麖牟煌某叨热ビ^察同一個(gè)物體，會(huì)得出不一樣的結(jié)果。比如，觀察一棵樹(shù)的適當(dāng)尺度應(yīng)該是“米”，而觀察一片葉子可能需要更細(xì)粒度的尺度才能得出較好的結(jié)果。 當(dāng)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)要對(duì)一個(gè)未知的場(chǎng)景進(jìn)行分析時(shí)，并不能夠提前預(yù)知要用什么樣的尺度來(lái)對(duì)圖像信息中的興趣結(jié)構(gòu)（interesting structures）進(jìn)行描述才是最合適的。因此，唯一可行的方案就是將多個(gè)不同尺度的描述都考慮進(jìn)來(lái)，以便捕獲未知的尺度變化。

尺度空間理論和生物視覺(jué)之間也有著十分密切的聯(lián)系。哺乳動(dòng)物的視網(wǎng)膜以及視覺(jué)皮層第一階段所記錄的接受場(chǎng)的分布，與許多尺度空間操作都高度近似。

參考鏈接：

https://en.wikipedia.org/wiki/Scale_space
http://opencv-python-tutroals.readthedocs.io/en/latest/py_tutorials/py_imgproc/py_pyramids/py_pyramids.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Pyramid_(image_processing)

作者：Kangel_Zenn
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總結(jié)

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