? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 未來屬于那些相信夢想，并愿意為之付諸行動的人。

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前言

隨機實驗

樣本空間

隨機事件

頻率與概率

古典概型?

幾何概率?

條件概率?

乘法公式

全概率公式?

貝葉斯公式

獨立性?

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前言

做概率論的筆記和大家一起學習,我是看b站的這個視頻梨米特.感覺講的挺不錯的，大家可以去看看，對照著我做的筆記會事半功倍。

隨機實驗

定義

• 實驗可以在相同條件下重復進行；
• 每次實驗的可能結果都不止一個，并且能事先明確實驗的所有可能結果;
• 進行一次實驗之前不能確定哪一個結果會出現；則稱之為隨機實驗；簡稱試驗E;

例如:拋擲硬幣,觀察正面H(head)，反面T(tail)出現的情況.

樣本空間

定義

樣本空間:隨機試驗所有可能結果組成的集合，記為s或a. (sample space)

樣本點:隨機試驗的每個結果，稱為樣本點,記為e. (element)

樣本空間S是由全體樣本點e構成的集合：s={e};

例題:

E:將-枚硬幣拋擲三次,觀察正面H、反面r出現的情況。

S= {H,HT,HTHTTT,TTTH,THT,THHSE:將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現正面H的次數。

E:在一批燈泡中任意抽取一只,測試它的本空間的概念壽命。

S={t1t30}描述法

E,:記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數。

s={o,13-}={k|K∈N}

總結:求S方法!: 列舉法(有限個);方法2:描述法(無限多)

隨機事件

定義?

隨機事件:樣本空間S的子集稱為E的隨機事件，用A, B等表示，簡稱事件.

事件發生:在每次試驗中，當且僅當隨機事件中的一個樣本點出現，稱此事件發生.

基本事件:由一個樣本點組成的單點集,稱為基本事件.

必然事件:樣本空間S包含所有樣本點，在每次試驗中它總發生，故稱為必然事件.

不可能事件:空集φ不包含任何樣本點,在每次試驗中都不發生，稱為不可能事件.

事件間的關系、事件的運算及運算法則

回顧:隨機事件是一個集合.高中我們就學過集合間的關系與運算。

引入:事件間的關系與事件的運算可按集合論中集合之間的關系和集合運算來處理,并根據“事件發生”的含義,給出它們在概率論中的含義.

事件間的關系和運算

? ? 注:(1)事件組A1,A2,....,An中任意兩個事件互不相容,則稱這些事件為兩兩互斥或兩兩互不相容;

? ? ? ? ? (2)在一次試驗中,基本事件是兩兩互不相容的;

推廣:n個事件A1,,A2,,,An的和事件,積事件:

事件的運算法則

注意:對偶律在平時練習中經常遇到，可以根據這句口訣背下它:"?長線變短線,開口變方向"

? ? ? ? （1)通過事件的運算,可以將一個事件表示成與它相等的形成，便于計算

? ? ? ? ? (2)事件運算順序約定為先進行逆運算,后交運算,最后并或差運算

例題:?

請寫出下列隨機事件.

E;:將- -枚硬幣拋擲三次,觀察正面H、反面T出現的情況.

A1:“第一次出現的是H", A2:“三次出現同一面”.

請寫出:

注:請借助文氏圖考慮事件A-B,AB,B-A之間的關系

?結論:A-B,AB,B-A兩兩互不相容

? ? ? ? ?A=(A-B)UAB

? ? ? ? ?B=(B-A)UAB

? ? ? ? ?AUB={A-B}UABU(B-A)

頻率與概率

引入:希望知道某事件在一-次試驗中發生的可能性究竟有多大?即求其概率。但自從中學以來，我們還沒有給“概率”-個準確的定義.

一、概率的描述性定義

定義:稱隨機事件A發生的可能性大小的度量(非負值)為事件A發生的概率.

二、概率的統計性定義-頻率

1.定義:在相同條件下， 進行了n次試驗,在這n次試驗中，事件A發生的次數n,稱

為事件A發生的頻數,比值稱為事件A發\生的頻率,并記成f,(4).

2.頻率的基本性質:

(1)0≤f(A)≤1;

(2) f,(S)=1;

(3)若A,A,.A,是兩兩互補相容的事件,

則

f(AUAU...UA)= f(A)+ f(A)...+f(4)

注:頻率大小表示A發生的頻繁程度.頻率大，事件A發生就頻繁,這就意味著事件A在- -次試驗中發生的可能性大就大。

三、概率的公理化定義

1.定義:設E是隨機試驗，S是它的樣本空間.對于E的每一個事件 A賦予-個實數,

記為P(A),如果集合函數P()滿足下列條件:

(1)非負性:對每一一個事件A,有P(A)≥0;

(2)規范性:對必然事件S,有P(S)=1;

(3)可列可加性:設A,.,.,,..是兩兩互不相容的事件，即AA=φ, i≠j, i,j=1,2,.,..,有P(AUAU.UA,U.)= P(A)+ P(A)+...+ P(A)+...

2.概率的重要性質

性質1: P(空)=0.

性質2(有限可加性):設A,,,A,是兩兩互不相容的事件，即

AA,=φ, i≠j, i,j=l,2,,n,有P(A1∪A2∪.UAn)= P(A1)+ P(A2)+..+P(An)

性質3(減法公式):設A, B是任意兩個事件,則P(A- B)= P(A)-P(AB).

性質4(單調性):設A,B是兩個事件,若BcA,則P(A- B)=P(A)-P(B), P(A)>=P(B).

性質5(有界性):對任一事件A,有P(A)≤1.

性質6(逆事件概率):對任- -事件A,有P(A)=1-P(A).

性質7(加法公式):對于任意兩個事件A.B,有P(AUB)= P(A)+ P(B)- P(AB).

推廣:P(AUBUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)一P(AB)- P(AC)- P(BC)+ P(ABC)

古典概型?

中學概率知識:

加法原理:設完成一件事有n類方法(只要選擇其中一類方法即可完成這件事) ,若第一

類方法有m1種，第二類方法有m2種，..第n類方法有mn,種,則完成這件事共有N=m1+m2, +..+mn,種方法.

乘法原理:設完成- -件事須有n個步驟(僅當n個步驟都完成，才能完成這件事)，若第

-步有m1種方法,第二步有m2種方法, ...第n步有m,種方法，則完成這件事共有N= m1xm2x...xmn,種方法.

?注:有順序用排列，無順序用組合

定義?

若隨機試驗E滿足:

（1）樣本空間S只含有限個樣本點，S={e1,e2,,,,,en};

? (2)? ?每個基本事件(樣本點)發生的可能性相同;?

? 則稱此隨機試驗的概率模型為等可能概型,也稱為古典概型.

? 古典概型中,事件A={e1,e2,e3,,,,,en, }發生的概率為

? p(A)=k/n=A包含的基本事件數/S中的基本事件總數。

這里沒啥好說的了，就是練題練習:?

幾何概率?

問題:若E滿足:樣本空間S含無限多個樣本點;每個基本事件(樣本點)發生的可能性相同;那么E的概率模型還是等可能概型嗎?相應事件的概率又如何來求?

定義:

若隨機試驗E滿足:

(1 )樣本空間S是R"(n=1,2,3)中一個可度量的幾何區域;

(2)每個樣本點出現的概率相等，即樣本點落入s某- -可度量的子區域A的可能性大小與A的幾何度量成正比，而與A的位置及形狀無關.

則事件A= {樣本點落入區域A}的概率為

P(A)=A的幾何度量(長度，面積，體積)/S的幾何度量(長度,面積，體積)

'注: (1)古典概型:基本事件有限、等可能的隨機試驗;

? ? ? (2)幾何概型:基本事件無限、等可能的隨機試驗.

?例題:

條件概率?

引入:若已知某事件發生,如何求另一事件發生的概率?

定義:

設A,B是兩個事件，且P(A)>0, 稱P(B|A)=P(AB)/P(A)為在事件A發生的條件下事件B發生的條件概率。

注:要注意P(AB)與P(B|A)的區別:

P(AB)是在樣本空間為S時，A, B同時發生的可能性,

P(B|A)則表示在A發生的條件下，B發生的可能性，此時樣本空間已由S縮減為A.

只要在題設條件中有:“已知 A發生”或“在A發生的條件下”等,均要考慮條件概率.

性質:

例題:

乘法公式

回憶:條件概率

定理

設P(A)>0,則有P(AB)= P(A)P(B|A)上式稱為乘法公式。

設P(B)>0,則有P(AB)=P(B)P(A|B)

推廣:

(1)設A,B,C為事件,且P(AB)>0,則有P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB).?

證明:P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

(2)設A,A,,A,為n個事件，n≥2,且P(A1A2...A.n)>0,則有P(A1A2...An)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)-.. P(A, |A1A2--An-1.)

注: (1)注意事件發生先后次序，Ai先于Ai+1發生，可用上式.

(2)主要用來計算沒有相互獨立性的若干事件的積事件的概率.

全概率公式?

引入:在很多實際問題中，P(A)不易直接求得，但卻容易得到一-組事件，它們兩兩互不相容，且和事件為樣本空間，并且知道相關事件概率，則此時就可以求出P(A).即:

?引入:設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1,.,..,Bn?為S的一-個劃分,且P(Bi)>0(i=l,2,,n),那么P(A)=?

定理:設實驗E的樣本空間位S,A為E的事件,B1,B2,,,Bn為S的一個劃分,且P(Bi)>0(i=1,2,,,n)，則P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+.....P(Bn)P(A|Bn)

?

貝葉斯公式

定理:

?注:此公式先是應用條件概率公式,分母為全概率公式,是n項之和,分子是分母中的某一項,貝葉斯公式:由果導因;??

全概率公式:把全概率公式中的A視為"果"，把B1,B2,,,Bn視為"因",則全概率公式反應的是"由因求果"的概率問題.

?例題:

?

獨立性?

回憶:條件概率

?

?定義:

若A,B為兩個事件,如果其中任何一個事件發生的概率不受另一個事件發生與否的影響,則稱事件A與B相互獨立.

? ? ?P(B|A)=P(B);? ?

? ? ?P(A|B)=P(A);

數學定義:

設A,B為兩個事件,如果P(AB)= P(A)P(B),則稱事件A與B相互獨立,簡稱A與B獨立.

獨立性與事件的:包含，相等,相容,對立關系不同;

注: (1)兩事件相互獨立與互不相容的關系.

?若P(A)>0,P(B)>0則A,B獨立與互不相容不能同時成立.

A,B獨立>>P(AB)=P(A)P(B)>0

A,B互不相容>>AB=空,>>P(AB)=0

(2)必然事件及不可能事件與任意事件相互獨立.

?定理一設A,B是兩事件， 且P(A)>0, 若A,B相互獨立，則P(B|A)=P(B)， 反之亦然.

定理二若事件A與B相互獨立,則下列各對事件也相互獨立: A與B，A與B，A與B.

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论＜一＞——随机事件与概率的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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