线性代数 1
第一課 方程組的幾何解釋
置換矩陣[一個(gè)m*n(m<=n)的(0,1)矩陣P為置換矩陣的充要條件是P的每一行恰有一個(gè)1，每一列恰有一個(gè)1，其余系數(shù)均為0]
[注意區(qū)別置換矩陣和轉(zhuǎn)置矩陣，兩者關(guān)系：置換矩陣的逆等于其轉(zhuǎn)置，即=]
{置換矩陣是單位矩陣的延伸版，是單位矩陣進(jìn)行初等變換(行交換和列交換)后得到的矩陣,其必然為正交矩陣[若A=E或A=E,則稱(chēng)n階實(shí)矩陣為正交矩陣(其中表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，E為單位矩陣)]}
[通過(guò)單位矩陣(使用行變換或列變換)找置換矩陣更容易]? ? ??
一.“左行右列”
? 1。交換,(行交換~左乘）
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ?P(置換矩陣）P中[0 1]表示0個(gè),1個(gè),即得到[c d]
? ?2。交換,(列交換~右乘)
? ? ? ?????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P(置換矩陣）P中[0 1]表示0個(gè),1個(gè)，即得到[b d]
第二課 矩陣消元
二.關(guān)于運(yùn)算
? ?1。消元(消元，為了正確認(rèn)識(shí)矩陣的概念）? ?
? ?? （每個(gè)臺(tái)階的第一個(gè)元素稱(chēng)為主元)?
? ? ? ? [0不能做主元，若0占據(jù)主元位置，0下面有非0元素，則可進(jìn)行行交換(暫時(shí)性失效)]
? ?2。a.結(jié)合律成立(即括號(hào)可以移動(dòng))，交換律不成立(即乘法順序不能改變),因而除非兩者可以交換，否則不滿(mǎn)足完全平方公式和平方差公式
? ? ? ? ? ?b.減多少就加多少回來(lái)
? ?3。矩陣內(nèi)部元素表示含義
??
? ? ? ? ? ? ? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?I(單位陣,也可用E表示,并無(wú)差別)
中表示A的各乘以1分別得到I中的，中表示A的3+得到I中的
第三課? 乘法和逆矩陣
三.矩陣乘法(矩陣相乘不一定要是方陣，若是方陣，則大小必須相同；若不是方陣，則大小不同，但須滿(mǎn)足特定格式：?)
? ? ? AB=C
? ? 1。常規(guī)方法(求和公式）? ? ? ? ? ? ?
? ? ?2。列方法(將B看作p個(gè)單獨(dú)的列向量，C中各列是A中各列的線性組合~A*向量，B中的元素相當(dāng)于表明這是怎樣的線性組合）
? ? ? 3。行方法(與列方法相似，注意左行右列即可）
? ? ? ?4。列*行
? ? ? ? ? ? ? (行空間即行所有可能的線性組合）
? ? ? ? 5。分塊矩陣(分塊乘法法則）
四.逆
? ? ? ? ? ? ? (對(duì)于方陣而言，只要A有逆，左逆右逆都可以 ;
左逆? ? ?單位陣? ? 右逆? ? ? ? ? ? ?而非方陣因?yàn)樾螤畈煌瑹o(wú)法相乘，左逆并不等于右逆)
? ? ? ? ? 1。奇異矩陣(沒(méi)有逆)
? ? ? ? ? ? ? ? 判定方法：a.行列式（常用)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??b.假設(shè)AB=C，C中各列為A中相應(yīng)列的倍數(shù)，
? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A中兩列共線(向量角度)，所有的線性組合均在此條直線(1,3)上
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?而(1，0）不在其上，則?不可能是A這些列的線性組合
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C不是單位陣，A是奇異矩陣
? ? ? ? ? ? ? ? ?非零向量X，使得AX=0，這樣的矩陣A沒(méi)有逆
? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??(如果其中一列對(duì)線性組合毫無(wú)貢獻(xiàn)，矩陣? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3個(gè)加上-1個(gè)? ? ? ? ? ? ? ? ? ???不可能有逆)
? ? ? ? ? ? ? ? ?假設(shè),又,?? ?假設(shè)不成立
? ? ? ? ? ? ? ? ?結(jié)論：不可逆(奇異)矩陣其列能通過(guò)線性組合(非零向量X)得到0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (若左乘其逆，則X=0,所以不成立)
? ? ? ? ? ?2。非奇異矩陣(可逆)
? ? ? ? ? ? ? ? 1.判定方法：a.行列式
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??b.各列的方向不同，組合能得到任何向量
? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?I? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(求逆~解2個(gè)方程組)
? ? ? ? ??? ? ?2.求逆方法
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a.高斯-若爾當(dāng)消元法[即初等變換(利用增廣矩陣能同時(shí)處理兩個(gè)方程組)]
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (求逆~求解方程組）
? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? 即? ?? (消元矩陣E：消元法的矩陣形式)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b.?待定系數(shù)求解方程? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?設(shè)??? ?用中的系數(shù)表示 I（單位矩陣)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c.利用伴隨矩陣求解
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 公式：? ??? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [方陣(即 行數(shù)=列數(shù))可逆的充分必要條件是,當(dāng)A可逆時(shí),???? ?]?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? d.特殊?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?二階矩陣[特殊口訣得到伴隨矩陣(主對(duì)角線交換，副對(duì)角線變號(hào))，根據(jù)方法c求解]
第四課 A的LU分解?
A=LU? ?
(總的消元公式，最基礎(chǔ)的矩陣分解）
? ? ? ? ? ? 1。消元矩陣的乘法(相關(guān)見(jiàn)第二課）
? ? ? ? ? ? ? ? ??? [括號(hào)可以移動(dòng)，即結(jié)合律(相關(guān)見(jiàn)第一課)]
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? (放另一側(cè)檢驗(yàn))? ? ?
? ? ? ? ? ? 2。轉(zhuǎn)置(相關(guān)見(jiàn)第一課)
? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(類(lèi)比記憶:1,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)? 2,先脫鞋子，再脫襪子，其逆動(dòng)作是先穿襪子，再穿鞋子)
? ? ? ? ? ? 3。可逆矩陣A經(jīng)過(guò)行變換得到U
? ? ? ? ? ? ? ? ? 1，假設(shè)主元上沒(méi)有0，不需要行交換?
? ? ? ? ? ? ? ? ? a.二階矩陣(階只對(duì)方陣定義)?
? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 即? ?? (消元矩陣?:把位置上的數(shù)消成0)
? ? ? ? ? ? ? ? ??即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中，? ? ? [的逆(即?)的求解方法詳見(jiàn)第三課]
? ? ? ? ? ? ?? ? L:lower 下三角? ? ?U:upper 上三角? ? (對(duì)角線均為1)? ? ? ? ? ?D:diagonal 對(duì)角矩陣
? ? ? ? ? ? ? ? ? b.三階矩陣
? ? ? ? ? ? ? ? ????
? ? ? ? ? ? ? ? ?(乘積的逆，只需要分別求逆，然后反順序相乘即可）? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?? 即?? ? ? ? ? 則? ?EA=U
? ? ? ? ? ? ? ? ?(A中處的位置為0，沒(méi)有)
? ? ? ? ? ? ? ? ?[上三角矩陣與上三角矩陣的乘積都是上三角矩陣(即對(duì)角線的數(shù)保持不變)]
? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?即? ?則A=LU
? ? ? ? ? ? ? (把EA=U轉(zhuǎn)換成A=LU,這樣2和5不會(huì)沖突得到10,消元乘數(shù)還在L里，則L不用運(yùn)算，只? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 需要寫(xiě)出所有消元乘數(shù)，簡(jiǎn)便了運(yùn)算)
? ? ? ? ? ? ? [如果不存在行互換，消元乘數(shù)(即消元步驟中需要乘以并減去的那個(gè)倍數(shù)),可直接寫(xiě)入L中]
? ? ? ? ?? ?關(guān)于(以矩陣形式進(jìn)行)消元:比如進(jìn)行消元步驟，只要步驟正確，可在得到LU的過(guò)程中把? ? ? ? ? ? ? ? ? A拋開(kāi)，A的信息都包含于LU中，當(dāng)完成A的消元，只需要記住得到的U和由消元所? ? ? ? ? ? ? ? ? 用乘數(shù)構(gòu)成的L，A可以不管了。
第五課 轉(zhuǎn)置 — 置換 — 向量空間R
? ? ? ? ? ? ? ? 2，如果主元上有0，允許行互換(置換矩陣可以用來(lái)進(jìn)行行互換)? ——? ?轉(zhuǎn)置與置換
? ? ? ? ? ? ? ? ? 置換矩陣：一個(gè)m*n(m<=n)的(0,1)矩陣P為置換矩陣的充要條件是P的每一行恰有一? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?個(gè)1，每一列也恰有一個(gè)1，其余系數(shù)均為0。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?置換矩陣是單位矩陣的延伸版，是單位矩陣進(jìn)行初等變換(行交換和列交換)后得到? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的矩陣(即行重新排列了的單位矩陣),其必然為正交矩陣[若A=E或A=E,則稱(chēng)n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?階實(shí)矩陣為正交矩陣(其中表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，E為單位矩陣)]。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??單位矩陣是不做任何變換(即毫無(wú)作為)的置換矩陣，是最基本的置換矩陣，通過(guò)單? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 位矩陣(使用行變換或列變換)找置換矩陣更容易。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所有n階置換矩陣P(用來(lái)完成行互換的矩陣)的個(gè)數(shù)共有n!種(即n階單位矩陣各行重? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?新排列后所有可能的數(shù)目),其中,階只對(duì)方陣定義，n階即為n*n。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如3*3的置換矩陣P共有6種(表示由單位矩陣交換和得到的置換矩陣),
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?將它們兩兩相乘,其結(jié)果仍在它們之中產(chǎn)生,即重復(fù)進(jìn)行行互換,結(jié)果仍然是行互換? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如果取其逆，只用將行換回去即可，即其逆也在它們之中。
? ? ? ? ? ? ? ? ? 性質(zhì)：所有置換矩陣均可逆(各行還原后得到單位矩陣)? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (較少見(jiàn))? ? ? ??(不止P有這種性質(zhì))??
? ? ? ? ? ? ? ? ? 轉(zhuǎn)置??? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即
? ? ? ? ? ? ? ? ? 對(duì)稱(chēng)矩陣：矩陣轉(zhuǎn)置后沒(méi)有改變，即(較常見(jiàn))??
? ? ? ? ? ? ? ? ? 所有的都是對(duì)稱(chēng)矩陣
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [驗(yàn)證對(duì)稱(chēng)性的不二法門(mén)：取個(gè)轉(zhuǎn)置，看是否不變 （即?) ]
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??對(duì)稱(chēng)矩陣，證畢
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 轉(zhuǎn)置乘法法則：轉(zhuǎn)置后，改變乘法順序（該性質(zhì)與逆的乘法法則一樣）?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,也可寫(xiě)作，即繞對(duì)角線互換一次，再互換一次，最終還是R本身，即
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [或]? ??
第一，二兩章（完）
總結(jié)
- 上一篇： 微信小程序图书馆座位预约管理系统
- 下一篇： python建站 wordpress_小