第一課 方程組的幾何解釋

置換矩陣[一個m*n(m<=n)的(0,1)矩陣P為置換矩陣的充要條件是P的每一行恰有一個1，每一列恰有一個1，其余系數均為0]

[注意區別置換矩陣和轉置矩陣，兩者關系：置換矩陣的逆等于其轉置，即=]

{置換矩陣是單位矩陣的延伸版，是單位矩陣進行初等變換(行交換和列交換)后得到的矩陣,其必然為正交矩陣[若A=E或A=E,則稱n階實矩陣為正交矩陣(其中表示A的轉置矩陣，E為單位矩陣)]}

[通過單位矩陣(使用行變換或列變換)找置換矩陣更容易]? ? ??

一.“左行右列”

? 1。交換,(行交換~左乘）

? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ?P(置換矩陣）P中[0 1]表示0個,1個,即得到[c d]

? ?2。交換,(列交換~右乘)

? ? ? ?????

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P(置換矩陣）P中[0 1]表示0個,1個，即得到[b d]

第二課 矩陣消元

二.關于運算

? ?1。消元(消元，為了正確認識矩陣的概念）? ?

? ?? （每個臺階的第一個元素稱為主元)?

? ? ? ? [0不能做主元，若0占據主元位置，0下面有非0元素，則可進行行交換(暫時性失效)]

? ?2。a.結合律成立(即括號可以移動)，交換律不成立(即乘法順序不能改變),因而除非兩者可以交換，否則不滿足完全平方公式和平方差公式

? ? ? ? ? ?b.減多少就加多少回來

? ?3。矩陣內部元素表示含義

??

? ? ? ? ? ? ? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?I(單位陣,也可用E表示,并無差別)

中表示A的各乘以1分別得到I中的，中表示A的3+得到I中的

第三課? 乘法和逆矩陣

三.矩陣乘法(矩陣相乘不一定要是方陣，若是方陣，則大小必須相同；若不是方陣，則大小不同，但須滿足特定格式：?)

? ? ? AB=C

? ? 1。常規方法(求和公式）? ? ? ? ? ? ?

? ? ?2。列方法(將B看作p個單獨的列向量，C中各列是A中各列的線性組合~A*向量，B中的元素相當于表明這是怎樣的線性組合）

? ? ? 3。行方法(與列方法相似，注意左行右列即可）

? ? ? ?4。列*行

? ? ? ? ? ? ? (行空間即行所有可能的線性組合）

? ? ? ? 5。分塊矩陣(分塊乘法法則）

四.逆

? ? ? ? ? ? ? (對于方陣而言，只要A有逆，左逆右逆都可以 ;

左逆? ? ?單位陣? ? 右逆? ? ? ? ? ? ?而非方陣因為形狀不同無法相乘，左逆并不等于右逆)

? ? ? ? ? 1。奇異矩陣(沒有逆)

? ? ? ? ? ? ? ? 判定方法：a.行列式（常用)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??b.假設AB=C，C中各列為A中相應列的倍數，

? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A中兩列共線(向量角度)，所有的線性組合均在此條直線(1,3)上

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?而(1，0）不在其上，則?不可能是A這些列的線性組合

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C不是單位陣，A是奇異矩陣

? ? ? ? ? ? ? ? ?非零向量X，使得AX=0，這樣的矩陣A沒有逆

? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??(如果其中一列對線性組合毫無貢獻，矩陣? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3個加上-1個? ? ? ? ? ? ? ? ? ???不可能有逆)

? ? ? ? ? ? ? ? ?假設,又,?? ?假設不成立

? ? ? ? ? ? ? ? ?結論：不可逆(奇異)矩陣其列能通過線性組合(非零向量X)得到0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (若左乘其逆，則X=0,所以不成立)

? ? ? ? ? ?2。非奇異矩陣(可逆)

? ? ? ? ? ? ? ? 1.判定方法：a.行列式

? ? ? ? ? ? ? ? ? ??b.各列的方向不同，組合能得到任何向量

? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?I? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(求逆~解2個方程組)

? ? ? ? ??? ? ?2.求逆方法

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a.高斯-若爾當消元法[即初等變換(利用增廣矩陣能同時處理兩個方程組)]

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (求逆~求解方程組）

? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? 即? ?? (消元矩陣E：消元法的矩陣形式)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b.?待定系數求解方程? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?設??? ?用中的系數表示 I（單位矩陣)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c.利用伴隨矩陣求解

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 公式：? ??? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [方陣(即 行數=列數)可逆的充分必要條件是,當A可逆時,???? ?]?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? d.特殊?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?二階矩陣[特殊口訣得到伴隨矩陣(主對角線交換，副對角線變號)，根據方法c求解]

第四課 A的LU分解?

A=LU? ?

(總的消元公式，最基礎的矩陣分解）

? ? ? ? ? ? 1。消元矩陣的乘法(相關見第二課）

? ? ? ? ? ? ? ? ??? [括號可以移動，即結合律(相關見第一課)]

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? (放另一側檢驗)? ? ?

? ? ? ? ? ? 2。轉置(相關見第一課)

? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(類比記憶:1,復合函數求導? 2,先脫鞋子，再脫襪子，其逆動作是先穿襪子，再穿鞋子)

? ? ? ? ? ? 3。可逆矩陣A經過行變換得到U

? ? ? ? ? ? ? ? ? 1，假設主元上沒有0，不需要行交換?

? ? ? ? ? ? ? ? ? a.二階矩陣(階只對方陣定義)?

? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 即? ?? (消元矩陣?:把位置上的數消成0)

? ? ? ? ? ? ? ? ??即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中，? ? ? [的逆(即?)的求解方法詳見第三課]

? ? ? ? ? ? ?? ? L:lower 下三角? ? ?U:upper 上三角? ? (對角線均為1)? ? ? ? ? ?D:diagonal 對角矩陣

? ? ? ? ? ? ? ? ? b.三階矩陣

? ? ? ? ? ? ? ? ????

? ? ? ? ? ? ? ? ?(乘積的逆，只需要分別求逆，然后反順序相乘即可）? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ?? 即?? ? ? ? ? 則? ?EA=U

? ? ? ? ? ? ? ? ?(A中處的位置為0，沒有)

? ? ? ? ? ? ? ? ?[上三角矩陣與上三角矩陣的乘積都是上三角矩陣(即對角線的數保持不變)]

? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?即? ?則A=LU

? ? ? ? ? ? ? (把EA=U轉換成A=LU,這樣2和5不會沖突得到10,消元乘數還在L里，則L不用運算，只? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 需要寫出所有消元乘數，簡便了運算)

? ? ? ? ? ? ? [如果不存在行互換，消元乘數(即消元步驟中需要乘以并減去的那個倍數),可直接寫入L中]

? ? ? ? ?? ?關于(以矩陣形式進行)消元:比如進行消元步驟，只要步驟正確，可在得到LU的過程中把? ? ? ? ? ? ? ? ? A拋開，A的信息都包含于LU中，當完成A的消元，只需要記住得到的U和由消元所? ? ? ? ? ? ? ? ? 用乘數構成的L，A可以不管了。

第五課 轉置 — 置換 — 向量空間R

? ? ? ? ? ? ? ? 2，如果主元上有0，允許行互換(置換矩陣可以用來進行行互換)? ——? ?轉置與置換

? ? ? ? ? ? ? ? ? 置換矩陣：一個m*n(m<=n)的(0,1)矩陣P為置換矩陣的充要條件是P的每一行恰有一? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?個1，每一列也恰有一個1，其余系數均為0。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?置換矩陣是單位矩陣的延伸版，是單位矩陣進行初等變換(行交換和列交換)后得到? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的矩陣(即行重新排列了的單位矩陣),其必然為正交矩陣[若A=E或A=E,則稱n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?階實矩陣為正交矩陣(其中表示A的轉置矩陣，E為單位矩陣)]。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??單位矩陣是不做任何變換(即毫無作為)的置換矩陣，是最基本的置換矩陣，通過單? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 位矩陣(使用行變換或列變換)找置換矩陣更容易。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所有n階置換矩陣P(用來完成行互換的矩陣)的個數共有n!種(即n階單位矩陣各行重? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?新排列后所有可能的數目),其中,階只對方陣定義，n階即為n*n。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如3*3的置換矩陣P共有6種(表示由單位矩陣交換和得到的置換矩陣),

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????????

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?將它們兩兩相乘,其結果仍在它們之中產生,即重復進行行互換,結果仍然是行互換? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如果取其逆，只用將行換回去即可，即其逆也在它們之中。

? ? ? ? ? ? ? ? ? 性質：所有置換矩陣均可逆(各行還原后得到單位矩陣)? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (較少見)? ? ? ??(不止P有這種性質)??

? ? ? ? ? ? ? ? ? 轉置??? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即

? ? ? ? ? ? ? ? ? 對稱矩陣：矩陣轉置后沒有改變，即(較常見)??

? ? ? ? ? ? ? ? ? 所有的都是對稱矩陣

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [驗證對稱性的不二法門：取個轉置，看是否不變 （即?) ]

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??對稱矩陣，證畢

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 轉置乘法法則：轉置后，改變乘法順序（該性質與逆的乘法法則一樣）?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,也可寫作，即繞對角線互換一次，再互換一次，最終還是R本身，即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [或]? ??

第一，二兩章（完）

總結

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