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一維 Riemann 問題數值解與計算程序

一維 Riemann問題，即激波管問題，是一個典型的一維可壓縮無黏氣體動力

學問題，并有解析解。對它采用二階精度MacCormack兩步差分格式進行數值求

解。同時，為了初學者入門和練習方便

,這里給出了用

C

語言和

編寫的

Fortran77

計算一維 Riemann問題的計算程序，供大家學習參考。

A-1 利用 MacCormack兩步差分格式求解一維Riemann問題

1.一維 Riemann問題

一維 Riemann問題實際上就是激波管問題。激波管是一根兩端封閉、內部充

滿氣體的直管，如圖A.1 所示。在直

管中由一薄膜將激波管隔開， 在薄膜兩

側充有均勻理想氣體(可以是同一種氣

體，也可以是不同種氣體) ，薄膜兩側

氣體的壓力、密度不同。當t0 時，

氣體處于靜止狀態。當t0 時，薄膜

圖 A.1 激波管問題示意圖

瞬時突然破裂， 氣體從高壓端沖向低壓端，同時在管內形成激波、 稀疏波和接觸

間斷等復雜波系。

2.基本方程組、初始條件和邊界條件

設氣體是理想氣體。一維Riemann問題在數學上可以用一維可壓縮無黏氣體

Euler方程組來描述。在直角坐標系下量綱為一的一維Euler方程組為：

u

f

1

x 1

(A.1)

t

0,

x

u

其中

u

u

, f

u 2

p

(A.2)

E

(E

p)u

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這里、 u 、 p 、 E 分別是流體的密度、速度、壓力和單位體積總能。理想氣體

狀態方程：

p

1

e

1 E

1

u2

v2

(A.3)

2

初始條件： 1

1, u1

0, p1

1 ； 2

0.125, u2

0, p2

0.1。

邊界條件： x

1 和 x

1 處為自由輸出條件，

u0 u1 , uN

uN 1 。

3.二階精度 MacCormack差分格式

兩步差分格式：

MacCormack

n

1

unj

r f jn

f jn 1

u j

2

11 unj

n

1

1

n

1

(A.4)

u nj

n

u j

2

1 r f j 1 2

f j

2

2

2

t

。

計算實踐表明，

兩步差分格式不能抑制激波附近非物

x

理振蕩。因此在計算激波時，必須采用人工黏性濾波方法：

un

un

1

un

2u n

un

(A.5)

i , j

i , j

2

i 1, j

i, j

i 1, j

為了在激波附近人工黏性起作用，而在光滑區域人工黏性為零， 需要引入一個與

密度(或者壓力)相關的開關函數：

i

1

i

i

i

1

(A.6)

i

1

i

i

i

1

由式 (A.6) 可以看出，在光滑區域，密度變化很緩，因此值也很小；而在激波

附近密度變化很陡，值就很大。帶有開關函數的前置人工黏性濾波方法為：

uin, j

uin, j

1

uin

1, j 2uin, j uin 1, j

(A.7)

2

其中參數往往需要通過實際試算來確定，也可采用線性近似方法得到：

t | a | 1

t | a |

(A.8)

x

x

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由于聲速不會超過3 ，所以取 | a | 3 ，在本計算中取0.25 。

4.計算結果分析

計算分別采用標準的C 語言和 Fortran77語言編寫程序。計算中網格數取

1000 ，計算總時間為 T0.4。計算得到在 T0.4 時刻的密度、速度和壓力分布

如圖 A.2 ( C 語言計算結果)和圖A.3 ( Fortran77語言計算結果)所示。采用兩

種不同語言編寫程序所得到的計算結果完全吻合。

從圖 A.2 和圖 A.3 中可以發現，MacCormack兩步差分格式能很好地捕捉激波，

計算得到的激波面很陡、 很窄，計算激波精度是很高的。 采用帶開關函數的前置

人工濾波法能消除激波附近的非物理振蕩，計算效果很好。

從圖 A.2 和圖 A.3 中可以看出通過激波后氣體的密度、壓力和速度都是增加

的；在壓力分布中存在第二個臺階，表明在這里存在一個接觸間斷，在接觸間斷

兩側壓力是有間斷的， 而密度和速度是相等的。 這個計算結果正確地反映了一維

Riemann問題的物理特性，并被激波管實驗所驗證。

圖 A.2

采 用

C

語言程序得到的一維

圖 A.3

采用

Fortran77

語言程序得到的一維

Riemann問題密度、速度和壓力分布Riemann問題密度、速度和壓力分布

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A-2一維 Riemann問題數值計算源程序

C 語言源程序

// MacCormack1D.cpp :定義控制臺應用程序的入口點。

//

/*--------------------------------

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一维黎曼c语言,一维黎曼问题数值解及计算程序.docx的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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