定義1.5

設（S，○，+）是具有兩個代數運算“○”和“+”的代數系，如果對于任意a,b,c∈S，恒有
a○(b+c)=a○b+a○c
則稱“○”對“+”滿足左分配率
(b+C)○a=b○a+c○a
則稱“○”對“+”滿足右分配率

定理1.3

設（S，○，+）是具有兩個代數運算“○”和“+”的代數系，如果+滿足結合律，“○”對“+”滿足左（右）分配率如果對于任意a,b,c∈S，恒有
a○（a1+a2+…+an)=(a○a1)+(a○a2)+…+(a○an)
（a1+a2+…+an)○a=(a1○a)+(a2○a)+…+(an○a)

定義1.6 單位元–幺元

設（S，○）是一個代數系，如果存在一個元素al∈S，使得任意a∈S都有
al○a=a
則稱a1是乘法○的左單位元素，即左幺元
a○ar=a
則稱ar是乘法○的右單位元素，即右幺元
e○a=a○e=a
則稱e是乘法○的單位元素，即幺元

定理1.4

（S，○）是一個代數系，如果二元代數運算“○”既有左單位元素al，又有右單位元素ar，則al=ar，從而有單位元素

定義1.7

設（S，○）是一個代數系，如果存在一個元素z∈S，使得任意a∈S都有
z○a=a○z=z
則稱z為乘法“○”的零元素
同樣可以定義左零元素和右零元素

一些記號

設（S，○）是一個具有二元代數運算○的代數系，定義
A ○ B ={a○b|a∈A,b∈B}
把 A ○ B簡記為AB

定義11.3.1

設（S，○）是一個具有二元代數運算○的代數系，如果設（S，○）是一個具有二元代數運算○的代數系滿足結合律，則稱S對于乘法○構成一個半群，記為（S，○）
交換半群或者可換半群，有限半群，無限半群。集合S上的元素可以是任何類型

例子：
小集合作為集合的元素
零S={{1,2}，{3,4}}，定義S上的乘法○如下

○{1,2}{3,4}

{1,2}	{1,2}	{3,4}
{3,4}	{3,4}	{1,2}

(S,○)是一個半群

半群的例子–模n剩余類

設Zn={[0],[1],…,[n-1]}是整數集合Z上在模n的同余關系之下的等價類之集合。其中
[i]={m|m∈Z，m≡i（mod n)} [i]=[n+i]?
在Zn上定義加法“+”如下任意[i],[j]∈Zn
[i]+[j]=[i+j]
證明加法“+”是Zn上的一個二元代數運算。（Zn，+）是一個半群

定義11.3.2

有單位元素e的半群（S，○）稱為獨異點或者稱為幺半群，記為（S，○，e）如果S是一個有限集合，則稱（S，○，e）為有限幺半群，S的基數稱為幺半群（S，○,e)的階

定理11.3.2

有限半群（S，○）是一個幺半群當且僅當存在s，t∈S使得
sS=S，St=S

總結

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