目錄

• 二叉樹的定義
• 二叉樹的性質(zhì)(特性)
• 滿二叉樹與完全二叉樹
• 鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)的二叉樹
• 順序存儲(chǔ)的二叉樹
• 線索二叉樹(Threaded BinaryTree)
• 二叉排序樹（Binary Sort Tree）
• 平衡二叉樹（ Balanced Binary Tree）
• • 為什么使用平衡二叉樹？
  • 如何判斷平衡二叉樹？
  • 相關(guān)概念
  • 旋轉(zhuǎn)方式
  • 實(shí)例
  • 代碼實(shí)現(xiàn)

二叉樹的定義

任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)數(shù)量不超過(guò) 2，那就是二叉樹；二叉樹的子節(jié)點(diǎn)分為左節(jié)點(diǎn)和右節(jié)點(diǎn)，不能顛倒位置

二叉樹的性質(zhì)(特性)

性質(zhì)1：在二叉樹的第i層上至多有2^(i-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)（i>0）

性質(zhì)2：深度為k的二叉樹至多有2^k - 1個(gè)結(jié)點(diǎn)（k>0）

性質(zhì)3：對(duì)于任意一棵二叉樹，如果其葉結(jié)點(diǎn)數(shù)為N0，而度數(shù)為2的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為N2，則N0=N2+1;

性質(zhì)4：具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹的深度必為 log2(n+1)

性質(zhì)5：對(duì)完全二叉樹，若從上至下、從左至右編號(hào)，則編號(hào)為i 的結(jié)點(diǎn)，其左孩子編號(hào)必為2i，其右孩子編號(hào)必為2i＋1；其雙親的編號(hào)必為i/2（i＝1 時(shí)為根,除外）

滿二叉樹與完全二叉樹

滿二叉樹： 所有葉子結(jié)點(diǎn)都集中在二叉樹的最下面一層上，而且結(jié)點(diǎn)總數(shù)為：2^n-1 (n為層數(shù) / 高度）

完全二叉樹： 所有的葉子節(jié)點(diǎn)都在最后一層或者倒數(shù)第二層，且最后一層葉子節(jié)點(diǎn)在左邊連續(xù)，倒數(shù)第二層在右邊連續(xù)（滿二叉樹也是屬于完全二叉樹）（從上往下，從左往右能挨著數(shù)滿）

鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)的二叉樹

創(chuàng)建二叉樹：首先需要一個(gè)樹的類，還需要另一個(gè)類用來(lái)存放節(jié)點(diǎn)，設(shè)置節(jié)點(diǎn)；將節(jié)點(diǎn)放入樹中，就形成了二叉樹；（節(jié)點(diǎn)中需要權(quán)值，左子樹，右子樹，并且都能對(duì)他們的值進(jìn)行設(shè)置）。

樹的遍歷：

• 先序遍歷：根節(jié)點(diǎn)，左節(jié)點(diǎn)，右節(jié)點(diǎn)（如果節(jié)點(diǎn)有子樹，先從左往右遍歷子樹，再遍歷兄弟節(jié)點(diǎn)）
  先序遍歷結(jié)果為：A B D H I E J C F K G

• 中序遍歷：左節(jié)點(diǎn)，根節(jié)點(diǎn)，右節(jié)點(diǎn)（中序遍歷可以看成，二叉樹每個(gè)節(jié)點(diǎn)，垂直方向投影下來(lái)（可以理解為每個(gè)節(jié)點(diǎn)從最左邊開始垂直掉到地上），然后從左往右數(shù)）
  中遍歷結(jié)果為：H D I B E J A F K C G

• 后序遍歷：左節(jié)點(diǎn)，右節(jié)點(diǎn)，根節(jié)點(diǎn)
  后序遍歷結(jié)果：H I D J E B K F G C A

• 層次遍歷：從上往下，從左往右
  層次遍歷結(jié)果：A B C D E F G H I J K
  

查找節(jié)點(diǎn)：先對(duì)樹進(jìn)行一次遍歷，然后找出要找的那個(gè)數(shù)；因?yàn)橛腥N排序方法，所以查找節(jié)點(diǎn)也分為先序查找，中序查找，后序查找；

刪除節(jié)點(diǎn)：由于鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)，不能找到要?jiǎng)h的數(shù)直接刪除，需要找到他的父節(jié)點(diǎn)，然后將指向該數(shù)設(shè)置為null；所以需要一個(gè)變量來(lái)指向父節(jié)點(diǎn)，找到數(shù)后，再斷開連接。

代碼實(shí)現(xiàn)：

• 樹類

public class BinaryTree {TreeNode root;//設(shè)置根節(jié)點(diǎn)public void setRoot(TreeNode root) {this.root = root;}//獲取根節(jié)點(diǎn)public TreeNode getRoot() {return root;}//先序遍歷public void frontShow() {if (root != null) {root.frontShow();}}//中序遍歷public void middleShow() {if (root != null) {root.middleShow();}}//后序遍歷public void afterShow() {if (root != null) {root.afterShow();}}//先序查找public TreeNode frontSearch(int i) {return root.frontSearch(i);}//刪除一個(gè)子樹public void delete(int i) {if (root.value == i) {root = null;} else {root.delete(i);}} }

• 節(jié)點(diǎn)類

public class TreeNode {//節(jié)點(diǎn)的權(quán)int value;//左兒子TreeNode leftNode;//右兒子TreeNode rightNode;public TreeNode(int value) {this.value = value;}//設(shè)置左兒子public void setLeftNode(TreeNode leftNode) {this.leftNode = leftNode;}//設(shè)置右兒子public void setRightNode(TreeNode rightNode) {this.rightNode = rightNode;}//先序遍歷public void frontShow() {//先遍歷當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值System.out.print(value + " ");//左節(jié)點(diǎn)if (leftNode != null) {leftNode.frontShow(); //遞歸思想}//右節(jié)點(diǎn)if (rightNode != null) {rightNode.frontShow();}}//中序遍歷public void middleShow() {//左節(jié)點(diǎn)if (leftNode != null) {leftNode.middleShow(); //遞歸思想}//先遍歷當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值System.out.print(value + " ");//右節(jié)點(diǎn)if (rightNode != null) {rightNode.middleShow();}}//后續(xù)遍歷public void afterShow() {//左節(jié)點(diǎn)if (leftNode != null) {leftNode.afterShow(); //遞歸思想}//右節(jié)點(diǎn)if (rightNode != null) {rightNode.afterShow();}//先遍歷當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值System.out.print(value + " ");}//先序查找public TreeNode frontSearch(int i) {TreeNode target = null;//對(duì)比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值if (this.value == i) {return this;//當(dāng)前節(jié)點(diǎn)不是要查找的節(jié)點(diǎn)} else {//查找左兒子if (leftNode != null) {//查找的話t賦值給target，查不到target還是nulltarget = leftNode.frontSearch(i);}//如果target不為空，說(shuō)明在左兒子中已經(jīng)找到if (target != null) {return target;}//如果左兒子沒(méi)有查到，再查找右兒子if (rightNode != null) {target = rightNode.frontSearch(i);}}return target;}//刪除一個(gè)子樹public void delete(int i) {TreeNode parent = this;//判斷左兒子if (parent.leftNode != null && parent.leftNode.value == i) {parent.leftNode = null;return;}//判斷右兒子if (parent.rightNode != null && parent.rightNode.value == i) {parent.rightNode = null;return;}//如果都不是，遞歸檢查并刪除左兒子parent = leftNode;if (parent != null) {parent.delete(i);}//遞歸檢查并刪除右兒子parent = rightNode;if (parent != null) {parent.delete(i);}} }

• 測(cè)試類

public class Demo {public static void main(String[] args) {//創(chuàng)建一棵樹BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();//創(chuàng)建一個(gè)根節(jié)點(diǎn)TreeNode root = new TreeNode(1);//把根節(jié)點(diǎn)賦給樹binaryTree.setRoot(root);//創(chuàng)建左,右節(jié)點(diǎn)TreeNode rootLeft = new TreeNode(2);TreeNode rootRight = new TreeNode(3);//把新建的節(jié)點(diǎn)設(shè)置為根節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)root.setLeftNode(rootLeft);root.setRightNode(rootRight);//為第二層的左節(jié)點(diǎn)創(chuàng)建兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)rootLeft.setLeftNode(new TreeNode(4));rootLeft.setRightNode(new TreeNode(5));//為第二層的右節(jié)點(diǎn)創(chuàng)建兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)rootRight.setLeftNode(new TreeNode(6));rootRight.setRightNode(new TreeNode(7));//先序遍歷binaryTree.frontShow(); //1 2 4 5 3 6 7System.out.println();//中序遍歷binaryTree.middleShow(); //4 2 5 1 6 3 7System.out.println();//后序遍歷binaryTree.afterShow(); //4 5 2 6 7 3 1System.out.println();//先序查找TreeNode result = binaryTree.frontSearch(5);System.out.println(result); //binarytree.TreeNode@1b6d3586//刪除一個(gè)子樹binaryTree.delete(2);binaryTree.frontShow(); //1 3 6 7 ，2和他的子節(jié)點(diǎn)被刪除了} }

順序存儲(chǔ)的二叉樹

概述：順序存儲(chǔ)使用數(shù)組的形式實(shí)現(xiàn)；由于非完全二叉樹會(huì)導(dǎo)致數(shù)組中出現(xiàn)空缺，有的位置不能填上數(shù)字，所以順序存儲(chǔ)二叉樹通常情況下只考慮完全二叉樹

原理： 順序存儲(chǔ)在數(shù)組中是按照第一層第二層一次往下存儲(chǔ)的，遍歷方式也有先序遍歷、中序遍歷、后續(xù)遍歷

性質(zhì)：

• 第n個(gè)元素的左子節(jié)點(diǎn)是：2*n+1；
• 第n個(gè)元素的右子節(jié)點(diǎn)是：2*n+2；
• 第n個(gè)元素的父節(jié)點(diǎn)是：（n-1)/2

代碼實(shí)現(xiàn)：

• 樹類

public class ArrayBinaryTree {int[] data;public ArrayBinaryTree(int[] data) {this.data = data;}//重載先序遍歷方法，不用每次傳參數(shù)了,保證每次從頭開始public void frontShow() {frontShow(0);}//先序遍歷public void frontShow(int index) {if (data == null || data.length == 0) {return;}//先遍歷當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的內(nèi)容System.out.print(data[index] + " ");//處理左子樹：2*index+1if (2 * index + 1 < data.length) {frontShow(2 * index + 1);}//處理右子樹：2*index+2if (2 * index + 2 < data.length) {frontShow(2 * index + 2);}} }

• 測(cè)試類

public class Demo {public static void main(String[] args) {int[] data = {1,2,3,4,5,6,7};ArrayBinaryTree tree = new ArrayBinaryTree(data);//先序遍歷tree.frontShow(); //1 2 4 5 3 6 7} }

線索二叉樹(Threaded BinaryTree)

為什么使用線索二叉樹？

當(dāng)用二叉鏈表作為二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)時(shí)，可以很方便的找到某個(gè)結(jié)點(diǎn)的左右孩子；但一般情況下，無(wú)法直接找到該結(jié)點(diǎn)在某種遍歷序列中的前驅(qū)和后繼結(jié)點(diǎn)

原理：n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉鏈表中含有n+1(2n-(n-1)=n+1個(gè)空指針域。利用二叉鏈表中的空指針域，存放指向結(jié)點(diǎn)在某種遍歷次序下的前驅(qū)和后繼結(jié)點(diǎn)的指針。

例如：某個(gè)結(jié)點(diǎn)的左孩子為空，則將空的左孩子指針域改為指向其前驅(qū)；如果某個(gè)結(jié)點(diǎn)的右孩子為空，則將空的右孩子指針域改為指向其后繼（這種附加的指針?lè)Q為"線索"）

代碼實(shí)現(xiàn)：

• 樹類

public class ThreadedBinaryTree {ThreadedNode root;//用于臨時(shí)存儲(chǔ)前驅(qū)節(jié)點(diǎn)ThreadedNode pre = null;//設(shè)置根節(jié)點(diǎn)public void setRoot(ThreadedNode root) {this.root = root;}//中序線索化二叉樹public void threadNodes() {threadNodes(root);}public void threadNodes(ThreadedNode node) {//當(dāng)前節(jié)點(diǎn)如果為null，直接返回if (node == null) {return;}//處理左子樹threadNodes(node.leftNode);//處理前驅(qū)節(jié)點(diǎn)if (node.leftNode == null) {//讓當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的左指針指向前驅(qū)節(jié)點(diǎn)node.leftNode = pre;//改變當(dāng)前節(jié)點(diǎn)左指針類型node.leftType = 1;}//處理前驅(qū)的右指針，如果前驅(qū)節(jié)點(diǎn)的右指針是null（沒(méi)有右子樹）if (pre != null && pre.rightNode == null) {//讓前驅(qū)節(jié)點(diǎn)的右指針指向當(dāng)前節(jié)點(diǎn)pre.rightNode = node;//改變前驅(qū)節(jié)點(diǎn)的右指針類型pre.rightType = 1;}//每處理一個(gè)節(jié)點(diǎn)，當(dāng)前節(jié)點(diǎn)是下一個(gè)節(jié)點(diǎn)的前驅(qū)節(jié)點(diǎn)pre = node;//處理右子樹threadNodes(node.rightNode);}//遍歷線索二叉樹public void threadIterate() {//用于臨時(shí)存儲(chǔ)當(dāng)前遍歷節(jié)點(diǎn)ThreadedNode node = root;while (node != null) {//循環(huán)找到最開始的節(jié)點(diǎn)while (node.leftType == 0) {node = node.leftNode;}//打印當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值System.out.print(node.value + " ");//如果當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的右指針指向的是后繼節(jié)點(diǎn)，可能后繼節(jié)點(diǎn)還有后繼節(jié)點(diǎn)while (node.rightType == 1) {node = node.rightNode;System.out.print(node.value + " ");}//替換遍歷的節(jié)點(diǎn)node = node.rightNode;}}//獲取根節(jié)點(diǎn)public ThreadedNode getRoot() {return root;}//先序遍歷public void frontShow() {if (root != null) {root.frontShow();}}//中序遍歷public void middleShow() {if (root != null) {root.middleShow();}}//后序遍歷public void afterShow() {if (root != null) {root.afterShow();}}//先序查找public ThreadedNode frontSearch(int i) {return root.frontSearch(i);}//刪除一個(gè)子樹public void delete(int i) {if (root.value == i) {root = null;} else {root.delete(i);}} }

• 節(jié)點(diǎn)類

public class ThreadedNode {//節(jié)點(diǎn)的權(quán)int value;//左兒子ThreadedNode leftNode;//右兒子ThreadedNode rightNode;//標(biāo)識(shí)指針類型,1表示指向上一個(gè)節(jié)點(diǎn)，0int leftType;int rightType;public ThreadedNode(int value) {this.value = value;}//設(shè)置左兒子public void setLeftNode(ThreadedNode leftNode) {this.leftNode = leftNode;}//設(shè)置右兒子public void setRightNode(ThreadedNode rightNode) {this.rightNode = rightNode;}//先序遍歷public void frontShow() {//先遍歷當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值System.out.print(value + " ");//左節(jié)點(diǎn)if (leftNode != null) {leftNode.frontShow(); //遞歸思想}//右節(jié)點(diǎn)if (rightNode != null) {rightNode.frontShow();}}//中序遍歷public void middleShow() {//左節(jié)點(diǎn)if (leftNode != null) {leftNode.middleShow(); //遞歸思想}//先遍歷當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值System.out.print(value + " ");//右節(jié)點(diǎn)if (rightNode != null) {rightNode.middleShow();}}//后續(xù)遍歷public void afterShow() {//左節(jié)點(diǎn)if (leftNode != null) {leftNode.afterShow(); //遞歸思想}//右節(jié)點(diǎn)if (rightNode != null) {rightNode.afterShow();}//先遍歷當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值System.out.print(value + " ");}//先序查找public ThreadedNode frontSearch(int i) {ThreadedNode target = null;//對(duì)比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值if (this.value == i) {return this;//當(dāng)前節(jié)點(diǎn)不是要查找的節(jié)點(diǎn)} else {//查找左兒子if (leftNode != null) {//查找的話t賦值給target，查不到target還是nulltarget = leftNode.frontSearch(i);}//如果target不為空，說(shuō)明在左兒子中已經(jīng)找到if (target != null) {return target;}//如果左兒子沒(méi)有查到，再查找右兒子if (rightNode != null) {target = rightNode.frontSearch(i);}}return target;}//刪除一個(gè)子樹public void delete(int i) {ThreadedNode parent = this;//判斷左兒子if (parent.leftNode != null && parent.leftNode.value == i) {parent.leftNode = null;return;}//判斷右兒子if (parent.rightNode != null && parent.rightNode.value == i) {parent.rightNode = null;return;}//如果都不是，遞歸檢查并刪除左兒子parent = leftNode;if (parent != null) {parent.delete(i);}//遞歸檢查并刪除右兒子parent = rightNode;if (parent != null) {parent.delete(i);}} }

• 測(cè)試類

public class Demo {public static void main(String[] args) {//創(chuàng)建一棵樹ThreadedBinaryTree binaryTree = new ThreadedBinaryTree();//創(chuàng)建一個(gè)根節(jié)點(diǎn)ThreadedNode root = new ThreadedNode(1);//把根節(jié)點(diǎn)賦給樹binaryTree.setRoot(root);//創(chuàng)建左,右節(jié)點(diǎn)ThreadedNode rootLeft = new ThreadedNode(2);ThreadedNode rootRight = new ThreadedNode(3);//把新建的節(jié)點(diǎn)設(shè)置為根節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)root.setLeftNode(rootLeft);root.setRightNode(rootRight);//為第二層的左節(jié)點(diǎn)創(chuàng)建兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)rootLeft.setLeftNode(new ThreadedNode(4));ThreadedNode fiveNode = new ThreadedNode(5);rootLeft.setRightNode(fiveNode);//為第二層的右節(jié)點(diǎn)創(chuàng)建兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)rootRight.setLeftNode(new ThreadedNode(6));rootRight.setRightNode(new ThreadedNode(7));//中序遍歷binaryTree.middleShow(); //4 2 5 1 6 3 7System.out.println();//中序線索化二叉樹binaryTree.threadNodes(); // //獲取5的后繼節(jié)點(diǎn) // ThreadedNode afterFive = fiveNode.rightNode; // System.out.println(afterFive.value); //1binaryTree.threadIterate(); //4 2 5 1 6 3 7} }

二叉排序樹（Binary Sort Tree）

無(wú)序序列：
二叉排序樹圖解：

概述：二叉排序樹（Binary Sort Tree）也叫二叉查找樹或者是一顆空樹，對(duì)于二叉樹中的任何一個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)，要求左子節(jié)點(diǎn)比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)值小，右子節(jié)點(diǎn)比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)值大

特點(diǎn)：

• 查找性能與插入刪除性能都適中還不錯(cuò)
• 中序遍歷的結(jié)果剛好是從大到小

創(chuàng)建二叉排序樹原理：其實(shí)就是不斷地插入節(jié)點(diǎn)，然后進(jìn)行比較。

刪除節(jié)點(diǎn)

• 刪除葉子節(jié)點(diǎn)，只需要找到父節(jié)點(diǎn)，將父節(jié)點(diǎn)與他的連接斷開即可
• 刪除有一個(gè)子節(jié)點(diǎn)的就需要將他的子節(jié)點(diǎn)換到他現(xiàn)在的位置
• 刪除有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)，需要使用他的前驅(qū)節(jié)點(diǎn)或者后繼節(jié)點(diǎn)進(jìn)行替換，就是左子樹最右下方的數(shù)（最大的那個(gè)）或右子樹最左邊的樹（最小的數(shù)）；即離節(jié)點(diǎn)值最接近的值；（還要注解要去判斷這個(gè)值有沒(méi)有右節(jié)點(diǎn)，有就要將右節(jié)點(diǎn)移上來(lái)）

代碼實(shí)現(xiàn)：

• 樹類

public class BinarySortTree {Node root;//添加節(jié)點(diǎn)public void add(Node node) {//如果是一顆空樹if (root == null) {root = node;} else {root.add(node);}}//中序遍歷public void middleShow() {if (root != null) {root.middleShow(root);}}//查找節(jié)點(diǎn)public Node search(int value) {if (root == null) {return null;}return root.search(value);}//查找父節(jié)點(diǎn)public Node searchParent(int value) {if (root == null) {return null;}return root.searchParent(value);}//刪除節(jié)點(diǎn)public void delete(int value) {if (root == null) {return;} else {//找到這個(gè)節(jié)點(diǎn)Node target = search(value);//如果沒(méi)有這個(gè)節(jié)點(diǎn)if (target == null) {return;}//找到他的父節(jié)點(diǎn)Node parent = searchParent(value);//要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)是葉子節(jié)點(diǎn)if (target.left == null && target.left == null) {//要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)是父節(jié)點(diǎn)的左子節(jié)點(diǎn)if (parent.left.value == value) {parent.left = null;}//要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)是父節(jié)點(diǎn)的右子節(jié)點(diǎn)else {parent.right = null;}}//要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)的情況else if (target.left != null && target.right != null) {//刪除右子樹中值最小的節(jié)點(diǎn)，并且獲取到值int min = deletMin(target.right);//替換目標(biāo)節(jié)點(diǎn)中的值target.value = min;}//要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)有一個(gè)左子節(jié)點(diǎn)或右子節(jié)點(diǎn)else {//有左子節(jié)點(diǎn)if (target.left != null) {//要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)是父節(jié)點(diǎn)的左子節(jié)點(diǎn)if (parent.left.value == value) {parent.left = target.left;}//要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)是父節(jié)點(diǎn)的右子節(jié)點(diǎn)else {parent.right = target.left;}}//有右子節(jié)點(diǎn)else {//要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)是父節(jié)點(diǎn)的左子節(jié)點(diǎn)if (parent.left.value == value) {parent.left = target.right;}//要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)是父節(jié)點(diǎn)的右子節(jié)點(diǎn)else {parent.right = target.right;}}}}}//刪除一棵樹中最小的節(jié)點(diǎn)private int deletMin(Node node) {Node target = node;//遞歸向左找最小值while (target.left != null) {target = target.left;}//刪除最小的節(jié)點(diǎn)delete(target.value);return target.value;} }

• 節(jié)點(diǎn)類

public class Node {int value;Node left;Node right;public Node(int value) {this.value = value;}//向子樹中添加節(jié)點(diǎn)public void add(Node node) {if (node == null) {return;}/*判斷傳入的節(jié)點(diǎn)的值比當(dāng)前紫薯的根節(jié)點(diǎn)的值大還是小*///添加的節(jié)點(diǎn)比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)更小(傳給左節(jié)點(diǎn)）if (node.value < this.value) {//如果左節(jié)點(diǎn)為空if (this.left == null) {this.left = node;}//如果不為空else {this.left.add(node);}}//添加的節(jié)點(diǎn)比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)更大(傳給右節(jié)點(diǎn)）else {if (this.right == null) {this.right = node;} else {this.right.add(node);}}}//中序遍歷二叉排序樹，結(jié)果剛好是從小到大public void middleShow(Node node) {if (node == null) {return;}middleShow(node.left);System.out.print(node.value + " ");middleShow(node.right);}//查找節(jié)點(diǎn)public Node search(int value) {if (this.value == value) {return this;} else if (value < this.value) {if (left == null) {return null;}return left.search(value);} else {if (right == null) {return null;}return right.search(value);}}//查找父節(jié)點(diǎn)public Node searchParent(int value) {if ((this.left != null && this.left.value == value) || (this.right != null && this.right.value == value)) {return this;} else {if (this.value > value && this.left != null) {return this.left.searchParent(value);} else if (this.value < value && this.right != null) {return this.right.searchParent(value);}return null;}} }

• 測(cè)試類

public class Demo {public static void main(String[] args) {int[] arr = {8, 3, 10, 1, 6, 14, 4, 7, 13};//創(chuàng)建一顆二叉排序樹BinarySortTree bst = new BinarySortTree();//循環(huán)添加 /* for(int i=0;i< arr.length;i++) {bst.add(new Node(arr[i]));}*/for (int i : arr) {bst.add(new Node(i));}//中序遍歷bst.middleShow(); //1 3 4 6 7 8 10 13 14System.out.println();//查找節(jié)點(diǎn)Node node = bst.search(10);System.out.println(node.value);//10Node node2 = bst.search(20);System.out.println(node2); //null//查找父節(jié)點(diǎn)Node node3 = bst.searchParent(1);Node node4 = bst.searchParent(14);System.out.println(node3.value); //3System.out.println(node4.value); //10//刪除葉子節(jié)點(diǎn) // bst.delete(13); // bst.middleShow(); //1 3 4 6 7 8 10 14 // System.out.println(); // //刪除只有一個(gè)子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn) // bst.delete(10); // bst.middleShow(); //1 3 4 6 7 8 ；10和14都沒(méi)了//刪除有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)bst.delete(3);bst.middleShow(); //1 4 6 7 8 10 13 14} }

平衡二叉樹（ Balanced Binary Tree）

為什么使用平衡二叉樹？

平衡二叉樹（Balanced Binary Tree）又被稱為AVL樹，且具有以下性質(zhì)：它是一棵空樹或它的左右兩個(gè)子樹的高度差的絕對(duì)值不超過(guò)1，并且左右兩個(gè)子樹都是一棵平衡二叉樹。這個(gè)方案很好的解決了二叉查找樹退化成鏈表的問(wèn)題，把插入，查找，刪除的時(shí)間復(fù)雜度最好情況和最壞情況都維持在O(logN)。但是頻繁旋轉(zhuǎn)會(huì)使插入和刪除犧牲掉O(logN)左右的時(shí)間，不過(guò)相對(duì)二叉查找樹來(lái)說(shuō)，時(shí)間上穩(wěn)定了很多。

二叉排序樹插入 {1,2,3,4,5,6} 這種數(shù)據(jù)結(jié)果如下圖所示：

平衡二叉樹插入 {1,2,3,4,5,6} 這種數(shù)據(jù)結(jié)果如下圖所示：

如何判斷平衡二叉樹？

• 1、是二叉排序樹
• 2、任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)的左子樹或者右子樹都是平衡二叉樹（左右高度差小于等于 1）

（1）下圖不是平衡二叉樹，因?yàn)樗皇嵌媾判驑溥`反第 1 條件

（2）下圖不是平衡二叉樹，因?yàn)橛泄?jié)點(diǎn)子樹高度差大于 1 違法第 2 條件（5的左子樹為0，右子樹為2）

（3）下圖是平衡二叉樹，因?yàn)榉?1、2 條件

相關(guān)概念

平衡因子 BF

• 定義：左子樹和右子樹高度差
• 計(jì)算：左子樹高度 - 右子樹高度的值
• 別名：簡(jiǎn)稱 BF（Balance Factor）
• 一般來(lái)說(shuō) BF 的絕對(duì)值大于 1，,平衡樹二叉樹就失衡，需要旋轉(zhuǎn)糾正

最小不平衡子樹

• 距離插入節(jié)點(diǎn)最近的，并且 BF 的絕對(duì)值大于 1 的節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)的子樹。

• 旋轉(zhuǎn)糾正只需要糾正最小不平衡子樹即可

• 例子如下圖所示：
  

旋轉(zhuǎn)方式

2 種旋轉(zhuǎn)方式:

左旋 :

• 舊根節(jié)點(diǎn)為新根節(jié)點(diǎn)的左子樹
• 新根節(jié)點(diǎn)的左子樹（如果存在）為舊根節(jié)點(diǎn)的右子樹

右旋：

• 舊根節(jié)點(diǎn)為新根節(jié)點(diǎn)的右子樹
• 新根節(jié)點(diǎn)的右子樹（如果存在）為舊根節(jié)點(diǎn)的左子樹

4 種旋轉(zhuǎn)糾正類型：

• 左左型：插入左孩子的左子樹，右旋
• 右右型：插入右孩子的右子樹，左旋
• 左右型：插入左孩子的右子樹，先左旋，再右旋
• 右左型：插入右孩子的左子樹，先右旋，再左旋
  

左左型：

第三個(gè)節(jié)點(diǎn)（1）插入的時(shí)候，BF(3) = 2，BF(2) = 1，右旋，根節(jié)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

右右型：

第三個(gè)節(jié)點(diǎn)（3）插入的時(shí)候，BF(1)=-2 BF(2)=-1，RR 型失衡，左旋，根節(jié)點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

左右型：

第三個(gè)節(jié)點(diǎn)（3）插入的 時(shí)候，BF(3)=2 BF(1)=-1 LR 型失衡，先 左旋 再 右旋


右左型：

第三個(gè)節(jié)點(diǎn)（1）插入的 時(shí)候，BF(1)=-2 BF(3)=1 RL 型失衡，先 右旋 再 左旋

實(shí)例

（1）、依次插入 3、2、1 插入第三個(gè)點(diǎn) 1 的時(shí)候 BF(3)=2 BF(2)=1，LL 型失衡，對(duì)最小不平衡樹 {3,2,1}進(jìn)行 右旋

• 舊根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 3）為新根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 2）的右子樹
• 新根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 2）的右子樹（這里沒(méi)有右子樹）為舊根節(jié)點(diǎn)的左子樹
  

（2）依次插入 4 ，5 插入 5 點(diǎn)的時(shí)候 BF(3) = -2 BF(4)=-1，RR 型失衡，對(duì)最小不平衡樹 {3,4,5} 進(jìn)行左旋

• 舊根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 3）為新根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 4）的左子樹
• 新根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 4）的左子樹（這里沒(méi)有左子樹）為舊根節(jié)點(diǎn)的右子樹
  

（3）插入 4 ，5 插入 5 點(diǎn)的時(shí)候 BF(2)=-2 BF(4)=-1 ，RR 型失衡 對(duì)最小不平衡樹{1,2,4}進(jìn)行左旋

• 舊根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 2）為新根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 4）的左子樹
  
• 新根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 4）的 左子樹（節(jié)點(diǎn) 3）為舊根節(jié)點(diǎn)的右子樹
  

（4）插入 7 節(jié)點(diǎn)的時(shí)候 BF(5)=-2, BF(6)=-1 ，RR 型失衡，對(duì)最小不平衡樹 進(jìn)行左旋

• 舊根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 5）為新根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 6）的左子樹
• 新根節(jié)點(diǎn)的左子樹（這里沒(méi)有）為舊根節(jié)點(diǎn)的右子樹
  

（5）依次插入 10 ，9 。插入 9 點(diǎn)的時(shí)候 BF(10) = 1，BF(7) = -2 ，RL 型失衡，對(duì)先右旋再左旋，右子樹先右旋

• 舊根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 10）為新根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 9）的右子樹
• 新根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 9）的右子樹（這里沒(méi)有右子樹）為舊根節(jié)點(diǎn)的左子樹
  
  最小不平衡子樹再左旋：
• 舊根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 7）為新根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 9）的左子樹
• 新根節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn) 9）的左子樹（這里沒(méi)有左子樹）為舊根節(jié)點(diǎn)的右子樹
  

代碼實(shí)現(xiàn)

• 節(jié)點(diǎn)類

public class Node {int value;Node left;Node right;public Node(int value) {this.value = value;}//獲取當(dāng)前節(jié)點(diǎn)高度public int height() {return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;}//獲取左子樹高度public int leftHeight() {if (left == null) {return 0;}return left.height();}//獲取右子樹高度public int rightHeight() {if (right == null) {return 0;}return right.height();}//向子樹中添加節(jié)點(diǎn)public void add(Node node) {if (node == null) {return;}/*判斷傳入的節(jié)點(diǎn)的值比當(dāng)前紫薯的根節(jié)點(diǎn)的值大還是小*///添加的節(jié)點(diǎn)比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)更小(傳給左節(jié)點(diǎn)）if (node.value < this.value) {//如果左節(jié)點(diǎn)為空if (this.left == null) {this.left = node;}//如果不為空else {this.left.add(node);}}//添加的節(jié)點(diǎn)比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)更大(傳給右節(jié)點(diǎn)）else {if (this.right == null) {this.right = node;} else {this.right.add(node);}}//查詢是否平衡//右旋轉(zhuǎn)if (leftHeight() - rightHeight() >= 2) {//雙旋轉(zhuǎn)，當(dāng)左子樹左邊高度小于左子樹右邊高度時(shí)if (left != null && left.leftHeight() < left.rightHeight()) {//左子樹先進(jìn)行左旋轉(zhuǎn)left.leftRotate();//整體進(jìn)行右旋轉(zhuǎn)rightRotate();}//單旋轉(zhuǎn)else {rightRotate();}}//左旋轉(zhuǎn)if (leftHeight() - rightHeight() <= -2) {//雙旋轉(zhuǎn)if (right != null && right.rightHeight() < right.leftHeight()) {right.rightRotate();leftRotate();}//單旋轉(zhuǎn)else {leftRotate();}}}//右旋轉(zhuǎn)private void rightRotate() {//創(chuàng)建一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)，值等于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值Node newRight = new Node(value);//把新節(jié)點(diǎn)的右子樹設(shè)置為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的右子樹newRight.right = right;//把新節(jié)點(diǎn)的左子樹設(shè)置為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的左子樹的右子樹newRight.left = left.right;//把當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值換位左子節(jié)點(diǎn)的值value = left.value;//把當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的左子樹設(shè)置為左子樹的左子樹left = left.left;//把當(dāng)前節(jié)點(diǎn)設(shè)置為新節(jié)點(diǎn)right = newRight;}//左旋轉(zhuǎn)private void leftRotate() {//創(chuàng)建一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)，值等于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值Node newLeft = new Node(value);//把新節(jié)點(diǎn)的左子樹設(shè)置為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的左子樹newLeft.left = left;//把新節(jié)點(diǎn)的右子樹設(shè)置為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的右子樹的左子樹newLeft.right = right.left;//把當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的值換位右子節(jié)點(diǎn)的值value = right.value;//把當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的右子樹設(shè)置為右子樹的右子樹right = right.right;//把當(dāng)前節(jié)點(diǎn)設(shè)置為新節(jié)點(diǎn)left = newLeft;}//中序遍歷二叉排序樹，結(jié)果剛好是從小到大public void middleShow(Node node) {if (node == null) {return;}middleShow(node.left);System.out.print(node.value + " ");middleShow(node.right);}//查找節(jié)點(diǎn)public Node search(int value) {if (this.value == value) {return this;} else if (value < this.value) {if (left == null) {return null;}return left.search(value);} else {if (right == null) {return null;}return right.search(value);}}//查找父節(jié)點(diǎn)public Node searchParent(int value) {if ((this.left != null && this.left.value == value) || (this.right != null && this.right.value == value)) {return this;} else {if (this.value > value && this.left != null) {return this.left.searchParent(value);} else if (this.value < value && this.right != null) {return this.right.searchParent(value);}return null;}} }

• 測(cè)試類

public class Demo {public static void main(String[] args) {int[] arr = {1,2,3,4,5,6};//創(chuàng)建一顆二叉排序樹BinarySortTree bst = new BinarySortTree();//循環(huán)添加for (int i : arr) {bst.add(new Node(i));}//查看高度System.out.println(bst.root.height()); //3//查看節(jié)點(diǎn)值System.out.println(bst.root.value); //根節(jié)點(diǎn)為4System.out.println(bst.root.left.value); //左子節(jié)點(diǎn)為2System.out.println(bst.root.right.value); //右子節(jié)點(diǎn)為5} }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构与算法之二叉树大全的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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