標(biāo)準(zhǔn)霍夫變換

• 1. 霍夫變換簡(jiǎn)介
• 2. 霍夫線變換
• • 2.1. 檢測(cè)圖片的條件
  • 2.2. 直線的表示
  • 2.3. 所有通過(guò)點(diǎn)的直線
  • 2.4. θ - r 相交
  • 2.5. 閾值定義直線
• 3. 霍夫圓變換

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1. 霍夫變換簡(jiǎn)介

• 目的 ：從圖像中分離出具有某種相同特征的幾何形狀

霍夫變換是圖像處理中 從圖像中識(shí)別幾何形狀 的基本方法之一
最基本的霍夫變換是從黑白圖像中檢測(cè)直線
在圖像處理中可以通過(guò)霍夫變換可以快速的檢測(cè)出直線或圓

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2. 霍夫線變換

霍夫線變換是用來(lái)尋找圖片中直線的方法

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2.1. 檢測(cè)圖片的條件

首先要對(duì)圖像進(jìn)行 邊緣檢測(cè) 的處理
也即霍夫線變換的直接輸入只能是 邊緣二值圖像，如下圖：

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2.2. 直線的表示

一條直線在圖像二維空間可由兩個(gè)變量表示，如：

• 在笛卡爾坐標(biāo)系：可由參數(shù) 斜率 k 和 截距 b 表示：y = kx + b
  不過(guò)，由于直線的斜率可能為無(wú)窮大，或者無(wú)窮小
  那么在k-b參數(shù)空間就不便于對(duì)直線進(jìn)行描述和刻畫(huà)
• 在極坐標(biāo)系：可由參數(shù)(r, θ)極徑和極角表示
  
  對(duì)于霍夫變換，將用極坐標(biāo)系來(lái)表示直線
  參考 y=kx + b，直線的表達(dá)式可為：
  
  化簡(jiǎn)結(jié)果：$r$ = xcosθ + ysinθ

一般來(lái)說(shuō)對(duì)于點(diǎn)（x₀, y₀）
可以將通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的一簇直線同一定義為：$r$ = x₀cosθ + y₀sinθ
這就意味著對(duì)于每一對(duì)（r, θ）代表一條通過(guò)點(diǎn)（x₀, y₀）的直線

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2.3. 所有通過(guò)點(diǎn)的直線

如果對(duì)于一個(gè)給定點(diǎn)（x₀, y₀）
在極坐標(biāo)對(duì)極徑極角平面繪出所有通過(guò)它的直線，將得到一條正弦曲線
如對(duì)于給定點(diǎn) x₀ = 8 和 y₀ = 6，可以繪出下圖：

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2.4. θ - r 相交

對(duì)圖像中所有點(diǎn)進(jìn)行上述操作：歷遍 $\theta$，得到 $r$，得到所有通過(guò)點(diǎn)的直線的表達(dá)

如果兩個(gè)不同點(diǎn)經(jīng)過(guò)上述操作后得到的曲線在平面 $\theta ?r$ 相交
就意味著 它們可以在同一條直線上

繼續(xù)對(duì)存在的點(diǎn) x₁=9，y₁=4 和 點(diǎn) x₂=12, y₂=3 歷遍操作，得到下圖：

這三條曲線在 $\theta ?r$ 平面相交于點(diǎn)(0.925, 9.6)
那么參數(shù)對(duì)（θ, r）為點(diǎn)（x₀, y₀），（x₁, y₁）和（x₂, y₂）組成的平面內(nèi)的直線

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2.5. 閾值定義直線

一般來(lái)講，一條能夠通過(guò)在平面 $\theta ?r$ 尋找交于一點(diǎn)的曲線數(shù)量檢測(cè)
越多曲線交于一點(diǎn)也就意味著這個(gè)交點(diǎn)表示的直線由更多的點(diǎn)組成

一般來(lái)說(shuō)可以通過(guò)設(shè)置直線上點(diǎn)的閾值
來(lái)定義多少條曲線交于一點(diǎn)認(rèn)為檢測(cè)到了一條直線

圖像中的每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲線間的交點(diǎn)，如果交于一點(diǎn)的曲線數(shù)量超過(guò)了閾值
那么可以認(rèn)為這個(gè)交點(diǎn)所代表的參數(shù)對(duì)(θ, r_θ)在原圖像中為一條直線

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3. 霍夫圓變換

霍夫圓變換的基本原理和霍夫線變換類(lèi)似
只是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二維極徑極角空間被三維的圓心點(diǎn)x、 y及半徑r空間取代

對(duì)圓來(lái)說(shuō)，需要三個(gè)參數(shù)來(lái)表示一個(gè)圓 C：(X₀, Y₀, $r$)
(X₀, Y₀) 表示圓心的位置，$r$ 表示半徑

現(xiàn)在原邊緣圖像的任意點(diǎn)（x，y）對(duì)應(yīng)的經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)的所有可能圓
圓的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：(x - x₀)² +(y - y₀)² = r²
是在三維空間由上面這三個(gè)參數(shù)來(lái)表示了，對(duì)應(yīng)一條三維空間的曲線

與二維的霍夫線變換同樣的道理
對(duì)于多個(gè)邊緣點(diǎn)越多，這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的三維空間曲線相交于一點(diǎn)
那么經(jīng)過(guò)共同圓的點(diǎn)就越多

類(lèi)似的可以用同樣的閾值的方法來(lái)判斷一個(gè)圓是否被檢測(cè)到
這就是標(biāo)準(zhǔn)霍夫圓變換的原理
但也正是在三維空間計(jì)算量大，標(biāo)準(zhǔn)霍夫圓變化很難被應(yīng)用到實(shí)際中

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謝謝！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的标准霍夫变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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