目錄

• • • 1. 等概率輸出0和1
    • • 1.1 題目描述
      • 1.2 解題思路 & 代碼
    • 2. 以 1/N 的概率返回 1~N 之間的數
    • 3. 給定函數rand5() 構造rand7() 或 rand7()構造rand10()
    • • 3.1 rand5() 構造rand7()
      • 3.2 【LeetCode】470. rand7() 構造rand10()
      • 變形 3.1 random3() 構造 random5()
      • 變形 3.2
      • 變形 3.3
      • 變形 3.4
    • 4. 返回 (0, 1) 之間的均勻分布（字節跳動面試題）
    • 參考：

這一題在我面試中遇到兩次（均為2020年7月份），新浪的比較簡單，字節的做了變形，具體看后面詳細分析。

1. 等概率輸出0和1

1.1 題目描述

有一個隨機數發生器，以概率 P 產生0，概率 (1-P) 產生 1，請問能否利用這個隨機數發生器，構造出新的發生器，以 1/2 的概率產生 0 和 1 。請寫明結論及推理過程。（ 注意：這里的 p 相當于是未知的，后文會提到已知 p 的類型，解題思路是不同的 ）

變形：
知隨機數生成函數f()，返回0的概率是60%，返回1的概率是40%。根據f()求隨機數函數g()，使返回0和1的概率是50%，不能用已有的隨機生成庫函數。

注意：
這里的變形毫無區別，看后續分析即可知道，核心問題都是

$$P(0,1)=(p)?(1?p)=P(1,0)=(1?p)?p$$

所以讓 01 的情況來模擬 0， 讓 10 的情況來模擬 1 即可，代碼一模一樣

1.2 解題思路 & 代碼

題目解答：

兩次調用該 RANDOM 函數，如果其概率為 P(x)，調用2次

P(1) = p
P(0) = 1-p

P’(1) =p
P’(0) = 1-p

概率如下：

$P(1,1)=p?p$
$P(1,0)=p?(1?p)$
$P(0,1)=(1?p)?p$
$P(0,0)=(1?p)?(1?p)$

很明顯，這四種情況中出現 (0,1) 和 (1,0) 的概率相等，那么把 (0,1) 看成是 0 , (1,0) 看成是 1 ，那么他們輸出的概率均為 p (1 - p)，其他的情況舍棄并重新調用。這樣就得到了 0 和 1 均等生成的隨機器了。

這種解法可以推廣到n個數的情況，我們知道，取n個隨機數發生器，存在n個概率相同的獨立事件，我們只使用這n個事件就得到1/n的概率了。例如 n=3 ,有 8 中情況000,001,010,011,100,101,110,111，其中001,010,100的概率都是 $p^2?(1?p)$。

Python

import random class Solution:def random_index(self):# """隨機變量的概率函數"""# 參數rate為list<int># 返回概率事件的下標索引# 這是一個10%概率產生0，90%概率產生1的生成器rate = [1, 9]start = 0index = 0randnum = random.randint(1, sum(rate))for index, scope in enumerate(rate):start += scopeif randnum <= start:breakreturn indexdef Rand1(self):# 第一題：可以用原發生器周期性地產生2個數，直到生成01或者10。i1 = self.random_index()i2 = self.random_index()if i1 == 0 and i2 == 1:return 1elif i1 == 1 and i2 ==0:return 0else:return self.Rand1()if __name__ == '__main__':solution = Solution()rand1 = []for i in range(20):rand1.append(solution.Rand1())print(rand1)rand2 = []for i in range(20):rand2.append(solution.Rand2(100))print(rand2)

C++

int random_0_1() {int i = RANDOM();int j = RANDOM();int result;while (true){if (i == 0 && j == 1){result = 0;break;}else if (i == 1 && j == 0){result = 1;break;}elsecontinue;}return result; }

這里，等概率輸出 0 和 1 的期望調用次數 K
$$K=\frac{2}{2p(1?p)}=\frac{1}{p(1?p)}$$

可以看出，當 p 很大或者很小的時候，這個期望值會很大，也就是調用次數會很多，只有當 p 趨近于 0.5， 調用次數最少，所以這種方法的期望調用次數的時間復雜度是比較高的！

2. 以 1/N 的概率返回 1~N 之間的數

用 位運算，因為 i 個二進制位隨機的選擇 0 或 1，可以隨機的構成 0~$2^i$ 的數，而這些數構成了所有的組合數。因此是等概率出現的。比如：2位二進制位，這兩位可以隨機為0或1而互不影響，隨機的構成了00, 01, 10, 11，它們代表了四個數，且這四個數是等概率的。

可以通過已知隨機函數 rand() 產生等概率產生 0 和 1 的新隨機函數 Rand1()，然后調用 k（k為整數n的二進制表示的位數）次 Rand1() 函數，得到一個長度為 k 的 0 和 1 序列，以此序列所形成的整數即為 1–n 之間的數字。

注意：從產生序列得到的整數有可能大于 n ，如果大于 n 的話，則重新產生直至得到的整數不大于n。

算法：

第一步：由rand()（在下面的程序中是 random_index（））函數產生Rand1()函數，Rand1()函數等概率產生0和1。

第二步：計算整數 n 的二進制表示所擁有的位數 k，$k=1+lo{g}_{2}n$

第三步：調用ｋ次 Rand1() 產生隨機數。

代碼中 Rand2（）和 Rand3（）是兩種寫法

import random class Solution:def random_index(self):# """隨機變量的概率函數"""# 參數rate為list<int># 返回概率事件的下標索引# 這是一個10%概率產生0，90%概率產生1的生成器rate = [1, 9]start = 0index = 0randnum = random.randint(1, sum(rate))for index, scope in enumerate(rate):start += scopeif randnum <= start:breakreturn indexdef Rand1(self):# 1. 等概率生成 0，1i1 = self.random_index()i2 = self.random_index()if i1 == 0 and i2 == 1:return 1elif i1 == 1 and i2 == 0:return 0else:return self.Rand1()return -1def Rand2(self, n: int):# 2. 以 1/N 的概率返回 1~N 之間的數# int(res, 2) 表示把 str 類型的二進制轉成十進制 int('101',2) == 5k = len(bin(n)[2:]) # k = 1 + np.log2(n)print("k:", k) # 10res = ''for i in range(k):res += str(self.Rand1())if int(res, 2) > n:return self.Rand2(n)else:return int(res, 2)def Rand3(self, n: int):# 3. 以 1/N 的概率返回 1~N 之間的數# (1<<i) 表示 1 * 2^iimport numpy as npresult = 0k = 1 + np.log2(n)print("k:", int(k)) # 10for i in range(0, int(k)):if self.Rand1() == 1:result |= (1<<i)if result > n:return self.Rand3(n)return resultif __name__ == '__main__':solution = Solution()rand1 = []for i in range(20):rand1.append(solution.Rand1())print(rand1)rand2 = []for i in range(10):rand2.append(solution.Rand2(999))print(rand2)rand3 = []for i in range(10):rand3.append(solution.Rand3(999))print(rand3)

3. 給定函數rand5() 構造rand7() 或 rand7()構造rand10()

3.1 rand5() 構造rand7()

給定一個函數rand5()，該函數可以隨機生成1-5的整數，且生成概率一樣。現要求使用該函數構造函數rand7()，使函數rand7()可以隨機等概率的生成1-7的整數。

思路：
很多人的第一反應是利用 rand5() + rand()%3 來實現 rand7() 函數，這個方法確實可以產生1-7之間的隨機數，但是仔細想想可以發現數字生成的概率是不相等的。rand()%3 產生 0 的概率是 1/5 ，而產生 1 和 2 的概率都是 2/5 ，所以這個方法產生 6 和 7 的概率大于產生 5 的概率。

分析：
要保證rand7()在整數1-7的均勻分布，可以構造一個 1-7*n 的均勻分布的隨機整數區間（n為任何正整數）。假設x是這個1-7*n 區間上的一個隨機整數，那么x%7+1就是均勻分布在1-7區間上的整數。由于(rand5()-1)*5+rand5()可以構造出均勻分布在1-25的隨機數（原因見下面的說明），可以將 22～25 這樣的隨機數剔除掉，得到的數1-21仍然是均勻分布在1-21的，這是因為每個數都可以看成一個獨立事件。

正確的方法是利用rand5()函數生成1-25之間的數字，然后將其中的 1~21 (1~7 * n，其中 n 為任意整數，這里取了 n = 3，即 1 ~ 3*7 ) 映射成1-7，丟棄 22-25 。例如生成 (1，1)，(1，2)，(1，3)，則看成 rand7() 中的 1 ，如果出現剩下的4種，則丟棄重新生成。

(如果是rand7 ( ) 構造rand10 ( ) ,則下面的代碼循環條件變成 while ( x > 40)，因為 1 ~ 7 *7 之間滿足 $10?n$ 且最大的數是 10 * 4 == 40)

解釋：

首先 rand5()-1 得到一個離散整數集合{0，1，2，3，4}，其中每個整數的出現概率都是1/5。那么 $(rand5()?1)?5$ 得到一個離散整數集合 A = {0，5，10，15，20}，其中每個整數的出現概率也都是1/5。而 $rand5()$ 得到的集合B={1，2，3，4，5}中每個整數出現的概率也是1/5。顯然集合A和B中任何兩個元素相加可以與1- 25 之間的一個整數 一 一 對應，也就是說1-25之間的任何一個數，可以唯一確定 A 和 B 中兩個元素的一種組合方式，反過來也成立。由于 A 和 B 中元素可以看成是獨立事件，根據獨立事件的概率公式 $P(AB)=P(A)P(B)$，得到每個組合的概率是$1/5?1/5=1/25$。因此$(rand5()?1)?5+rand5()$生成的整數均勻分布在$1?25$之間，每個數的概率都是$1/25$。

C++

int rand7() {int x = 0;do{x = 5 * (rand5() - 1) + rand5();}while(x > 21);return 1 + x % 7; }

注：為什么用 while(x>20)而不用while(x>7）呢？原因是如果用while(x>7）則有20/25的概率需要循環 while，很有可能死循環了。

這種思想是基于，rand()產生[0,N-1]，把rand()視為N進制的一位數產生器，那么可以使用 rand()*N+rand() 來產生 2 位的 N 進制數，以此類推，可以產生3位，4位，5位…的N進制數。這種按構造N進制數的方式生成的隨機數，必定能保證隨機，而相反，借助其他方式來使用rand()產生隨機數(如 rand5() + rand()%3 )都是不能保證概率平均的。

此題中N為5，因此可以使用rand5()*5+rand5()來產生2位的5進制數，范圍就是1到25。再去掉22-25，剩余的除3，以此作為rand7()的產生器。

3.2 【LeetCode】470. rand7() 構造rand10()

法一、

Java

public int rand10() {// 首先得到一個數int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();// 只要它還大于40，那你就給我不斷生成吧while (num > 40)num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();// 返回結果，+1是為了解決 40%10為0的情況return 1 + num % 10; }

復雜度分析

時間復雜度：期望時間復雜度為 O(1)，但最壞情況下會達到 O(∞)（一直被拒絕）。

空間復雜度：O(1)。

期望調用次數

這里先 int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7(); 和上面的 do...while... 是一樣的

但是這時候我們舍棄了 9 個數，舍棄的還是有點多，效率還是不高，怎么提高效率呢？那就是舍棄的數最好再少一點

法二、（更快，因為拒絕的更少）
Java

/*** The rand7() API is already defined in the parent class SolBase.* public int rand7();* @return a random integer in the range 1 to 7*/ class Solution extends SolBase {public int rand10() {while (true){int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();// 如果在40以內，那就直接返回if(num <= 40) return 1 + num % 10;// 說明剛才生成的在41-49之間，利用隨機數再操作一遍num = (num - 40 - 1) * 7 + rand7();if(num <= 60) return 1 + num % 10;// 說明剛才生成的在61-63之間，利用隨機數再操作一遍num = (num - 60 - 1) * 7 + rand7();if(num <= 20) return 1 + num % 10;}} }

這樣我們可以得到 1?21 之間的隨機數，只要舍棄 1 個即可

復雜度分析

時間復雜度：期望時間復雜度為 O(1)，但最壞情況下會達到 O(∞)（一直被拒絕）。

空間復雜度：O(1)。

期望調用次數
使用類似的期望計算方法，我們可以得到調用 Rand7 的期望次數約為 2.2123。

參考：leetCode 470 題解

變形 3.1 random3() 構造 random5()

已知random3()這個隨機數產生器生成[1, 3]范圍的隨機數，請用random3()構造random5()函數，生成[1, 5]的隨機數？

如何從[1-3]范圍的數構造更大范圍的數呢？同時滿足這個更大范圍的數出現概率是相同的，可以想到的運算包括兩種：加法和乘法

考慮下面的表達式：

$3?(random3()–1)+random3()$

可以計算得到上述表達式的范圍是[1, 9] 而且數的出現概率是相同的，即1/9
下面考慮如何從[1, 9]范圍的數生成[1, 5]的數呢？
可以想到的方法就是 rejection sampling 方法，即生成[1, 9]的隨機數，如果數的范圍不在[1, 5]內，則重新取樣

int random5() {int val = 0;do{val = 3 * (random3() - 1) + random3();}while(val > 5);return val; }

變形 3.2

給定一個函數rand()能產生0到n-1之間的等概率隨機數，問如何產生0到m-1之間等概率的隨機數？

int random(int m , int n) {int k = rand();int max = n-1;while(k < m){k = k*n + rand();max = max*n + n-1;}return k/(max/n); }

變形 3.3

將這個問題進一步抽象，已知 random_m() 隨機數生成器的范圍是 [1, m] 求random_n() 生成 [1, n] 范圍的函數，m < n && n <= m *m

其中 t 為 n 的最大倍數，且滿足 t< m*m
如：

rand3() 生成rand5() ，$t=5?i，t<3?3，\therefore t=5?1=5$

rand5() 生成rand7() ，$t=7?i，t<5?5，\therefore t=7?3=21$

rand7() 生成rand10() ，$t=10?i，t<7?7，\therefore t=10?4=40$

int random_n() {int val = 0;int t; # t為n的最大倍數，且滿足t<m*mdo{val = m * (random_m() - 1) + random_m();}while(val > t);return val; }

變形 3.4

如何產生如下概率的隨機數？0出1次，1出現2次，2出現3次，n-1出現n次？

int random(int size) {while(true){int m = rand(size);int n = rand(size);if(m + n < size)return m+n;} }

4. 返回 (0, 1) 之間的均勻分布（字節跳動面試題）

題目描述：

有一個函數 weak_random() 能以 p 概率返回 0 ， 以 1-p 概率返回 1 , 且 p 已知 ， 使用weak_random 實現float_random（）返回(0,1)之間的浮點數 要求均勻分布 精度為 1e-8

先回顧一下均勻分布：
均勻分布的概率密度函數為：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b?a},& \text{a?<?x?<?b}\\ 0,& \text{else}\end{array}$$

可以理解為落在 (a, b) 區間內都是等概率的，概率均為 $\frac{1}{b?a}$

解題思路：

可以理解為把前者映射到后者： (0,1) -> (T - 5e-9, T+5e-9 )

前文提到的第一種最簡單的類型，即等概率輸出 0 和 1 的期望調用次數
$$K=\frac{2}{2p(1?p)}=\frac{1}{p(1?p)}$$
可以看出，當 p 很大或者很小的時候，這個期望值會很大，也就是調用次數會很多，只有當 p 趨近于 0.5， 調用次數最少，所以這種方法的期望調用次數的時間復雜度是比較高的！

這一題，返回 (0,1)之間均勻分布的調用次數 K 的下限：
$$K>\frac{?log(e^{?8})}{?plogp?(1?p)log(1?p)}$$

這是面試官提示的，一看到帶有 log，就想到用分治法。

可以這樣求解：

因為這里的條件給了 p 是已知的，所以把一條長度為 1 的線段，左邊劃分長度 p， 右邊劃分長度 (1-p)；

再把左邊的 p 劃分成兩段，占比分別為 p 和 (1-p)

同樣再把右邊的 （1-p） 劃分成兩段，占比分別為 p 和 (1-p)

依次遞歸到滿足精度 $e^{?8}$ 為止

參考：

01發生器產生均勻分布

等概率隨機函數的實現

隨機數范圍擴展方法總結

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率p输出1，概率1-p输出0，等概率输出0和1 【LeetCode】470. rand7()构造rand10() 系列变形（新浪、字节面试题）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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