三角函數(shù)

艾拉·格林伯格

?

三角函數(shù)（實(shí)際上只是幾個三角函數(shù)）是圖形編程的核心。也就是說，如果你和我一樣，你可能對trig有模糊的記憶。也許你還記得記憶裝置soh-cah-to a，用來記住三角函數(shù)和直角三角形之間的關(guān)系。這是喚醒你記憶的圖表。

?soh代表“正弦等于斜邊上的對邊。”“對邊”是指角度相反的邊。

?cah代表“余弦等于斜邊上的相鄰度。”“相鄰”是角度旁邊的邊。

?toa是指“切線等于相對于相鄰點(diǎn)”

?

在圖中還應(yīng)該注意切線等于正弦（θ）而不是余弦（θ）。你可能還記得正弦和余弦在作圖時是相似的，它們都形成周期波。只有余弦波在圖上移動了一位（90°或π/2），這在技術(shù)上稱為相移。我完全意識到抽象地處理這些事情是困難的。幸運(yùn)的是，還有另一個模型，單位圓（如下所示）用于可視化和研究trig函數(shù)。

?

單位圓是一個半徑為1個單位長度的圓，因此它的名字很有想象力。使用單位圓時，不使用常規(guī)且可信的笛卡爾坐標(biāo)系；而是使用極坐標(biāo)系。笛卡爾系統(tǒng)在矩形網(wǎng)格空間中工作得很好，在那里一個點(diǎn)可以通過一個坐標(biāo)定位，比如（x，y）。相反，在極坐標(biāo)系中，位置由（r，θ）指定，其中r是半徑，θ（希臘字母theta）是旋轉(zhuǎn)角度。單位圓的原點(diǎn)位于其中心，您可以測量從單位圓的右中邊緣開始（面向3點(diǎn)鐘）并圍繞其逆時針方向移動的旋轉(zhuǎn)角度。

?

在單位圓圖中，p點(diǎn)位于45°或pi/4。您還可以使用pi來測量單位圓周圍的距離，如圖所示。在圓的中間（180°）等于π弧度，在圓的四周等于2pi弧度，也等于0弧度，因?yàn)閳A是連續(xù)的，在其開始處結(jié)束。π是一個常數(shù)，等于圓的周長除以圓的直徑，約為3.142。

?

在極坐標(biāo)系中，使用弧度來測量角度，而不是度數(shù)。以弧度表示的旋轉(zhuǎn)角通常稱為θ（希臘字母θ）。旋轉(zhuǎn)的弧長由r*θ計(jì)算，其中r是半徑。在半徑為1的單位圓中，θ等于旋轉(zhuǎn)的弧長（單位圓圖中的弧s）。知道弧長很好，但大多數(shù)時候（在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中），你只想知道點(diǎn)相對于單位圓的位置。例如，如果我想圍繞單位圓旋轉(zhuǎn)一個點(diǎn)，我需要知道如何在圓中放置和移動該點(diǎn)。對于單位圓來說，這是一個非常簡單的任務(wù)，而且正是trig的用途。

?

三角函數(shù)和單位圓之間有一個非常簡單的關(guān)系。注意，在單位圓圖中，從橢圓上的p點(diǎn)開始，單位圓內(nèi)形成直角三角形。這會立刻讓你想起老畢達(dá)哥拉斯。還要注意r（半徑）是直角三角形的斜邊。此外，您現(xiàn)在還知道，使用trig函數(shù)，可以使用theta和任意一側(cè)（對邊、相鄰邊或斜邊）來求解三角形的其余部分。對于我們的目的，這些關(guān)系的最大好處是，要將極坐標(biāo)系中的p點(diǎn)轉(zhuǎn)換為笛卡爾坐標(biāo)系（監(jiān)視器使用的系統(tǒng)），可以使用以下簡單表達(dá)式：

?

x = cosine(theta) * radius y = sine(theta) * radius

?

這些看似謙遜的小表達(dá)方式非常強(qiáng)大，可以用于各種表達(dá)和有機(jī)的目的。

以下是在處理過程中如何實(shí)際使用trig函數(shù)：

?

?

float x = cos(radians(angle)) * radius; float y = sin(radians(angle)) * radius;

注意每個trig函數(shù)調(diào)用中的函數(shù)調(diào)用(radians(angle))（弧度（角度））。記住θ是用弧度來測量的，在極坐標(biāo)系中。但是，在笛卡爾坐標(biāo)系中，以度數(shù)為單位。要在弧度和度數(shù)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，或者在弧度和度數(shù)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可以使用以下表達(dá)式：

?

theta = angle*pi/180 angle = theta*180/pi

?

或者更好的方法是，使用Processing的便捷轉(zhuǎn)換功能：

?

?

theta = radians(angle) angle = degrees(theta)

最后，我還提供了一個處理示意圖，演示了單位圓和正弦函數(shù)之間的關(guān)系：

?

?

float px, py, px2, py2; float angle, angle2; float radius = 50; float frequency = 2; float frequency2 = 2; float x, x2;void setup(){size(600, 200);background (127); }void draw(){background (127);noStroke();fill(255);ellipse(width/8, 75, radius*2, radius*2);// 圍繞圓旋轉(zhuǎn)矩形px = width/8 + cos(radians(angle))*(radius);py = 75 + sin(radians(angle))*(radius);fill(0);rect (px, py, 5, 5);stroke(100);line(width/8, 75, px, py);stroke(200);//繼續(xù)重新初始化為0，以避免//重繪時閃爍angle2 = 0;// 繪制靜態(tài)曲線-y=sin（x）for (int i = 0; i< width; i++){px2 = width/8 + cos(radians(angle2))*(radius);py2 = 75 + sin(radians(angle2))*(radius);point(width/8+radius+i, py2);angle2 -= frequency2;}//沿正弦曲線發(fā)送小橢圓//說明圓與波的關(guān)系noStroke();ellipse(width/8+radius+x, py, 5, 5);angle -= frequency;x+=1;//當(dāng)小橢圓到達(dá)窗口的末端時，//將變量設(shè)置回0if (x >= width-60) {x = 0;angle = 0;}//畫波與圓路徑連接的動力線stroke(50);line(px, py, width/8+radius+x, py);//輸出計(jì)算到屏幕text("y = sin x", 35, 185);text("px = " + px, 105, 185);text("py = " + py, 215, 185); }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【15】processing-三角函数（中文）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。