???矩陣的行列式，determinate（簡稱det），是基于矩陣所包含的行列數(shù)據(jù)計(jì)算得到的一個標(biāo)量。是為求解線性方程組而引入的。

1 行列式的定義

1.1?二階行列式

????對于二階線性方程組

????若b1b2都為0，則稱齊次線性方程組，否則則稱非齊次線性方程組

????當(dāng)如下情況時(shí)：

????用消元法解得：

????然后簡化成如下公式：

????則解上面的二元線性方程組可得：

????對于二階和三階行列式可用對角線法則。

1.2?N階行列式

????從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排列起來，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。當(dāng)m=n時(shí)所有的排列情況叫全排列。n階排列共有n!個。

????如1,2,3三個元素的全排列共6種，如下：

1,2,31,3,22,1,32,3,13,1,23,2,1

????在一個排列中，如果一個較大的數(shù)排在了較小的數(shù)前面，就稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序。一個排列逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)。

? ? 用f(j1j2...jn)表示排列j1j2...jn的逆序數(shù)，例如f(31542)=5

3?之前有0個數(shù)比它大1?之前有1個數(shù)比它大5?之前有0個數(shù)比它大4?之前有1個數(shù)比它大2?之前有3個數(shù)比它大0+1+0+1+3=5

????通過對二階三階行列式分析，可得二階三階和n階的公式，如下：

????如下的例子計(jì)算：

2?行列式的性質(zhì)

????用定義計(jì)算行列式的值是很困難的，一般都利用行列式的性質(zhì)簡化行列式為上(下)三角形行列式后再計(jì)算。

????規(guī)定如下行列式變換符號：

• 行列式i行(列)與j行(列)交換，記為ri?rj(ci?cj)

• 行列式的第i行(列)乘以常數(shù)c，記為cri(cci)

• 行列式的第j行(列)的k倍加到第i行(列)，記為ri+krj(ci+kcj)

????性質(zhì)1：行列式行列互換，其值不變

????性質(zhì)2：把行列式的任一行(列)所有元素乘以一個數(shù)k，等于用數(shù)k乘以這個行列式

????性質(zhì)3：如果行列式的某一行(列)的每個元素都為0，則改行列式值為0

????性質(zhì)4：如果行列式的某一行(列)的每個元素都是兩個元素的和，則等于兩個行列式的和

????性質(zhì)5：交換一個行列式的某兩行(列)，行列式的值異號

????性質(zhì)6：交換一個行列式的有兩行(列)完全相同或成比例，則該行列式的值為零

????性質(zhì)7：把行列式的某一行(列)的倍數(shù)加到另一行(列)上，行列式的值不變

下圖是一個簡化例子：

3?代數(shù)余子式

????在n階行列式D中，劃去元素aij所在的行與列，剩下的元素按原來的順序構(gòu)成n-1階行列式，稱為元素aij的余子式，為Mij。有記Aij=(-1)^(i+j)Mij，Aij稱為元素aij的代數(shù)余子式。

????代數(shù)余子式主要是用來將高階行列式化為低階行列式。

????如下圖的代數(shù)余子式：

????性質(zhì)1:如第i行除了aij不為0其他都為0，則行列式的值如下：

????性質(zhì)2:n階行列式D等于它的任意一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，如下：

????性質(zhì)3:n階行列式D某一行(列)的各元素與另一行(列)對應(yīng)的元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0，如下：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数之行列式的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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