連續小波變換的計算

對上面公式的解釋將在本節中進行詳細說明。以x(t)作為被分析的信號。選用的小波作為信號處理中用到的所有窗函數的原型。應用的所有窗都是母小波的放大(或縮小)和平移版本。有很多函數可以滿足這個條件。Morlet小波和墨西哥帽小波(Mexican hat)是其中最有代表性的，本章中后面部分中所舉的例子也會用這兩個小波進行小波分析。

一旦選擇了母小波，就可以從s=1開始計算了，連續小波變換就是計算對應所有值的s，或者小于1，或者大于1。不過，與要分析的信號有關，一般不需要完整的變換。對所有的應用來說，信號是有帶寬限制的，因此，在有限時間內做變換就經常能夠滿足要求了。在這篇文章里的后續部分，只用到s在有限時間內的值。

為方便起見，計算過程將會始于s=1，然后s值逐漸增大，即分析將會從高頻開始，然后逐步到低頻。s的第一個值是對大多數縮小的小波的反映。隨著s增大，小波逐漸被放大。

小波要被放在信號的最初點，即t=0時刻。用尺度為1的小波函數與信號相乘，然后在所有時間內做積分。積分結果再乘上這個常量——1/sqrt(s)。后面這次相乘是為了使能量歸一化處理而作的，其目的是使變換后的信號在任意比例上都有相同的能量。最終結果就是變換后的值，即在t=0時刻和s=1的情況下的連續小波變換。換句話說，就是在時間-尺度平面內，tau=0，s=1時刻信號的響應。

然后平移s=1時的小波值至t=tau時刻的位置，得到在時間-尺度平面內，t=tau，s=1時刻信號的響應。

重復這個過程，直到小波到達了信號的末端。這是，在時間-尺度平面內，就會得到一系列的點。

然后，將s增大一點。注意到，這是小波變換，所以tau和s都必須連續的增加。不過，如果是由計算機來進行這個變換過程，兩個參數都以一個很小的步長增加。這是由于采樣造成的。

對所有s值，重復上面這個過程。每一個根據給定的s計算的結果都對應時間-尺度平面內的一行。當對所應所有的s都計算完成后，對信號的連續小波變換就完成了。

下面的圖說明了計算過程的每一步：

圖3.3

在圖3.3中，顯示了在四個不同時刻tau時的信號和小波函數。信號是圖3.1所示的信號的裁剪版本，對應著信號的高頻部分。可以看到它多么緊湊(藍色的窗口)。它的寬度應該與信號中最高頻分量出現的時間一致。圖中顯示了to=2，to=40，to=90和to=140時刻小波的位置。在每一個位置，都將它與信號相乘。很明顯，只有在小波的支撐域內，乘積不為0，其余部分全為0。通過在時間軸上平移小波，信號被定位在時間軸上。進一步，通過改變s的值，信號又被定為在頻率范圍內。

如果信號對當前的s值有一個譜分量(這個例子中s的值是1)，在信號的譜分量出現的時刻，信號與小波的乘積會相當大。如果對于當前的s值，譜分量不存在，那么，乘積將會很小或為0。圖3.3中，在s=1和t=100ms附近，信號中存在一個窗口寬度的頻譜分量。

圖3.3中，在100ms時，對信號做連續小波變換后將會產生大的結果，在其他時候則值很小。另一方面，當尺度很高時，連續小波變換將對在整個信號周期內得到一個很大的值，因為低頻信號在整個周期內都存在。

總結

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