霍夫變換

1.What
霍夫變換是一種特征提取手段，用來提取形狀（直線，圓等）邊界[1]。

2.Why
形狀邊界假設(shè)是直線，這條線是很多點組成的一個集合。處理這個集合，比處理一個點要復(fù)雜的多。簡單講，霍夫變換就是想把一條線（邊界）用點來處理，這樣就會更容易提取出邊界。

3.How
前面提到把線換成點來處理，其實是通過空間變換來實現(xiàn)的，變換后的空間就是霍夫空間。
3.1霍夫空間
直角坐標系（x，y）空間中，每條直線y = mx + c可以由兩個參數(shù)確認：
(1)斜率m
(2)Y軸上的截距c
如果將m，c看成是自變量，有c=-xm+y，這個（m，c）空間就是霍夫空間。
3.2霍夫變換
3.2.1概念
對于(x, y)空間上的某個點(x1, y1)有y1?= m*x1?+ c，則c = -x1*m + y1，這也就是霍夫空間上的一條直線。
對于(x, y)空間上的某條直線有y?= m1*x?+ c1，則c1 = -x*m1 + y，這也就是霍夫空間上的一個點(m1, c1)。
總結(jié)：(x, y)空間 -> (m, c)空間,點變成直線，直線變成點。

3.2.2特點
如下圖，左邊(x, y)空間，右邊是(m, c)空間
p1，p2，p3，p4是(x, y)空間上4個點。對應(yīng)(m, c)空間上4條直線l1，l2，l3，l4。l1和l2的焦點的值，(m1, c1)，對應(yīng)的是(x, y)空間上穿過p1和p2點的直線的斜率和截距。同理l3和l4的焦點的值，(m2, c2)對應(yīng)的是(x, y)空間上穿過p3和p4點的直線的斜率和截距。明白這個道理，就已經(jīng)掌握這個變換的整個過程了。

3.2.3檢測直線
檢測(x, y)空間上直線：
(1)在霍夫空間中，統(tǒng)計直線的焦點次數(shù)，比如上圖l1，l2，l3這三條直線的焦點，分別是l1，l2； l2，l3； l1，l3。因此次數(shù)是3。把這種統(tǒng)計焦點的次數(shù)稱為投票。
(2)將統(tǒng)計好的點的次數(shù)，列表，如下

Points	No. of Votes
(m11, c81)	50
(m29, c36)	80
(m30, c70)	60

3個點分別是50，80，60次。這樣就可以設(shè)定一個閾值，如果閾值為55，那么最終得到的點就是(29, 36), (30, 70)對應(yīng)的是(x, y)空間上兩條直線。
(3)準確度
準確度是由每次m和c的值增加的步幅來確定的，比如m和c的步幅為step1 = 1和step2 = 2，那么(m, c)在step1遍歷的點比step2要多，因此準確度更高。
(4)問題
如果(x, y)空間上的直線是一個趨近于豎直的線，這時截距可能就是一個無限大的數(shù)，這個數(shù)要在(m, c)空間上怎么表示呢，在計算機中怎么處理呢？因此這個(m, c)空間不能夠很好的處理這些“特殊”的直線。

3.3極坐標系下的霍夫空間
為解決3.2.3中（4）的問題，我們將霍夫空間換成極坐標表示。(x, y)空間上的直線在極坐標系中表示如下：r = x1cos(Θ)+y1sin(Θ)，r是原點到直線的垂直距離，Θ是“距離”這個線段與x軸的夾角。如下圖[2]

Θ范圍(-90,+90),

r范圍(0,diagonal_length),diagonal_length是原圖對角 線長度。

變換關(guān)系
(x, y)空間上的直線對應(yīng)在(r, Θ)空間仍然是點，但是(x, y)空間上的點對應(yīng)在(r, Θ)空間是正弦曲線。同樣采用“投票”機制，(r, Θ)空間下，兩條正弦曲線相交一個點，就把這個點被相交的次數(shù)+1的。這個交點就是對應(yīng)(x, y)空間上穿過兩條正弦曲線對應(yīng)的點的直線。如下圖

為了記錄這些“投票”結(jié)果，可以用一個二維矩陣作為累加器來實現(xiàn)，(Θ, r)作為矩陣的元素。對于每個(x, y)空間上的點，變換Θ來得到不同的r。把每個
得到的Θ, r的組合在二維矩陣中對應(yīng)位置+1。如下表

Points	No. of Votes
(Θ51, r83)	100
(Θ29, r46)	80
(Θ30, r70)	60

得到三組值，第一組表示(Θ51, r83)對應(yīng)的原圖直線穿過了100個點，因此這條直線得到的投票很高，被提取效果應(yīng)該比較好。
同樣，可以設(shè)定閾值，比如75，那么只提取出第一組和第二組的兩條直線。
準確度控制，可以用Θ的步幅來控制，比如1次增加1度要比一次增加5度提取出來的直線更加準確。

3.4補充
霍夫變換檢測邊緣只對邊緣圖片（經(jīng)過canny或者sobe算子提取特征后的圖片）有效，對一般的圖片無效[3]。

參考文獻
[1] Hough Transform
[2] https://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/hough.htm
[3] https://aishack.in/tutorials/hough-transform-normal/

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的霍夫变换详细解释的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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