目錄

• 抽象型行列式的計算
• • 思路
  • 例題
  • 1 正交矩陣及單位矩陣恒等變形
  • 2 向量形式
  • 3 不可逆 --> 行列式為0 --> 特征值
  • 4 遇到伴隨和逆，立馬將所有伴隨換作逆
  • 5 有相同矩陣的，合并同類項后用E代表合并前，而不是1
  • 6 特征值的應用
  • 7 對于|A+B|，巧妙運用E的恒等變形
  • 8 低階矩陣伴隨的行列式可以換成矩陣的n-1方
  • 9 a~ij~=±A~ij~ <--> A^T^=±A^*^
• 初等變換矩陣的應用
• • 1 初等變換矩陣的逆
  • 2 初等變換矩陣行列式的值
  • 3 倍乘矩陣行列變換易混，如E~12~(3)，行變換時為第一行的3倍加到第2行；列變換時第2列的3倍加到第一列
• 伴隨矩陣與可逆矩陣
• • 1 熟用A^*^=|A|A^-1^
  • 2 可逆<-->行列式不為0<-->特征值全部非0
  • 3 秩常與特征值關聯使用
  • 4 A=0,特征值全為0；f(A)=0，對應的f(λ)也全為0
  • 5 可逆矩陣具有可交換性
  • 6 類似于算(A-E)^-1^時，用多項式除法
• 向量組的相關、無關、秩
• • 1 秩＜向量個數，必線性相關；本身無關，延長必無關
  • 2 一個矩陣A右乘一個列滿秩矩陣P，即r(AP)=r(A)，不改變該矩陣A的本身的秩；向量組等價：r(A)=r(B)=r(A|B)；判斷等價時往往需要借助系數矩陣
  • 3 整體無關，部分必無關；部分無關，加進一個相關，加進去的能被其他表示
  • 4 β能被表示，后面就不用管β；當k=0時C錯誤，k≠0時D錯誤
  • 5 初等行變換不會改變列向量組的相關性和表示系數
  • 6 伴隨矩陣的秩只能是n、1、0
  • 7 矩陣的秩不會越乘越大：r(AB)≤min{r(A),r(B)}
  • 8 A~m×n~，B~n×s~，AB=0，r(A)+r(B)≤n
  • 9 可逆矩陣可以看做若干次初等變換；經過初等（行/列）變換的矩陣與原矩陣（行/列）等價；（行/列）等價比矩陣等價強
  • 10 向量組線性無關，其組成的矩陣的秩就是向量組的個數；被表示的向量組秩肯定小于表示它的向量組的秩
  • 11 向量組A可被向量組B表出，則r(A)≤r(B)
  • 12 矩陣等價和向量組等價的區別
• 方程組
• • 1 基礎解系相互之間需要滿足線性無關、個數為n-r(A)、每個都是解三個條件
  • 2 非奇特的系數相加須為1；齊通要求個數相等、秩相等和互相線性無關
  • 3 非齊次的解進行組合，系數為0是齊次的解，系數為1是非齊次的解
  • 4 α~1~、α~2~、α~3~是AX=β的三個無關解，則α~1~-α~2~、α~1~-α~3~是AX=0的兩個無關解；基礎解系的個數是固定的，如果已知基礎解系個數至少為2，選項只有1，必然錯誤
  • 5 A^*^A=|A|E=0，從而得出A的每一個列向量都是A^*^X=0的解；基礎解系的向量個數為n-r(A) <--> r(A)=n-基礎解系的向量個數
  • 求通解，先求秩，n-秩即為基礎解系個數；列向量之間的線性組合關系可以轉化為方程組解向量

抽象型行列式的計算

思路

例題

1 正交矩陣及單位矩陣恒等變形

2 向量形式

3 不可逆 --> 行列式為0 --> 特征值

4 遇到伴隨和逆，立馬將所有伴隨換作逆

5 有相同矩陣的，合并同類項后用E代表合并前，而不是1

6 特征值的應用

運用秩一矩陣和跡

7 對于|A+B|，巧妙運用E的恒等變形

另一解法：未知的不斷往已知的條件轉化

8 低階矩陣伴隨的行列式可以換成矩陣的n-1方

注：交換行列式的兩行（列），行列式反號

9 a_ij=±A_ij <–> A^T=±A^*

初等變換矩陣的應用

1 初等變換矩陣的逆

2 初等變換矩陣行列式的值

3 倍乘矩陣行列變換易混，如E₁₂(3)，行變換時為第一行的3倍加到第2行；列變換時第2列的3倍加到第一列

伴隨矩陣與可逆矩陣

1 熟用A^*=|A|A^-1

2 可逆<–>行列式不為0<–>特征值全部非0

秩一矩陣可以表示為αα^T，其跡為平方和α^Tα，特征值為一個跡和全0

3 秩常與特征值關聯使用

4 A=0,特征值全為0；f(A)=0，對應的f(λ)也全為0

5 可逆矩陣具有可交換性

6 類似于算(A-E)^-1時，用多項式除法

向量組的相關、無關、秩

1 秩＜向量個數，必線性相關；本身無關，延長必無關

2 一個矩陣A右乘一個列滿秩矩陣P，即r(AP)=r(A)，不改變該矩陣A的本身的秩；向量組等價：r(A)=r(B)=r(A|B)；判斷等價時往往需要借助系數矩陣

3 整體無關，部分必無關；部分無關，加進一個相關，加進去的能被其他表示

4 β能被表示，后面就不用管β；當k=0時C錯誤，k≠0時D錯誤

5 初等行變換不會改變列向量組的相關性和表示系數

6 伴隨矩陣的秩只能是n、1、0

7 矩陣的秩不會越乘越大：r(AB)≤min{r(A),r(B)}

E是m×m方陣，所以A和B的秩都是≥m，又A的行數是m，B的列數是m，所以A的行向量、B的列向量滿秩，線性無關

8 A_m×n，B_n×s，AB=0，r(A)+r(B)≤n

9 可逆矩陣可以看做若干次初等變換；經過初等（行/列）變換的矩陣與原矩陣（行/列）等價；（行/列）等價比矩陣等價強

10 向量組線性無關，其組成的矩陣的秩就是向量組的個數；被表示的向量組秩肯定小于表示它的向量組的秩

11 向量組A可被向量組B表出，則r(A)≤r(B)

12 矩陣等價和向量組等價的區別

方程組

1 基礎解系相互之間需要滿足線性無關、個數為n-r(A)、每個都是解三個條件

行列式的值不等于0，代表可逆，也代表秩等于階數

2 非奇特的系數相加須為1；齊通要求個數相等、秩相等和互相線性無關

3 非齊次的解進行組合，系數為0是齊次的解，系數為1是非齊次的解

4 α₁、α₂、α₃是AX=β的三個無關解，則α₁-α₂、α₁-α₃是AX=0的兩個無關解；基礎解系的個數是固定的，如果已知基礎解系個數至少為2，選項只有1，必然錯誤

5 A^*A=|A|E=0，從而得出A的每一個列向量都是A^*X=0的解；基礎解系的向量個數為n-r(A) <–> r(A)=n-基礎解系的向量個數

求通解，先求秩，n-秩即為基礎解系個數；列向量之間的線性組合關系可以轉化為方程組解向量

總結

以上是生活随笔為你收集整理的考研数学线上笔记（七）：凯哥行列式、矩阵、向量组、方程组概念选择题系列课程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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