Chapter1 什么是小波？

?小波變換跟時間有關(guān)，橫坐標(biāo)是時間，縱坐標(biāo)是頻率。

真實世界的數(shù)據(jù)或者信號經(jīng)常表現(xiàn)出緩慢變化的趨勢或因瞬態(tài)而出現(xiàn)的震蕩，另一方面，圖像具有被邊緣中斷或者對比度突然變化的平滑區(qū)域，傅里葉變換不能有效代表突然的變化，這是因為傅里葉變換將數(shù)據(jù)表示為未在時間或空間上定位的正弦波之和，這些正弦波永遠(yuǎn)震蕩。

為了很好準(zhǔn)確分析突然變化的信號和圖像，我們需要使用在時間和頻率上都很好定位的一類新功能，就是小波變換。

小波變換是快速衰減的波，例如震蕩，均值為0，小波存在有限的持續(xù)時間。

一些知名的小波形狀：

多種小波的可用性是小波分析的關(guān)鍵優(yōu)勢。

下面介紹兩個重要的小波變換概念：

1.縮放（scaling）

假設(shè)信號完整性（si）為t，縮放比例是指及時拉伸或收縮信號的過程，可以用等式表示：

s是一個縮放系數(shù)，它是正值，對應(yīng)于信號在時間上縮放了多少。比例因子與頻率成反比

例如，將正弦波按比例縮放兩個會導(dǎo)致其原始頻率降低一半（或八度，八度就是一半的頻率）

?對于小波，比例和頻率之間存在比例關(guān)系恒定的倒數(shù)關(guān)系，這個比例常數(shù)稱為小波的中心頻率。（center frequency）。這是因為與正弦波不同，小波在頻率中具有帶通特性（只允許某一段頻率通過）。在數(shù)學(xué)上，等效頻率使用以下公式定義：

其中Cf是小波of的中心頻率，是小波刻度，delta t 是采樣間隔，因此將小波縮放2倍時，它會導(dǎo)致等效頻率降低八度。

中心頻率：通常定義為帶通濾波器（或帶阻濾波器）頻率的幾何平均值，在對數(shù)坐標(biāo)下，即為兩個3dB點之間的中點，一般用兩個3dB點的算術(shù)平均來表示。濾波器通頻帶中間的頻率，以中心頻率為準(zhǔn)，高于中心頻率一直到頻率電壓衰減到0.707倍時為上邊頻，相反為下邊頻，上邊頻和下邊頻之間為通頻帶。

合成器中使用的濾波器通常有四種形式：低通、高通、帶通、陷波。顧名思義低通就是讓低頻通過，濾掉高頻;高通是讓高頻通過，濾掉低頻;帶通是讓某一個范圍的頻率通過，濾除其余頻率;陷波是濾除某一個范圍的頻率，讓其余頻率通過。

有幾個常用的名詞也順便在這里介紹一下：被濾波器阻擋的頻率范圍稱為禁帶(Stopband);能順利通過濾波器的頻率范圍稱為通帶(Passband);禁帶的開始處稱作半功率點(Half-power point)。濾波器允許或阻止一定的頻率通過并不象刀切一樣突然變化，而是有一個過渡，是一條斜線。斜線的傾斜程度用斜率(Slop)來表示。當(dāng)輸出信號下降3分貝時，就是半功率點，也叫負(fù)3分貝點，大家可能更加熟悉它的另一個稱呼“截止頻率”(Cutoff Frequency)。合成器中濾波器的截止頻率經(jīng)常是可以隨便移動的。帶通和陷波濾波器各自有兩個半功率點，這兩點的中心稱為中心頻率(Center Frequency)。

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?這是中心頻率為0.07赫茲的小波的[sim]與相同頻率的正弦波對應(yīng)的方式

較大的比例因子會導(dǎo)致拉伸的小波，對應(yīng)于較低的頻率，反之。

拉伸小波有助于捕獲信號中緩慢變化的變化，壓縮的小波有助于捕捉突變。

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?可以構(gòu)建與先前提到的等效頻率成反比的不同比例

2.移位（shifting）?

移動小波只是意味著沿信號長度延遲或推進(jìn)小波的開始，以表示的移位小波意味著小波被移位并以k為中心。我們需要移動小波使其與信號中尋找的特征對齊。

?小波分析中兩個主要的變換是連續(xù)和離散小波變換，這些變換基于小波的縮放和移動方式而有所不同。

Chapter2 小波變換的類型

1.連續(xù)小波變換（CWT）

連續(xù)小波變換的關(guān)鍵應(yīng)用是時頻分析和時域頻率成分濾波。

你可以使用此變換獲得信號的同時時頻分析，解析小波最適合時頻分析，因為這些小波不具有負(fù)頻率分量。

CWT的輸出是系數(shù)，它是比例(scale)或頻率和時間的函數(shù)。

?現(xiàn)在討論構(gòu)造不同小波尺度的過程：

使用CWT，您可以在每個八度音階中的中間尺度上分析信號時增強靈活性，此參數(shù)稱為八度音階的音階數(shù)，每個八度音階的音階數(shù)越多，音階離散化越好。

此參數(shù)的典型值為10，12，16，32，比例乘以信號的采樣間隔以獲得物理意義。

左邊是一個凹凸小波的音階示例，每個八度音階有32個音階，每7微秒對信號進(jìn)行一次采樣，右邊是比例尺等效頻率的對應(yīng)圖。實際比例值是指數(shù)的。

?現(xiàn)在每個尺度小波在整個信號長度上隨時間移動，并與原始信號進(jìn)行比較，對所有比例尺重復(fù)此過程，得到的系數(shù)是小波比例尺和位移參數(shù)的函數(shù)。一個具有1000個樣本的信號（以20個標(biāo)度進(jìn)行分析），會得出20000個系數(shù)。

?這樣，您可以通過連續(xù)小波變換更好地表征信號中的振蕩行為

2.離散小波變換（DWT）

離散小波分析的關(guān)鍵應(yīng)用是信號和圖像的去噪和壓縮

因為它有助于表示許多自然產(chǎn)生的信號和具有較少系數(shù)的圖像，這樣就可以表示稀疏。

?DWT中的基本比例設(shè)置為2，通過將此基本比例提升為以下圖1這種方式表示的整數(shù)值，可以獲得不同比例。平移以該方程式表示的整數(shù)倍發(fā)生，此過程通常稱為二進(jìn)位縮放和平移（dyadic scaling and shifting）。這種采樣消除了系數(shù)的冗余，變換地輸出產(chǎn)生與輸入信號長度相同數(shù)量的系數(shù)，因此需要更少內(nèi)存。

離散小波變換過程等效于將信號與離散多速率濾波器組進(jìn)行比較。總概念上講，給定信號s，首先使用特殊的低通和高通濾波器對信號進(jìn)行濾波，以產(chǎn)生低通和高通子帶，將它們稱為a1和d1，根據(jù)奈奎斯特準(zhǔn)則，過濾后丟棄一半樣本，濾波器通常具有少量系數(shù)，并具有良好的計算性能，這些濾波器還具有重構(gòu)子帶的能力，同時消除下采樣而引起的任何混疊。對于下一級的分解，低通子帶a1通過相同技術(shù)進(jìn)行迭代濾波，以產(chǎn)生較窄的子帶a2和d2，以此類推。

每個子帶的系數(shù)長度是前一級系數(shù)數(shù)的一半。通過這種方式，DWT有助于以不同的分辨率分析逐漸變窄的子帶上的信號，有助于去噪和壓縮信號。

?Chapter3 離散小波變換的一個應(yīng)用示例

?下圖是增加的噪聲的信號，我們使用離散小波變換對噪聲信號進(jìn)行去噪。

步驟：

1.獲得近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)：通過執(zhí)行多級小波分解來做到。

離散小波變換將信號分成低通子帶，也稱為近似水平，高通子帶也稱為細(xì)節(jié)等級，你可以分解多個級別或比例的近似子帶，以進(jìn)行精細(xì)比例分析。

我們將使用相同的六個小波并將噪聲信號分為五個級別，函數(shù)輸出第五級逼近函數(shù)和一到五級細(xì)節(jié)函數(shù)。

第一級細(xì)節(jié)系數(shù)捕獲信號的高頻，大部分高頻成分由信號中的噪聲組成，但是高頻的一部分是由信號的突然變化組成的，有時候這些突然的變化帶有意義，您可能希望在消除噪聲的同時保留此信息。

這里是原始信號以及1至5級繪制的細(xì)節(jié)，注意隨著規(guī)?；蚣墑e的增加，詳細(xì)信息中的活動急劇減少，因此我們暫時先專注于1級細(xì)節(jié)，忽略其他。

?我們的目標(biāo)是在消除噪音的同時保留急劇變化，一種方法是通過細(xì)節(jié)系數(shù)按閾值縮放。

2.分析細(xì)節(jié)并確定合適的閾值技術(shù)

兩種閾值操作：軟閾值和硬閾值。在這兩種情況下，幅度小于閾值的系數(shù)都設(shè)置為0，這兩種閾值技術(shù)的區(qū)別在于如何處理幅度大于閾值的系數(shù)。

在軟閾值的情況下，通過從系數(shù)值中減去閾值，將幅度大于閾值的系數(shù)縮小為0。

?而在硬閾值中，幅度大于閾值的系數(shù)保持不變

3.設(shè)置細(xì)節(jié)系數(shù)閾值并重建信號

下圖為去噪后的結(jié)果

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性能比較：小波變換去噪最好，雖然看起來滑動平均去噪效果更好但是丟失了很多突變信號，所以信噪比（SNR）變小了。

?小哥微微一笑~~~~~

?Chapter4?連續(xù)小波變換的一個應(yīng)用示例

?可以看到將噪聲與地震信號分離是多么困難！！！許多自然信號都有這樣的特征，它們由緩慢的變化組成，并散布著突然變化，通常被掩埋在噪音中，小波在分析這類信號非常有用！！！

采用傅里葉變換來產(chǎn)生時頻可視化，可以看到兩個地震活動實例無法區(qū)分。

?我們看到的只是一個信號分布在0.05赫茲附近，但定位不完全.讓我們嘗試通過減少頻譜圖中使用的窗口大小來本地化事件時會發(fā)生什么。通過減小窗口的大小，我們可以在30和33分鐘左右看到一些亮點，但兩個事件并沒有很好的分開，事件的頻率和事件不確定仍然很高，減小窗口大小不是很有幫助。

?我們需要以某種方式定位這兩個事件的頻率信息，這次使用小波。使用連續(xù)小波變換有助于獲得地震數(shù)據(jù)的聯(lián)合時頻分析，未指定小波默認(rèn)使用Moore小波。CWT函數(shù)根據(jù)小波能量散布自動確定分析的最小和最大尺度，函數(shù)返回的小波系數(shù)大小用顏色編碼，白色虛線表示影響錐，在該區(qū)域內(nèi)小波系數(shù)估計是可靠的。我們可以看到兩次活動明顯分開，這兩個事件在時間和頻率上都很好定位了。

Chapter5 機器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)中的小波變換

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的小波变换（wavelet transform）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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