? ? ? ? 迭代加深搜索算法(iterative deepening depth-first search (IDS or IDDFS)) 可以被視作是廣度優先搜索算法（BFS）和深度優先搜索算法（DFS）的結合。常用于解決在廣度很深度上都無限的問題，最經典的便是埃及分數：

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在古埃及，人們使用單位分數的和(形如1/a的, a是自然數)表示一切有理數。如：2/3=1/2+1/6,但不允許2/3=1/3+1/3,
因為加數中有相同的。對于一個分數a/b,表示方法有很多種，但是哪種最好呢？首先，加數少的比加數多的好，其次，加數
個數相同的，最小的分數越大越好。
如：19/45=1/3 + 1/12 + 1/180
19/45=1/3 + 1/15 + 1/45
19/45=1/3 + 1/18 + 1/30,
19/45=1/4 + 1/6 + 1/180
19/45=1/5 + 1/6 + 1/18.
最好的是最后一種，因為1/18比1/180,1/45,1/30,1/180都大。
給出a,b( 0 < a < b < 1000),編程計算最好的表達方式。
Input：
a b
Output：
一個等式

Sample Input：
3 4
Sample Output:
3/4 = 1/2 + 1/4? ??

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? ? ? ? 埃及分數問題的廣度（單位分數的大小）和深度（單位分數的求和數量）都是無限的。在單純的DFS問題中，很多時候剪枝技術只是一種優化，但在IDDFS中，剪枝直接限定了合理有效的邊界，使搜索在有限的范圍內進行，使得回溯和搜索都成為了可能。因此在IDDFS中，如何剪枝成為了不可繞過的重要話題，直接決定了是否能合理地解決問題。

? ? ? ? 簡要回顧以下IDDFS的思想：逐漸增加DFS的遞歸深度，同時每一層都采用BFS進行搜索，可以說IDDFS就是用DFS串起來的BFS，又或者用筆者在DFS筆記中的類比，DFS是”動態循環“，普通的DFS的循環體只是一個簡單判斷，而IDDFS中的循環體就是一個BFS。

? ? ? ? 本題存在兩個維度的最優解情況：1、和式中的分數最少，2、和式中的最小的分數最大（分母最小），其中2是在1的條件下進行判斷。考慮到IDDFS中DFS和BFS的從屬關系，自然1應當由DFS處理，而2則是BFS。

? ? ? ? 接下來具體分析一下題目，首先本題采用分數作為結果，為了保證過程沒有誤差，采用浮點型進行計算是錯誤且復雜的，會牽扯到小數和分數的轉換問題。在本題中，對于分數而言分子和分母成對出現，不如用pair<int,int>來儲存它們，first是分子，second是分母。在此基礎上，需要重新定義這種特殊類型的分數的求和函數：

int gcd(int a,int b) //輾轉相除法求公約數 {return b==0 ? a : gcd(b,a%b);} pair<int,int> sum(pair<int,int> a, pair<int,int> b){pair<int,int> result;int c = a.first*b.second+b.first*a.second;int d = a.second*b.second;int g = abs(gcd(d,c));c /= g; d /= g;result.first = c; result.second = d;return result; }

? ? ? ? 有了求和方法之后似乎分數運算變得可行，如果要比大小的話只需要將其中一個的first*（-1）傳入，再比較結果的符號即可。同時本題需要輸出一個和式，這個和式再DFS的過程中也需要被跟蹤，所以不妨先放出兩個字符串和整型互轉函數：

string ItS(int num){string str;stringstream ss;ss<<num;ss>>str;return str; } int StI(string str){int num;stringstream ss;ss<<str;ss>>num;return num; }

? ? ? ? 準備好基本工具后我們來理一下解題思路：先試2個分數的和，再試3個分數的和，再...直到在第n個分數的和找到了我們想要的結果a/b，便解決了最優解條件1，再在這一層中繼續尋找別的可能解且不再深入，最后根據最優解條件2排序，輸出最優解。

? ? ? ? 從深度上說，IDDFS中DFS的部分往往需要兩個基本參數（now和deep），now是當前的遞歸深度，deep是最深的遞歸深度，一旦now=deep則返回，deep+1后再繼續，deep則有主函數給出。所以IDDFS的遞歸思路是從0-1，再0-2，再0-3...直到解決問題。

? ? ? ? 埃及分數是恒有解問題，這一點在題目中也有暗示（沒有impossible的情況），且大部分IDDFS的問題在深度上的無限正體現在這一點上。因此我們不用擔心由于深度無限而無法跳出，我們總會找到合適的解，并且事實上它不會在深度上花費太多。

? ? ? ? 而在廣度上，我們需要不斷地求和，并記錄這些和的結果，運用到下一層的BFS中去，為了簡單說明這個問題的思路，我們將算法中位于+號左邊的稱為“頭”，位于+號右邊的稱為“尾”，作為暴力算法，遍歷求和的思路便是將頭作為外循環，尾作為內循環，儲存求和結果，下面用一個代碼解釋這個思路：

for(int head=0;head<10;head++){for(int tail = head+1;tail<10;tail++){int sum = head + tail;} }

? ? ? ? 在IDDFS中，這個head來自于上一層的BFS中，而這個tail正是當前層的BFS給出的遍歷，而sum則是當前層BFS的搜索用元。DFS則在其中擔任傳遞head的作用，并且決定傳遞幾層。

? ? ? ? 了解了BFS和DFS再IDDFS中分別擔任的角色和它們互相作用的原理關系，接下來我們需要解決能使整個解決過程變得可行，變得不再無窮的核心問題——如何剪枝。

? ? ? ? 事實上在這里稱剪枝或許并不準確，畢竟剪枝是DFS中用于避免無效遞歸的手段，而在IDDFS中，實際上我們更關注給BFS進行“劃界”，使得BFS在一個合理的范圍內搜索，剩余的無窮的無效范圍是不必要的。

? ? ? ? 在本題中的“劃界”方法是：用遞增順序枚舉分數，如果接下來的遞歸層數（deep-now)全加上目前這個分數(1/n)仍然小于目標值（a/b)，說明剩下的分數枚舉是無效的，可以直接結束枚舉，劃出右界，同時如果當前分數比目標分數大，則同樣不需要枚舉，劃出左界。給出檢測函數：

int check(pair<int,int>now, int after, int deep){//after是小于當前枚舉分數的最大分數的分母，pair<int,int> p; //deep為遞歸深度,同時也是求和寬度 pair<int,int>temp;p.first = deep; p.second = after;temp.first = a*(-1); temp.second = b;if(sum(now,temp).first>0) return 2; //左界以左p = sum(now,p);p = sum(p,temp);return(p.first>=0); //右界以右 }

? ? ? ? 之所以check函數不用bool型而是用int型，是因為需要區分左界以左，右界以右和在范圍內三種情況，在住主函數中需要另外處理它們，保證主函數給出的head是左界，使IDDFS效率更高。

? ? ? ? 有了IDDFS的基礎模塊check劃界后，我們繼續解決題目中的具體問題。

? ? ? ? 首先是記錄每個head的加合路徑，這個路徑將再最后被調用輸出，簡單寫一個字符串函數，同時用map<pair<int,int>,stirng>來儲存它們：

string road(string pre, pair<int,int> next){string str;str = pre + " + " + ItS(next.first) + "/" + ItS(next.second);return str; }

? ? ? ? 另外，在BFS中tail的左值取決于head的road中的最后一個分數，并且如果最后目標值有多解，我們還需要比較它們最后一個分數的大小，所以需要一個提取最后一個分數分母的函數：

int GetStringTail(string str){ //找到分數加和式中的最后一個分母 int num;string st;for(string::reverse_iterator it=str.rbegin();it!=str.rend();it++){if((*it)=='/') break; st+=(*it); }reverse(st.begin(),st.end());stringstream ss;ss<<st;ss>>num;return num; }

? ? ? ? ? 最后還有一些細節：在讀入目標分數后，首先進行化簡，不然分母是錯誤的。如果目標分數的分子是1（已經是埃及分數），避免麻煩，直接輸出即可。

? ? ? ? 整合它們！

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int a, b; bool findthedeep; map<pair<int,int>,string> m; vector<string> result; int gcd(int a,int b) //輾轉相除法求公約數 { return b==0 ? a : gcd(b,a%b);} pair<int,int> sum(pair<int,int> a, pair<int,int> b){pair<int,int> result;int c = a.first*b.second+b.first*a.second;int d = a.second*b.second;int g = abs(gcd(d,c));c /= g; d /= g;result.first = c; result.second = d;return result; } string ItS(int num){string str;stringstream ss;ss<<num;ss>>str;return str; } int StI(string str){int num;stringstream ss;ss<<str;ss>>num;return num; } int check(pair<int,int>now, int after, int deep){ //after是小于當前枚舉分數的最大分數的分母，pair<int,int> p; //deep為遞歸深度,同時也是求和寬度 pair<int,int>temp;p.first = deep; p.second = after;temp.first = a*(-1); temp.second = b;if(sum(now,temp).first>0) return 2;p = sum(now,p);p = sum(p,temp);return(p.first>=0); } string road(string pre, pair<int,int> next){string str;str = pre + " + " + ItS(next.first) + "/" + ItS(next.second);return str; } int GetStringTail(string str){ //找到分數加和式中的最后一個分母 int num;string st;for(string::reverse_iterator it=str.rbegin();it!=str.rend();it++){if((*it)=='/') break; st+=(*it); }reverse(st.begin(),st.end());stringstream ss;ss<<st;ss>>num;return num; } void IDDFS(pair<int,int> top, int now, int deep){ if(now == deep) return;queue<pair<int,int>> q; int k = 0; int s = GetStringTail(m[top]);for(int i=s+1;;i++){if(check(top,i,deep-now) != 1) break;pair<int,int> num;num.first = 1; num.second = i;q.push(num);k++;}pair<int,int> head, next;while(k--){head = q.front();q.pop();next = sum(top,head);q.push(next);m[next] = road(m[top],head);if(next.first == a && next.second == b){result.push_back(m[next]);findthedeep = 1;}}while(!q.empty()){IDDFS(q.front(),now+1,deep);q.pop();}return; } int main(){cin>>a>>b;cout<<a<<"/"<<b<<"=";int c = gcd(a,b);a /= c; b /= c; //化簡 if(a==1){cout<<a<<"/"<<b;return 0;}queue<pair<int,int>> q;pair<int,int> top;for(int i=2;;i++){for(int t=2;;t++){top.first = 1; top.second = t;if(check(top,top.second+1,i) == 0) break;if(check(top,top.second+1,i) == 2) continue;q.push(top);}while(!q.empty()){m.clear();top = q.front();q.pop();m[top] = "1/" + ItS(top.second); IDDFS(top,1,i); }if(findthedeep) break;}int max = 0;string res;for(int i=0;i<result.size();i++){int num = GetStringTail(result[i]);if(max>num || max==0){max = num;res = result[i];}}cout<<res<<endl;return 0; }

? ? ? ? 最后的補充：在IDDFS中，實際上是對DFS和BFS的配合使用，主要分為以下3個要點：

? ? ? ? 1、BFS：依然是找到核心隊列，注意結合DFS的遞歸深度劃分左右界。

? ? ? ? 2、DFS：依然是找到核心遞歸，注意逐步加深遞歸深度。

? ? ? ? 3、DFS給BFS傳遞枚舉head，BFS負責找到最優解。

? ? ? ? 4、IDDFS的核心是變化深度上限的DFS，BFS很多時候是被忽視甚至是可以代替的。

? ? ? ? 5、IDDFS要注意逐漸加深的深度的數據意義，能夠幫助快速架構算法邏輯。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的IDDFS学习笔记-埃及分数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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