文章目錄

• • 1. 背景
  • 2. 定積分
  • • 2.1. 定積分的定義
    • 2.2. 定積分的性質
    • 2.3. 積分上限函數
    • 2.4. 定積分的計算
    • • 2.4.1. 牛頓-萊布尼茨公式
      • 2.4.2. 換元積分法
      • 2.4.3. 分部積分法
      • 2.4.4. 利用奇偶性和周期性
      • 2.4.5. 利用已有公式
  • 3. 反常積分
  • • 3.1. 無窮區間上的反常積分
    • 3.2. 無界函數的反常積分

1. 背景

前段時間復習完了高數第五章的內容，我參考《復習全書·基礎篇》和老師講課的內容對這一章的知識點進行了整理，形成了這篇筆記，方便在移動設備上進行訪問和后續的補充修改。

2. 定積分

2.1. 定積分的定義

• 定義：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

其中$\lambda =max\{\Delta x_i\},i\in [1,n]$，${\xi }_i$為在$[x_{i?1},x_i]$上任取的一點。

• 利用定積分求極限：

若積分${\int }_0^{1}f(x)dx$ 存在，將$[0,1]$區間等分，此時$\Delta x_i=\frac{1}{n}$， 取 ${\xi }_i=\frac{1}{n}$， 由定積分的定義得

$${\int }_0^{1}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i=\underset{n\to \infty }{\lim }f(\frac{i}{n})$$

2.2. 定積分的性質

2.3. 積分上限函數

• 定義：

變上限的積分${\int }_a^{b}f(x)dx$是其上限的函數，常稱之為積分上限函數。

• 定理：

如果$f(x)$在區間$[a,b]$上連續，則

$$({\int }_a^{x}f(t)dt{)}^{\prime }=f(x)$$

如果$ f(x) $為$[a, b]$上的連續函數，$\varphi_1(x), \varphi_2(x)$為可導函數，則

$$({\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(t)dt{)}^{\prime }=f[{\phi }_2(x)]?{\phi }_2^{\prime }(x)?f[{\phi }_1(x)]?{\phi }_1^{\prime }(x)$$

2.4. 定積分的計算

2.4.1. 牛頓-萊布尼茨公式

設$f(x)$在$[a,b]$上連續，$F(x)$為$f(x)$在$[a,b]$上的一個原函數，則有

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$$

2.4.2. 換元積分法

2.4.3. 分部積分法

$${\int }_a^{b}udv=uv{|}_a^b?{\int }_a^{b}vdu$$

2.4.4. 利用奇偶性和周期性

2.4.5. 利用已有公式

3. 反常積分

3.1. 無窮區間上的反常積分

定義：

設 $f(x)$ 為 $[a,\infty ]$ 上的連續函數，如果極限 $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$ 存在，則稱此極限為函數 f(x)在無窮區間 $[a,\infty ]$ 上的反常積分，記作 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$，即

$${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$$

這時也稱反常積分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收斂，如果上述極限不存在，則稱反常積分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 發散。

設 $f(x)$ 為 $[?\infty ,b]$ 上的連續函數，則可類似的定義函數 $f(x)$ 在無窮區間$[?\infty ,b]$ 上的反常積分

$${\int }_{?\infty }^{b}f(x)dx=\underset{t\to ?\infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$$

設 $f(x)$ 為 $[?\infty ,+\infty ]$ 上的連續函數，如果反常積分

$${\int }_{?\infty }^{0}f(x)dx\text{和}{\int }_0^{+\infty }f(x)dx$$

都收斂，則稱反常積分 ${\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)dx$ 收斂，且

$${\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{?\infty }^{0}f(x)dx+{\int }_0^{+\infty }f(x)dx$$

如果至少有一個發散，則稱 ${\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)dx$ 發散。

---

常用結論：

$${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx\{\begin{array}{rl}p>1& ,\text{發散}\\ p\le 1& ,\text{收斂}\end{array},(a>0)$$

3.2. 無界函數的反常積分

如果函數 $f(x)$ 在點 $a$ 的任一鄰域內都無界，那么點 $a$ 稱為 函數 $f(x)$ 的瑕點（也稱為無界點）。無界函數的反常積分也稱為瑕積分。

定義：

設 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上連續，點 $a$ 為函數的瑕點。如果極限 $\underset{t\to a^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$存在，則稱此極限為函數 f(x)在無窮區間 $[a,b]$ 上的反常積分，記作 ${\int }_a^{b}f(x)dx$，即

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to a^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$$

這時也稱反常積分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收斂，如果上述極限不存在，則稱反常積分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 發散。

設 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上連續，點$b$ 為函數 $f(x)$ 的瑕點。則可類似的定義函數 $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上的反常積分

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to a^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$$

設 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上除 $c$ 點外連續，點$c$ 為函數 $f(x)$ 的瑕點。則可類似的定義函數 $f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上的反常積分

$${\int }_a^{c}f(x)dx\text{和}{\int }_c^{b}f(x)dx$$

都收斂，則稱反常積分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 收斂，且

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

如果至少有一個發散，則稱 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 發散。

---

常用結論：

$${\int }_a^b\frac{1}{(x?a{)}^p}dx\{\begin{array}{rl}p<1& ,\text{發散}\\ p\ge 1& ,\text{收斂}\end{array}$$

$${\int }_a^b\frac{1}{(b?x{)}^p}dx\{\begin{array}{rl}p<1& ,\text{發散}\\ p\ge 1& ,\text{收斂}\end{array}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2021考研数学 高数第五章 定积分与反常积分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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