有些情況下，我們需要處理源自同一張圖像的不同分辨率的圖像集合。這些不同分辨率的圖像組成的集合稱為圖像金字塔。

圖像金字塔的主要類型可分為低通和帶通

有兩種常用圖像金字塔：

Gaussian Pyramid （低通）

Laplacian Pyramids （帶通）

之所以稱為金字塔，是因為金字塔底部由大尺寸的原圖組成，越往上層，尺寸越小，堆疊起來就是一個金字塔的形式：

金字塔的生成過程

低通金字塔：使用一個恰當的平滑filter對圖像進行平滑處理，接著對平滑之后的圖像進行下采樣（subsampling），下采樣因子通常為2.（分別對應各個坐標軸）。繼續對得出的結果圖像做相同的操作，重復這個步驟多次。每循環一次，會得出一副更小的、平滑程度更高的、分辨率更低的圖像。
如果把原圖放在最底部，之后每一次的生成圖像都堆疊到上一次的結果之上，就形成了金字塔的形狀

帶通金字塔：通過將金字塔中相鄰兩層圖像做差得到。由于相鄰兩層圖像尺寸不同，因此需要進行一些圖像插值操作，已達到計算像素間差值的目的。
具體的，拉普拉斯金字塔（Laplacian Pyramids）中的每一層，是由高斯金字塔的對應層以及高一層（需要先插值放大）做差而成。

Scale Space 尺度空間

尺度空間： 將一幅圖像表示為一系列的平滑圖像，稱為尺度空間表示，這些平滑圖像可參數化表示為平滑核（用于抑制細尺度結構）的尺寸。
定義:
尺度空間的概念適用于有著任意數目變量的信號。而其在二維圖像上的應用是最常見的。

尺度空間的其中一個主要類型，就是線性（高斯）尺度空間。高斯尺度空間因其良好的性質而被廣泛地應用。

對于給定的一副二維圖像 f(x,y)，他的線性（高斯）尺度空間表示是由一系列的派生信號L(x,y;t)所組成，其中L(x,y,;t)由f(x,y)與一個二維高斯核卷積而成，其中二維高斯核定義如下：

?

因此有：

?

其中 * 號代表卷積。 分號表示卷機操作只對 x,y 這兩個變量進行，t僅指代定義好的尺度級別（scale level）。上述L 適用于連續的尺度級別 t≥0， 但一般情況下僅會考慮離散的一組t

尺度參數 t=σ^2 是高斯filter的方差。當t趨于零時，g就成為了一個脈沖函數（除了零點，別處的函數值都為零），則有 L(x,y;0)=f(x,y), 也就是說，位于尺度級別 t = 0 的尺度空間表示（scale-space representation）就是原圖本身。隨著t的增大，越來越大的filter被作用于圖像f，形成平滑度越來越高的L，以至于原圖中越來越多的細節被丟棄。由于每個filter的標準差為σ=√t, 對于位于尺度等級t的圖像，遠小于√t的細節很大程度上會被丟棄。

關于filter的選取

并非任何低通filter都可用于生成尺度空間。可用于生成尺度空間的filter必須滿足以下一點：由該平滑filter生成的粗尺度圖像（高層圖像）不會引入不存在于細尺度圖像（低層圖像）中的雜散結構。換言之，給定粗尺度圖像中的任何一個區域，細尺度圖像上總能找到相應的區域。這兩個區域相比，粗尺度圖像區域不能夠有新的結構。

受制于尺度空間公理，高斯卷積核是實現尺度變換的唯一線性核。

為什么要提出尺度空間？

在現實世界中，物體在不同尺度下，有著不同的結構。這就表明，我們如果從不同的尺度去觀察同一個物體，會得出不一樣的結果。比如，觀察一棵樹的適當尺度應該是“米”，而觀察一片葉子可能需要更細粒度的尺度才能得出較好的結果。 當計算機系統要對一個未知的場景進行分析時，并不能夠提前預知要用什么樣的尺度來對圖像信息中的興趣結構（interesting structures）進行描述才是最合適的。因此，唯一可行的方案就是將多個不同尺度的描述都考慮進來，以便捕獲未知的尺度變化。

尺度空間理論和生物視覺之間也有著十分密切的聯系。哺乳動物的視網膜以及視覺皮層第一階段所記錄的接受場的分布，與許多尺度空間操作都高度近似。

參考鏈接：

https://en.wikipedia.org/wiki/Scale_space
http://opencv-python-tutroals.readthedocs.io/en/latest/py_tutorials/py_imgproc/py_pyramids/py_pyramids.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Pyramid_(image_processing)

作者：Kangel_Zenn
鏈接：https://www.jianshu.com/p/cefbdc2dc5b9
來源：簡書
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總結

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