Chapter1 什么是小波？

?小波變換跟時間有關，橫坐標是時間，縱坐標是頻率。

真實世界的數據或者信號經常表現出緩慢變化的趨勢或因瞬態而出現的震蕩，另一方面，圖像具有被邊緣中斷或者對比度突然變化的平滑區域，傅里葉變換不能有效代表突然的變化，這是因為傅里葉變換將數據表示為未在時間或空間上定位的正弦波之和，這些正弦波永遠震蕩。

為了很好準確分析突然變化的信號和圖像，我們需要使用在時間和頻率上都很好定位的一類新功能，就是小波變換。

小波變換是快速衰減的波，例如震蕩，均值為0，小波存在有限的持續時間。

一些知名的小波形狀：

多種小波的可用性是小波分析的關鍵優勢。

下面介紹兩個重要的小波變換概念：

1.縮放（scaling）

假設信號完整性（si）為t，縮放比例是指及時拉伸或收縮信號的過程，可以用等式表示：

s是一個縮放系數，它是正值，對應于信號在時間上縮放了多少。比例因子與頻率成反比

例如，將正弦波按比例縮放兩個會導致其原始頻率降低一半（或八度，八度就是一半的頻率）

?對于小波，比例和頻率之間存在比例關系恒定的倒數關系，這個比例常數稱為小波的中心頻率。（center frequency）。這是因為與正弦波不同，小波在頻率中具有帶通特性（只允許某一段頻率通過）。在數學上，等效頻率使用以下公式定義：

其中Cf是小波of的中心頻率，是小波刻度，delta t 是采樣間隔，因此將小波縮放2倍時，它會導致等效頻率降低八度。

中心頻率：通常定義為帶通濾波器（或帶阻濾波器）頻率的幾何平均值，在對數坐標下，即為兩個3dB點之間的中點，一般用兩個3dB點的算術平均來表示。濾波器通頻帶中間的頻率，以中心頻率為準，高于中心頻率一直到頻率電壓衰減到0.707倍時為上邊頻，相反為下邊頻，上邊頻和下邊頻之間為通頻帶。

合成器中使用的濾波器通常有四種形式：低通、高通、帶通、陷波。顧名思義低通就是讓低頻通過，濾掉高頻;高通是讓高頻通過，濾掉低頻;帶通是讓某一個范圍的頻率通過，濾除其余頻率;陷波是濾除某一個范圍的頻率，讓其余頻率通過。

有幾個常用的名詞也順便在這里介紹一下：被濾波器阻擋的頻率范圍稱為禁帶(Stopband);能順利通過濾波器的頻率范圍稱為通帶(Passband);禁帶的開始處稱作半功率點(Half-power point)。濾波器允許或阻止一定的頻率通過并不象刀切一樣突然變化，而是有一個過渡，是一條斜線。斜線的傾斜程度用斜率(Slop)來表示。當輸出信號下降3分貝時，就是半功率點，也叫負3分貝點，大家可能更加熟悉它的另一個稱呼“截止頻率”(Cutoff Frequency)。合成器中濾波器的截止頻率經常是可以隨便移動的。帶通和陷波濾波器各自有兩個半功率點，這兩點的中心稱為中心頻率(Center Frequency)。

?

?這是中心頻率為0.07赫茲的小波的[sim]與相同頻率的正弦波對應的方式

較大的比例因子會導致拉伸的小波，對應于較低的頻率，反之。

拉伸小波有助于捕獲信號中緩慢變化的變化，壓縮的小波有助于捕捉突變。

?

?可以構建與先前提到的等效頻率成反比的不同比例

2.移位（shifting）?

移動小波只是意味著沿信號長度延遲或推進小波的開始，以表示的移位小波意味著小波被移位并以k為中心。我們需要移動小波使其與信號中尋找的特征對齊。

?小波分析中兩個主要的變換是連續和離散小波變換，這些變換基于小波的縮放和移動方式而有所不同。

Chapter2 小波變換的類型

1.連續小波變換（CWT）

連續小波變換的關鍵應用是時頻分析和時域頻率成分濾波。

你可以使用此變換獲得信號的同時時頻分析，解析小波最適合時頻分析，因為這些小波不具有負頻率分量。

CWT的輸出是系數，它是比例(scale)或頻率和時間的函數。

?現在討論構造不同小波尺度的過程：

使用CWT，您可以在每個八度音階中的中間尺度上分析信號時增強靈活性，此參數稱為八度音階的音階數，每個八度音階的音階數越多，音階離散化越好。

此參數的典型值為10，12，16，32，比例乘以信號的采樣間隔以獲得物理意義。

左邊是一個凹凸小波的音階示例，每個八度音階有32個音階，每7微秒對信號進行一次采樣，右邊是比例尺等效頻率的對應圖。實際比例值是指數的。

?現在每個尺度小波在整個信號長度上隨時間移動，并與原始信號進行比較，對所有比例尺重復此過程，得到的系數是小波比例尺和位移參數的函數。一個具有1000個樣本的信號（以20個標度進行分析），會得出20000個系數。

?這樣，您可以通過連續小波變換更好地表征信號中的振蕩行為

2.離散小波變換（DWT）

離散小波分析的關鍵應用是信號和圖像的去噪和壓縮

因為它有助于表示許多自然產生的信號和具有較少系數的圖像，這樣就可以表示稀疏。

?DWT中的基本比例設置為2，通過將此基本比例提升為以下圖1這種方式表示的整數值，可以獲得不同比例。平移以該方程式表示的整數倍發生，此過程通常稱為二進位縮放和平移（dyadic scaling and shifting）。這種采樣消除了系數的冗余，變換地輸出產生與輸入信號長度相同數量的系數，因此需要更少內存。

離散小波變換過程等效于將信號與離散多速率濾波器組進行比較。總概念上講，給定信號s，首先使用特殊的低通和高通濾波器對信號進行濾波，以產生低通和高通子帶，將它們稱為a1和d1，根據奈奎斯特準則，過濾后丟棄一半樣本，濾波器通常具有少量系數，并具有良好的計算性能，這些濾波器還具有重構子帶的能力，同時消除下采樣而引起的任何混疊。對于下一級的分解，低通子帶a1通過相同技術進行迭代濾波，以產生較窄的子帶a2和d2，以此類推。

每個子帶的系數長度是前一級系數數的一半。通過這種方式，DWT有助于以不同的分辨率分析逐漸變窄的子帶上的信號，有助于去噪和壓縮信號。

?Chapter3 離散小波變換的一個應用示例

?下圖是增加的噪聲的信號，我們使用離散小波變換對噪聲信號進行去噪。

步驟：

1.獲得近似系數和細節系數：通過執行多級小波分解來做到。

離散小波變換將信號分成低通子帶，也稱為近似水平，高通子帶也稱為細節等級，你可以分解多個級別或比例的近似子帶，以進行精細比例分析。

我們將使用相同的六個小波并將噪聲信號分為五個級別，函數輸出第五級逼近函數和一到五級細節函數。

第一級細節系數捕獲信號的高頻，大部分高頻成分由信號中的噪聲組成，但是高頻的一部分是由信號的突然變化組成的，有時候這些突然的變化帶有意義，您可能希望在消除噪聲的同時保留此信息。

這里是原始信號以及1至5級繪制的細節，注意隨著規模或級別的增加，詳細信息中的活動急劇減少，因此我們暫時先專注于1級細節，忽略其他。

?我們的目標是在消除噪音的同時保留急劇變化，一種方法是通過細節系數按閾值縮放。

2.分析細節并確定合適的閾值技術

兩種閾值操作：軟閾值和硬閾值。在這兩種情況下，幅度小于閾值的系數都設置為0，這兩種閾值技術的區別在于如何處理幅度大于閾值的系數。

在軟閾值的情況下，通過從系數值中減去閾值，將幅度大于閾值的系數縮小為0。

?而在硬閾值中，幅度大于閾值的系數保持不變

3.設置細節系數閾值并重建信號

下圖為去噪后的結果

?

性能比較：小波變換去噪最好，雖然看起來滑動平均去噪效果更好但是丟失了很多突變信號，所以信噪比（SNR）變小了。

?小哥微微一笑~~~~~

?Chapter4?連續小波變換的一個應用示例

?可以看到將噪聲與地震信號分離是多么困難！！！許多自然信號都有這樣的特征，它們由緩慢的變化組成，并散布著突然變化，通常被掩埋在噪音中，小波在分析這類信號非常有用！！！

采用傅里葉變換來產生時頻可視化，可以看到兩個地震活動實例無法區分。

?我們看到的只是一個信號分布在0.05赫茲附近，但定位不完全.讓我們嘗試通過減少頻譜圖中使用的窗口大小來本地化事件時會發生什么。通過減小窗口的大小，我們可以在30和33分鐘左右看到一些亮點，但兩個事件并沒有很好的分開，事件的頻率和事件不確定仍然很高，減小窗口大小不是很有幫助。

?我們需要以某種方式定位這兩個事件的頻率信息，這次使用小波。使用連續小波變換有助于獲得地震數據的聯合時頻分析，未指定小波默認使用Moore小波。CWT函數根據小波能量散布自動確定分析的最小和最大尺度，函數返回的小波系數大小用顏色編碼，白色虛線表示影響錐，在該區域內小波系數估計是可靠的。我們可以看到兩次活動明顯分開，這兩個事件在時間和頻率上都很好定位了。

Chapter5 機器學習和深度學習中的小波變換

總結

以上是生活随笔為你收集整理的小波变换（wavelet transform）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。