概率論基本概念

結(jié)合書本以及宋浩老師在B站的視頻寫的筆記

隨機(jī)事件

隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)特點(diǎn)

在相同條件可重復(fù)

結(jié)果不止一個(gè)，并且實(shí)現(xiàn)可以明確試驗(yàn)所有出現(xiàn)的結(jié)果

無法預(yù)測(cè)

事件

• 基本事件：
  相對(duì)于實(shí)驗(yàn)?zāi)康?#xff0c;不可再分（不必再分）

  實(shí)驗(yàn)?zāi)康拇_定，基本事件才有意義

• 復(fù)合事件：
  由基本事件復(fù)合——即基本事件的并集
• 必然事件：
  一定會(huì)發(fā)生——基本事件的全集包含于必然事件中
• 不可能事件：
  一定不發(fā)生——空集

樣本相關(guān)概念

• 樣本空間：
  所有基本事件的合集
• 樣本點(diǎn)：
  樣本空間的元素

事件間的關(guān)系

• 包含：$?$
  A$?$B——A包含于B——B包含A
  
• 并運(yùn)算：$?$
  A$?$B——A+B——A、B至少有一個(gè)發(fā)生
  
• 與運(yùn)算：$?$
  A$?$B——A、B必須同時(shí)發(fā)生

• 差：-
  A-B——A-AB——A發(fā)生而B不發(fā)生
  
• 互不相容事件
  AB=$?$——A、B不同時(shí)發(fā)生
  N個(gè)事件$n_i{n}_j=?$
• 對(duì)立事件
  AB=$?$，AUB=$\Omega$（全集）——A、B互不相容，且AUB=$\Omega$（全集）
  有$\stackrel{?}{A}$是A的逆，在對(duì)立事件中，有：$\stackrel{?}{A}=B,\stackrel{?}{B}=A$
• 完備事件組
  $N_1,N2,...,N_n$ 兩兩互不相容，且$U_{i?1}^n{A}_i=\Omega$

運(yùn)算律

• 交換：$AUB=BUA,A?B=B?A$
• 結(jié)合：$(AUB)UC=AU(BUC),(A?B)?C=A?(B?C)$
• 分配率：
  $(A?B)?C=(A?C)U(B?C)$
  $(A?B)?C=(A?C)?(B?C)$
• 對(duì)偶：
  $\stackrel{——}{\mathrm{AUB}}=\stackrel{?}{A}?\stackrel{?}{B}$
  $\stackrel{——}{A?B}=\stackrel{?}{A}?\stackrel{?}{B}$

例題

事件的概率

概率簡(jiǎn)介

概率：可能性大小
性質(zhì)：

$P(\Omega )=1,P(?)=0$

$0?P(x)?1$

古典概率

條件：

有限個(gè)樣本點(diǎn)

等可能性

例：

$P(A)=\frac{A中包含的基事件}{基本事件總數(shù)}$

排列組合理論

古典概率例題

古典概率模型性質(zhì)

非負(fù)性，$0?P(A)?1$

規(guī)范性：$P(\Omega )=1,P(?)=0$

有限可加：$A_1...A_n$互不相容，有$P(A_1+A_2+...+A_n)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)$

缺點(diǎn)：必須是有限個(gè)結(jié)果、等可能性

幾何概率

特點(diǎn)：

樣本空間$\Omega$是一個(gè)幾何區(qū)域，這個(gè)區(qū)域大小可以度量（如長(zhǎng)度、面積、體積等），并把$\Omega$的度量記作$m(\Omega )$

向區(qū)域$\Omega$ 內(nèi)任意投擲一個(gè)點(diǎn)，落在區(qū)域內(nèi)任一個(gè)點(diǎn)處都是“等可能的”。或者設(shè)落在$\Omega$中的區(qū)域A內(nèi)的可能性與A的度量m(A)成正比，與A的位置和形狀無關(guān)
不妨用A表示“投擲點(diǎn)落在區(qū)域A內(nèi)”的事件，那么事件A的概率可用下列公式計(jì)算：$P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega )}$，稱它為幾何概率

例題

頻率與概率

概率是事件的內(nèi)在屬性，當(dāng)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，頻率接近于頻率

n次實(shí)驗(yàn),A發(fā)生m次，頻率為$\frac{m}{n}$
性質(zhì)如下：

非負(fù)：$0?{\omega }_n(A)?1$

規(guī)范：${\omega }_n(\Omega )=1,\omega (?)=0$

可加：$A_1...A_m$不相容
$\omega (A_1+...A_n)=\omega (A_1）+...+\omega (A_m)$

公理化

公理

非負(fù)：$0?P(A)?1$

規(guī)范：$P(\Omega )=1,P(?)=0$

可加：$A_1...A_m$不相容
$P(A_1+...A_n)=P(A_1）+...+P(A_m)$

推導(dǎo)出的性質(zhì)

• 性質(zhì)1：$P(?)=0$
• 性質(zhì)2：（有限可加性）若$A_1,A_2,...,A_n$為兩兩互不相容事件，則有：
  $P(U_{k=1}^n{A}_k)={\sum }_{k=1}^{n}P(A_k)$
• 性質(zhì)3：設(shè)A，B是兩個(gè)事件，則有：
  $P(B?A)=P(B)?P(AB)$
  若A$?$B，則有
  $P(B?A)=P(B)?P(A)，P(A)\le P(B)$
• 性質(zhì)4：對(duì)于任一事件A，有$P(A)\le 1$
• 性質(zhì)5：對(duì)于任一事件A，有$P(\stackrel{?}{A})=1?P(A)$
• 性質(zhì)6：（加法公式），對(duì)任意兩個(gè)事件A、B，有
  $P(AUB)=P(A)+P(B)?P(AB)$

例題

條件概率

設(shè)A、B為兩個(gè)事件，且P(B)>0則稱$\frac{P(AB)}{P(B)}$為事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記為P(A|B),即$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
例題：

乘法公式

由條件概率定義$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$,P(A)>0,兩邊同乘以P(A)可得$P(AB)=P(B|A)P(A)$，
同理可得當(dāng)P(B)>0時(shí)，亦有$P(AB)=P(A|B)P(B)$，這就是乘法原理


例四的題意在截圖中不是很明確，我說明一下：
原有a個(gè)紅球，b個(gè)黑球。拿出第一個(gè)球，然后再放回C個(gè)與該球顏色相同的球，

• 當(dāng)c=0時(shí)，將該球放回
• 當(dāng)c=-1時(shí)，該球不放回
• 當(dāng)c>0時(shí)，該題為傳染病模型：即同色球變多
  

全概率公式

定理：設(shè)B為樣本空間$\Omega$中的任一事件，$A_1,A_2,...,A_N為\Omega$的一個(gè)劃分，且P(A_i)>0，i=1,2,…,n，則有：
$$\begin{gathered} P(B) \\ =P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+...+P(A_n)P(B|A_n) \\ ={\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i) \end{gathered}$$

例題

貝葉斯公式

定理：設(shè)樣本空間$\Omega$，B為樣本空間$\Omega$中的任一事件，$A_1,A_2,...,A_N為\Omega$的一個(gè)劃分，且P(B)>0,P(A_i)>0，i=1,2,…,n，則有：
$P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{{\sum }_{j=1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)},i=1,2,...,n$

例題

獨(dú)立性

事件的獨(dú)立性

定義：A的概率不受B發(fā)生與否的影響，P(A|B)=P(A)——不好用

• 定理1.4：P(A)>0,P(B)>0
  A、B獨(dú)立 <=> P(AB)=P(A)P(B)
  充分：P(AB)=P(A)P(B)=>$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=P(A)$
  必要：A、B獨(dú)立 => P(A|B)=P(A)、P(A|B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B)

• 定理1.5
  
  P(A)=0或P(A)=1,A與任意事件獨(dú)立

互不相容與獨(dú)立性的區(qū)別

獨(dú)立兩人陌生，不收彼此影響

互不相容	有我沒你，有你沒我

獨(dú)立與互不相容不同時(shí)成立

例題

伯努利模型

例題

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第一章——概率论基本概念的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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