暑假期間，對于四旋翼有一點興趣，沒有親手做，但是看了一些資料。這個系列文章只是對自己看的東西的記錄，對于想要學習了解相關知識的同學沒有任何參考價值！

本篇是系列第一篇，分為兩部分。第一部分定性描述了四旋翼飛行的動力學原理，第二部分從旋轉矩陣，歐拉角，四元數三個方面介紹了三維空間剛體運動的表示方法。

一.動力學模型

可以把四旋翼的運動模型分為動力學模型和運動學模型兩個部分。由于四旋翼的動力學模型比較簡單，這里只對四旋翼的運動控制定性說明。

1.升降運動
四旋翼的四個漿葉分X形或十字形，相鄰的兩個旋翼轉動方向相反，它們產生的反向扭矩剛好相互抵消，使得四軸在偏航方向能夠保持平衡。當轉速增加，飛行器克服升力，高度升高。反之轉速減小，高度也就隨之下降。

2.俯仰運動
如圖所示，當電機1轉速增大，電機3轉速減小，飛行器產生一個向上的力矩，隨之電機1上升，電機3下降。同時飛行器會向電機3的方向前進。

3.橫滾運動
如圖所示，當電機1,2中的一個提高轉速另一個減小，就會產生橫滾運動。同時飛行器也會左右移動。

4.偏航運動
偏航運動是機體圍繞Z軸旋轉的過程。單個旋翼，旋轉時會產生反扭距，使得機身朝反方向旋轉，這也是直升機需要尾槳的原因。圖中逆時針旋轉的兩個槳加速，順時針旋轉的兩個槳減速，這樣機體就能順時針旋轉。

2.三維空間剛體運動姿態表示

1.歐拉角
首先介紹歐拉發明的歐拉角說起。歐拉角應該是最容易理解的旋轉表示方法。

如圖所示，一般使用ZYX的順序旋轉物體，下圖是一架飛機按照ZYX組合進行旋轉產生歐拉角的過程，其中，ψ為偏航角，θ為俯仰角，φ為滾轉角。這樣使用三個參數就能唯一表示一種旋轉方式。

歐拉角最大的問題是存在萬向鎖，數學上叫做奇異性。可以使用手中的手機感受一下。先將手機屏幕面于地面平行，繞Z軸旋轉任意角度，然后將手機向上仰90度，使得屏幕面和地面垂直，這樣不論如何，第三次旋轉和第一次旋轉將使用同一個Z軸，使得物體相當于損失了一個自由度。

2.旋轉矩陣
在線性代數中學過，

$$?\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}?=R??\begin{array}{c}{a}_1^{,}\\ a_2^{,}\\ a_3^{,}\end{array}?$$
將單位正交基a’轉換為另一個正交基，這個轉換矩陣R就是旋轉矩陣。

在二維坐標系之下，旋轉X軸一個角度θ，得到旋轉矩陣
$$\left[\begin{array}{cc}cos\theta & sin\theta \\ ?sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$$
同理，按照ψ為偏航角，θ為俯仰角，φ為滾轉角的順序旋轉之后，可以得到以下三個旋轉矩陣。

$$旋轉矩陣R=R_{\psi }{R}_{\theta }{R}_{\phi }$$

當俯仰角θ達到90度時，
$$R=?\begin{array}{ccc}0& 0& ?1\\ sin(\phi ?\psi )& cos(\phi ?\psi )& 0\\ cos(\phi ?\psi )& ?sin(\phi ?\psi )& 0\end{array}?$$
可見這個這個旋轉矩陣的第一行和第三列固定不變，相當于損失了一個自由度，這也是萬向鎖的數學解釋。

注意：不同的資料可能旋轉矩陣表示不一樣。本文中都是被動旋轉求出的旋轉矩陣。

3.四元數
先說明四元數的結構
$$q=q_0+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k$$
它擁有一個實部和三個虛部，它的設計不是隨意的，而是專門為了表示旋轉而發明。設一個點的坐標是【x,y,z】記為p，將它繞n軸旋轉角度θ，得到點p’。
$$\begin{gathered} p=[0,x,y,z]=[0,v] \\ q=[cos\frac{\theta }{2}，nsin\frac{\theta }{2}] \\ {p}^{,}=qp{q}^{?1}(q^{?1}是四元數q的逆) \end{gathered}$$
那么，四元數不存在萬向鎖的問題，但是不直觀，所以在實際應用需要把它歸一化后使用如下的代碼轉換成歐拉角。

angle->pit=asin(-2*q1*q3+2*q0*q2)*57.3 angle->rol=-atan2(2*q2*q3+2*q0*q1,1-2*q1*q1-2*q2*q2)*57.3 angle->yaw=atan2(2*(q0*q3+q1*q2),1-q2*q2-q3*q3)*57.3

總結

以上是生活随笔為你收集整理的学习四旋翼（一）：动力学模型和空间姿态表示的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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