文章目錄

• 近似算法(approximation algorithms)
• • 差界(difference bounds)
  • • 困難結果：背包問題
  • 相對性能界(relative performance bounds)
  • • 裝箱問題(the bin packing problem)

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近似算法(approximation algorithms)

組合優化問題不是最小化問題就是最大化問題，它由以下三部分組成：
1、一個實例(instances)集合D；
2、對于每個實例I屬于D，存在I的一個候選解的有限集S(I)；
3、D中的一個實例I的每個解a屬于S(I)，存在一個值f(a)，稱為a的解值。

用OPT(I)表示最優值f(a*)，且它小于等于f(a)。

最優化問題的一個近似算法A是一個多項式時間的算法，使得給出一個實例I屬于D，它輸出的某個解a屬于S(I)，將用A(I)表示f(a)。

差界(difference bounds)

對于問題的所有實例I，由近似算法A可以得到也是最想得到的解A是使得|A(I)-OPT(I)|<=K，K是某個常數。

只有很少的NP難的最優化問題，他們的差界是已知的。

困難結果：背包問題

對于背包問題，我們將證明不存在帶差界的背包問題的近似算法。

假設存在一個帶差界的求解背包問題的近似算法A：

相對性能界(relative performance bounds)

對于最小化問題，定義近似比(approximation ratio)：

對于最大化問題，有：

裝箱問題(the bin packing problem)

給定尺寸為s1、s2、…、sn的物品u1、u2、…、un的集合，其中sj介于0和1之間，我們需要將這些物品包裝到單位容量的最小數量的箱子中。

下面介紹最先適配方法(First Fit)。

所有的箱子初始值為空，考慮把這些物品按照u1、u2、…、un的順序裝箱，為了裝物品ui，我們找到最小的序號j使得箱j最多裝了1-si的東西，并把物品ui加到箱j中。

設FF(I)標記在I中用FF啟發式方法裝物品所用箱子數目，設OPT(I)是最優箱子數目：
由于不可能存在兩個半空的箱子：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法设计技巧与分析（十一）：近似算法(approximation algorithms)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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