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金融业信贷风控算法1-初等概率论

發(fā)布時(shí)間：2024/3/26 编程问答 75 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了金融业信贷风控算法1-初等概率论小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

文章目錄

一. 前言
- 1.1 一個(gè)小故事
- 1.2 為什么要學(xué)習(xí)概率論
二. 初等概率論
- 2.1 離散隨機(jī)變量
- - 2.1.1 伯努利分布
  - 2.1.2 二項(xiàng)分布
  - 2.1.3 泊松分布
  - 2.1.4 幾何分布
- 2.2 期望和方差
- - 2.2.1 期望和方差概述
  - 2.2.2 期望與方差的性質(zhì)
  - 2.2.3 幾種常見的離散型隨機(jī)變量的期望和方差
三. 連續(xù)型隨機(jī)變量與分布函數(shù)
- 3.1 連續(xù)型隨機(jī)變量
- 3.2 分布函數(shù)
- - 3.2.1 均勻分布
  - 3.2.2 正態(tài)分布
  - 3.2.3 指數(shù)分布
四. 獨(dú)立變量，條件概率與貝葉斯公式
- 4.1 聯(lián)合分布
- 4.2 邊緣分布
- 4.3 獨(dú)立變量
- 4.4 全概率公式
- 4.5 貝葉斯公式
- 4.6 馬爾科夫矩陣
參考:

一. 前言

1.1 一個(gè)小故事

??盛夏的傍晚，涼風(fēng)習(xí)習(xí)。明朗的月色之下，小明一邊吃著西瓜一邊在手機(jī)上看著《初等概率論》的教學(xué)視頻。聽到曉風(fēng)老師慷慨激昂的聲音，小明不禁露出自信的微笑，心里想著：曉風(fēng)老師講地這么好，這次我一定能把《從零入門金融業(yè)信貸風(fēng)控算法》的知識(shí)學(xué)地很牢靠！未來幾天天氣應(yīng)該不錯(cuò)，白天努力工作，晚上認(rèn)真上課，生活真的很美好，哈哈哈！

從上述這段話里，我們得到兩類不同的信息：

當(dāng)晚天氣不錯(cuò)，有涼風(fēng)、有月色。這是既成的事實(shí)

曉風(fēng)老師講課很好，這也是既成的事實(shí)

未來幾天天氣應(yīng)該不錯(cuò)，這是推測(cè)，有較大的可能性會(huì)發(fā)生，但是不一定會(huì)發(fā)生。

小明能把這次的課程學(xué)好，這也是推測(cè)

1.2 為什么要學(xué)習(xí)概率論

我們身處的世界里，非確定事件是無處不在的。這里的“非確定”由兩種不同的因素造成：

“真隨機(jī)”事件，例如量子力學(xué)中的不確定性原理。這樣的“非確定”是本質(zhì)的、無法改變的。“真隨機(jī)”不隨著人類發(fā)現(xiàn)自然、改造自然的能力的提升而能消除。

“偽隨機(jī)”事件，即事件的發(fā)生與否是能夠通過物理定律推斷出來的，但是推斷過程極其復(fù)雜，超過了人類現(xiàn)有的計(jì)算能力。最典型的例子是天氣預(yù)報(bào)。如果能夠知道所有對(duì)天氣影響的因素（如濕度、溫度、風(fēng)速、經(jīng)度、緯度、海拔等上萬個(gè)因素）那么從流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)方程等模型中，是能夠精確推測(cè)未來的天氣狀況的。

現(xiàn)實(shí)生活中遇到的隨機(jī)事件更多的是由后一種情況造成的。但是并不會(huì)因?yàn)槿祟悷o法精準(zhǔn)推算事件發(fā)生與否而放棄推算，相反，有了概率論這一利器，我們依然能夠掌握充足的規(guī)律來推算事件的發(fā)展。

二. 初等概率論

我們先定義某一個(gè)事件A所處的樣本空間Ω, Ω上事件A發(fā)生的概率P要滿足以下要求

非負(fù)性：𝑃(𝐴)≥0

規(guī)范性：𝑃(Ω)=1

可見性：如果Ω上兩個(gè)事件

𝐴_1, 𝐴_2

是互斥的，那么二者任意發(fā)生一個(gè)的概率

𝑃(𝐴_1∪𝐴_2 )=𝑃(𝐴_1 )+𝑃(𝐴_2)

不嚴(yán)格的情況下，我們用“隨機(jī)變量”定義某事件發(fā)生的結(jié)果

2.1 離散隨機(jī)變量

如果某隨機(jī)變量的取值個(gè)數(shù)是有限的（例如擲骰子的結(jié)果）或者至多可數(shù)的（例如一小時(shí)內(nèi)到達(dá)某窗口排隊(duì)的人群），那么我們稱之為離散型隨機(jī)變量，其取值結(jié)果的概率稱之為概率密度函數(shù)。

幾種常見的離散型隨機(jī)變量:

2.1.1 伯努利分布

單次事件A發(fā)生的概率為P(A)=𝑝，則不發(fā)生的概率為P(~A)=1?𝑝

2.1.2 二項(xiàng)分布

事件A發(fā)生的概率為p，不發(fā)生的概率為1-p。則試驗(yàn)N次的結(jié)果中，事件A發(fā)生n次的概率為：

其中Y表示A發(fā)生的次數(shù)

參數(shù)含義:

P ：事件發(fā)生的概率 Y：事件A發(fā)生的次數(shù)

2.1.3 泊松分布

單位時(shí)間內(nèi)平均發(fā)生違約的人為𝜆, 則觀察到有n個(gè)人發(fā)生違約的概率為：

參數(shù)含義:

𝜆 單位時(shí)間內(nèi)平均發(fā)生違約的人 P 概率 k 發(fā)生違約人為k k! k的階乘 e 自然常數(shù),大約為2.71828……，就是對(duì)數(shù)函數(shù)lnx的底

特別地，t時(shí)間內(nèi)發(fā)生違約的人數(shù)為:

泊松分布是二項(xiàng)分布n很大，p很小的極限形式，也就是說泊松分布可以由二項(xiàng)分布推倒出來
在二項(xiàng)分布Binomial(N,p)中，當(dāng)N很大、p很小時(shí):

泊松分布更通俗的理解:
知乎上大佬泊松分布公式:

最小二乘法:
https://www.zhihu.com/question/37031188

泊松分布通俗的解釋:
https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81114920

2.1.4 幾何分布

在循環(huán)授信產(chǎn)品（如信用卡）中，假設(shè)每一期發(fā)生違約的概率為p，則第一次違約發(fā)生在第k期的事件服從集合分布，概率密度函數(shù)為：

2.2 期望和方差

2.2.1 期望和方差概述

假設(shè)信貸人群的規(guī)模為100人，每人在未來一個(gè)月內(nèi)發(fā)生違約的概率是0.05。二項(xiàng)分布告訴我們，違約人數(shù)為n的概率為:

當(dāng)違約人數(shù)很多時(shí)，這一概率很小；反之，當(dāng)違約人數(shù)比較小時(shí)，這一概率較大。我們用“期望值”來描述人數(shù)可能的規(guī)模：

盡管我們可以用期望值來刻畫違約人群可能的規(guī)模，但是由于有隨機(jī)性的存在，真實(shí)情況下觀察到的違約人群不一定會(huì)精準(zhǔn)地等于期望值。例如，實(shí)際觀察到的違約人群可能是4，也可能是6或者7。因此，我們還需要用另一個(gè)量來刻畫實(shí)際觀察到的人數(shù)與期望值的差：𝑥?𝐸(𝑥)。注意到，同樣也由于隨機(jī)性的存在， 𝑥?𝐸(𝑥)依然是隨機(jī)變量。我們用這個(gè)隨機(jī)變量的平方的期望來進(jìn)行刻畫，稱之為方差：

注意到，E(x)并不是隨機(jī)變量。展開上式，有

2.2.2 期望與方差的性質(zhì)

期望的性質(zhì):
期望不是隨機(jī)變量
可加性：𝐸(𝑋+𝑌)=𝐸(𝑋)+𝐸(𝑌)
倍數(shù)性：𝐸(𝑘𝑋)=𝑘𝐸(𝑋), k為常數(shù)

方差的性質(zhì)：
方差不是隨機(jī)變量
非負(fù)性：𝑣𝑎𝑟(𝑋)≥0
倍數(shù)性：𝑣𝑎𝑟(𝑘𝑋)=𝑘^2 𝑣𝑎𝑟(𝑋), k為常數(shù)

2.2.3 幾種常見的離散型隨機(jī)變量的期望和方差

三. 連續(xù)型隨機(jī)變量與分布函數(shù)

3.1 連續(xù)型隨機(jī)變量

與離散型隨機(jī)變量相對(duì)應(yīng)的是，取值為連續(xù)數(shù)值的連續(xù)型隨機(jī)變量，例如違約人群的欠款金額。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，概率𝑃(𝑋=𝑥)是沒有意義的（永遠(yuǎn)為0），我們需要考察區(qū)間化的概率𝑃(𝑋<𝑥).此時(shí)𝑃(𝑋<𝑥)是一個(gè)與x相關(guān)的函數(shù)。例如，在數(shù)軸上的有限區(qū)間[0,1]中隨機(jī)選取一點(diǎn)X，X小于0.5的概率必然大于X小于0.1的概率。我們用累計(jì)分布函數(shù)F(x)來刻畫𝑃(𝑋<𝑥)。特別地，如果F(x)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)𝑓(𝑥)=(𝑑𝐹(𝑥))/𝑑𝑥稱為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。

𝐹(𝑥)的性質(zhì)：
𝐹(𝑥)關(guān)于x單調(diào)上升(同時(shí)也使得𝑓(𝑥)大于0)

連續(xù)型隨機(jī)變量的期望與方差
我們依然可以用期望與方差來刻畫大樣本下連續(xù)型隨機(jī)變量可能的取值大小以及波動(dòng)

3.2 分布函數(shù)

3.2.1 均勻分布

𝒙~𝑼𝒏𝒊𝒇𝒐𝒓𝒎(𝒂,𝒃)

X落在區(qū)間[a,b]的任何地方的概率都是一樣的。

3.2.2 正態(tài)分布

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最常見的隨機(jī)變量，分布函數(shù)也成為高斯分布

特別地，當(dāng) $Font metrics not found for font: .$ 時(shí)，稱之為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
由于大數(shù)定律和中心極限定理，正態(tài)分布是很多分布的極限分布。同時(shí)，如果一個(gè)量受到很多獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，最終這個(gè)量也會(huì)漸進(jìn)服從正態(tài)分布。
與正態(tài)分布相關(guān)的還有卡方分布、t-分布和F-分布。

3.2.3 指數(shù)分布

指數(shù)分布詳解:
https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/89875865

四. 獨(dú)立變量，條件概率與貝葉斯公式

4.1 聯(lián)合分布

除了單個(gè)隨機(jī)變量可以有分布函數(shù)外，可以有2個(gè)或者多個(gè)隨機(jī)變量擁有聯(lián)合分布函數(shù)。例如，我們關(guān)心信貸違約人群的年齡分布和收入的分布，即𝑃(𝑎𝑔𝑒<𝑎,𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒<𝑏)。聯(lián)合分布函數(shù)用F(X,Y)表示
非負(fù)性：0≤𝐹(𝑋,𝑌)≤1
單調(diào)性: 𝐹(𝑋,𝑌)關(guān)于X和Y單調(diào)上升
收斂性：

4.2 邊緣分布

在隨機(jī)變量的聯(lián)合分布𝑃(𝑋,𝑌)里，如果我們只關(guān)心其中一個(gè)變量X的分布，就得到X的邊緣分布：

4.3 獨(dú)立變量

如果X和Y的聯(lián)合分布等于二者的邊緣分布的乘積，則稱X和Y是獨(dú)立的：
𝑓(𝑋,𝑌)=𝑓(𝑋)𝑓(𝑌)

此時(shí)，X的變化不會(huì)引起Y的變化，反之亦然。

案例：
下圖是X和Y的聯(lián)合分布，例如 P(X=x1,Y=y1)=0.1
從X的邊緣分布P(X)=∑𝑃(𝑋,𝑌) 可得P(X=x1)=0.1+0.2+0.3=0.6
同理可得，P(Y=y1)=0.1+0.1=0.2
由于并不是所有的P(X,Y)=P(X)*P(Y),因此X和Y不獨(dú)立

4.4 全概率公式

假設(shè)如下一個(gè)場(chǎng)景：考慮校園貸中的違約事件與授信人的學(xué)歷的關(guān)系。全部樣本的學(xué)歷為{本科，碩士，博士}。用Y=1表示違約，Y=0表示非違約；用X=1，2，3分別表示學(xué)歷為本科，碩士和博士。由于數(shù)據(jù)的搜集是按照學(xué)歷進(jìn)行整理的，因此看不到全部人群的違約狀態(tài)。但是每個(gè)學(xué)歷都能看到具體的違約狀態(tài)，即P(Y|X)是已知的；學(xué)歷的分布也是已知，即P(X)也是已知的，如何求出全部人群的違約概率P(Y)?

4.5 貝葉斯公式

在上述的案例里，當(dāng)我們得知學(xué)歷的分布以及每個(gè)學(xué)歷對(duì)應(yīng)的違約概率后，就能得到某個(gè)樣本屬于違約的概率。但是對(duì)于逆問題，即得知某樣本屬于違約的時(shí)候，他的學(xué)歷最有可能的是？解決這個(gè)問題，就要引入貝葉斯公式：

貝葉斯公式的思想在概率統(tǒng)計(jì)模型、機(jī)器學(xué)習(xí)模型的很多領(lǐng)域都有應(yīng)用。

貝葉斯公式的詳細(xì)解釋:
https://matongxue.blog.csdn.net/article/details/81113923
https://zhuanlan.zhihu.com/p/78297343

4.6 馬爾科夫矩陣

在信貸業(yè)務(wù)中，對(duì)企業(yè)或個(gè)人進(jìn)行信用評(píng)級(jí)是信貸風(fēng)控工作中的常用手段。假設(shè)評(píng)級(jí)結(jié)果只有A,B和C三種狀態(tài)。當(dāng)前的評(píng)級(jí)結(jié)果為 $𝑅_𝑡$ , 下一階段的評(píng)級(jí)結(jié)果為 $𝑅_{(𝑡+1)}$ . 于是形成一個(gè)3x3的狀態(tài)矩陣，其中第i行第j列的元素表示從當(dāng)前第i個(gè)狀態(tài)變?yōu)橄乱浑A段為第j個(gè)狀態(tài)的概率：

從該矩陣的定義可以看出，每一行的概率值相加等于1。這樣的矩陣稱為馬爾科夫矩陣。

用符號(hào) $𝑀^{(1)}$ 表示經(jīng)過一個(gè)階段后的狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣，即從 $𝑅_𝑡$ 轉(zhuǎn)移到 $𝑅_{(𝑡+1)}$ .的概率。如果考察經(jīng)過2個(gè)階段的轉(zhuǎn)移，即 $𝑅_𝑡→𝑅_{(𝑡+1)}→𝑅_{(𝑡+2)}$ 的轉(zhuǎn)移概率 $𝑀^{(2)}$ ，我們有

可以驗(yàn)證的是， $𝑀^{(2)}$ 也滿足“行相加等于1”的條件，即 $𝑀^{(2)}$ 也屬于馬爾科夫矩陣。
馬爾科夫矩陣的穩(wěn)定性
假設(shè)初始狀態(tài)中，A、B、C三種評(píng)級(jí)的人群個(gè)數(shù)分別為100、200、150，經(jīng)過第1階段的轉(zhuǎn)移后，三種評(píng)級(jí)的人群個(gè)數(shù)分別為130、205、115，經(jīng)過第2階段的轉(zhuǎn)移后，三種評(píng)級(jí)的人群個(gè)數(shù)分別為137、209、104，…,經(jīng)過第9階段的轉(zhuǎn)移后，三種評(píng)級(jí)的人群個(gè)數(shù)分別為139、213、98，經(jīng)過第10階段的轉(zhuǎn)移后，三種評(píng)級(jí)的人群個(gè)數(shù)分別為139、213、98，后面的轉(zhuǎn)移后的人數(shù)保持不變。因此馬爾科夫矩陣具有一個(gè)很獨(dú)特的性質(zhì)：經(jīng)過若干次轉(zhuǎn)移后，三種狀態(tài)的人群分布不再變化。

參考:

http://www.dataguru.cn/mycourse.php?mod=intro&lessonid=1701

http://mindhacks.cn/2008/09/21/the-magical-bayesian-method/

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的金融业信贷风控算法1-初等概率论的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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