省流直接看總結

• 李林為什么是神？
• • 第一套卷
  • 第二套卷
  • 第三套卷
  • 第四套
• 總結
• • 條件極值
  • 微分方程+冪級數求和
  • 中值定理證明題
  • 曲面積分（考曲線積分會結合斯托克斯公式）
  • 二次型正交化
  • 方程組求解
  • 求隨機變量函數的概率密度
  • 求數字特征

李林為什么是神？

首先回答一下“李林為什么是神？”，因為他出的題目只有神才能做對······
李林4套卷基本上是考研數學必做的一套卷子，出題風格與真題接近并且綜合性很強。當我做完05-12年的真題卷后再做22年李林四套卷，發現難度明顯上升了一個臺階，而且題目考察的知識點不那么明顯了。而且計算量尤其大，綜合性也是十分突出。我做題有個習慣，拿到一道題目先分析一下它考察的是哪個知識點，在腦海里搜索一下關于這個知識點的重點和難點以及需要注意的地方。這種方法在做早期真題卷時屢試不爽，真題卷考察知識點的意圖十分明顯。而李林4套卷則會藏著掖著不告訴你，往往會通過一些其他的知識將其封裝。這不僅增加了題目的綜合性，也讓我在剛拿到題目后無法在大腦中迅速構建起解題的脈絡（因為之前沒遇到過類似的題目），只能從已知出發，摸著石頭過河。這就要求學生必須謹慎和全面：既能充分挖掘題目信息，防止視角單一，又能保證運算不出錯。

第一套卷

這題表面上是由三個平面垂直得到三個向量內積為0，這看似與線性無關沒啥聯系。但我們想一想線性無關的定義之一：
$$\begin{gathered} 對于任意n個向量{\alpha }_1,{\alpha }_2,???,{\alpha }_n,不存在不全為0的數k_1,k_2,???,k_n， \\ 使得k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+???+k_n{\alpha }_n=0 \end{gathered}$$
這個定義也是偏向計算的定義，當然還有偏向抽象的定義：
$$對于任意n個向量{\alpha }_1,{\alpha }_2,???,{\alpha }_n,其中任意一個向量都不能由其他向量線性表示$$
這個題向量內積為0的條件更是偏向計算的條件，所以我們應該采用第一條定義。
這也告訴我們①看到無從下手的題目多回歸定義，追根溯源②復習概念要全面，對概念理解要到位，就比如“偏向計算”和“偏向抽象”的修飾就是自己的理解③養成習慣：弄清楚題目考察的知識點

這題也是一道需要追根溯源的題目。題目本身又是什么速度場，又是流量的，跟數學名詞不太沾邊。但我們回想起課本中為了引出對坐標的曲面積分而討論的流量，這題就迎刃而解了。
接下來我們看一眼書：

出自高數下冊P224，不熟悉的同學可以翻翻課本。

這題其實還好，但有一點小問題：很多人求方向$l$時，忽略了方向余弦即$l$是一個單位向量。我們來看一眼課本：

順便我們還復習到了：可微能推出方向導數存在

偏導數存在不能推出方向導數存在

這個題主要是步驟，考察的知識點很明顯：變上限求導和弧長公式。推薦大家先做一下，做完以后看一下我寫的步驟。

①：變量代換，消除上限中的n
②：去根號，湊完全平方（常用技巧）
③：取絕對值，考慮被積函數在積分上下限恒正，直接去掉

如果③處積分上下限為[0,$\pi$]，那該怎么做？
關于三角函數積分區間問題，660中的題目很好的考察。

這題核心是如何構造$(X,Y)$的概率密度。在概率論的實際問題中，很多時候我們將實際問題給映射到坐標區域中，利用面積的思想去解決。

在求$Z=g(x,y)$的概率密度的時候，我們多數情況是利用上述性質3
$$F_z(z)=P\left\{g(x,y)\le z\right\}=\underset{g(x,y)\le z}{?}f(x,y)dxdy$$
再對$F_z(z)$求導得到概率密度
抑或是課本上這個例子

這題也是典型的將實際問題映射到坐標區域，利用面積求解

第二套卷

這題是一個隱藏很深的題目，需要熟練掌握代數余子式的計算方法：
$$A_{11}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right|\ne 0$$
那么${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$的縮短組線性無關，其${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$也是線性無關的。而判斷是否相似對角矩陣則是要考慮特征值的重數與對應線性無關的特征向量個數，總之是一道綜合了向量組，伴隨矩陣，對角化判斷的題目。

出題角度很新穎，我們在方向導數那章學過，上升最快的方向就是梯度方向。

而這個方向反映到實際就是$\frac{dy}{dx}$，也就是求解一個微分方程。

很難想到這是一道條件極值問題，我當初做的時候總感覺像高中做的解析幾何，一直在找幾何關系······
那么從哪找出來的條件極值問題呢？想想當橢圓與圓相切的時候，那么橢圓上的點到圓心的距離最小值是不是圓的半徑？
那么就是求橢圓上一點$(x,y)$到$(0,1)$的最小值
$$d(x,y,\lambda )=x^2+(y?1{)}^2+\lambda (\frac{2}{3}{x}^2+\frac{2}{9}{y}^2?a^2)$$
求出含a的極小值點，代入結果為1，即可解出a了。

這題考察對面積的曲面積分，大家可以先做一做，主要是要畫圖觀察三個曲面，這樣才能計算出結果。難度是不難，思路可以想想，直接上答案👇


這題主要是從正交矩陣的性質上求解參數，這與之前的題目先求特征值和特征向量再正交化單位化不同。

正交矩陣的性質：
①$A^T=A$
②任意不同兩列內積為0
③任意一行(列)長度為1

第二問規范型主要y=Rz，注意R矩陣寫法就行。線代大題還是好做的，核心把握住特征值和特征向量，工具就是解方程組，秩和行列式。

第三套卷

好像21年也有一道類似的題目，估計是真題改的。對于復合矩陣的秩判斷，從列或行的線性表示入手：

如果B可逆，A、C的列向量是否等價？
如果A可逆，B、C的行向量是否等價？如何證明？
如果A為列滿秩矩陣，B,C的秩相等嗎？如何證明？

這題有坑：被積區域有第一類間斷點，需要分區間計算。

x的被積范圍由導數的定義域決定，而不是題目直接給出

這題需要關注冪級數起始項，如何靈活調整起始項來湊出條件方程

第一問的條件期望需要先求出條件概率密度，再按照期望求定積分

第四套

不會真有人一上來就格林公式被積函數成0選D吧？
這很明顯L方程所圍的區域有被積函數無定義點，應該想到我們的奇點處理線面積分中的奇點

這題連直線的標準方程都沒給出，又傻眼了。
雖然沒給出點法式方程，但兩點總能確定一條直線吧，方向余弦能確定吧，參數方程能寫吧。但要強調一點，改寫為參數方程ds與dt的轉換關系:
$$ds=\sqrt{(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}{)}^2+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}{)}^2+(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}{)}^2}dt$$

這題最最要注意兩點
①根號下sinx需要＞0，所以被積區域范圍是有要求的
②由于x是從0到+∞，最后的定積分需要寫成求和形式

計算量大，而且必須考慮到上述兩點才能把題目做對，否則第一問就錯直接0分。我當時做的時候沒有考慮到定義域的問題，喜提0分！

這道題難點在于第一問求L的方程。這個條件提到了幾個關鍵詞：切平面、質心、距離最近。首先求曲面S點$(x,y)$的切平面，距離最近則反映了最值點。同樣我們分析一下題目可以知道，這個曲線L應該是一個圓，所以動筆算就行了。

總結

四套卷相比于六套卷，起到了一個涵蓋冷門考點和綜合性的卷子，像卷子中頻繁出現的方向導數，以實際問題為背景構造微分方程，區間估計等。計算量是相當的大，有些題目看起來簡單，真正算起來需要耗費不少時間。從這四套卷結合12年以前的真題來看，大題的重點內容無非：

條件極值

基本是送分題，常規題中先算非條件極值，再算條件極值，兩者相比取最值。模擬卷中有的條件極值隱藏得比較深。或者將條件極值作為條件求解參數，需要關注題目中距離最近、相切、最值等字眼。

微分方程+冪級數求和

微分方程沒啥好說的，分析方程形式，求解的時候別忘了算常數C。級數求和就是要注意下標從0開始還是從1開始，細節參考這里級數求和細節問題

中值定理證明題

當你找不到零點的時候考慮一下極限保號性或者反證法。存在高階導數考慮一下泰勒公式（也可能兩次拉格朗日）。求證式子復雜考慮構造輔助函數（真的很難很難）
定積分證明一般構造函數求導證明單調性就可以解決，亦或利用積分中值定理。

曲面積分（考曲線積分會結合斯托克斯公式）

看是對坐標還是對面積。
對坐標積分如果能用高斯公式看一下被積函數在被積區域內是否有定義線面積分奇點問題；如果不能用高斯公式需要把握積分正負號以及積分投影區域。
對面積積分先看能不能化簡式子，再看是否需要投影到某一個面采用二重積分。不要忽略了奇偶性和輪換對稱性。

二次型正交化

當題目無從下手時，考慮特征向量和特征值的定義：
$$\begin{gathered} A\alpha =\lambda \alpha \\ 存在可逆矩陣P，P^{?1}AP=B \end{gathered}$$
說不定會有奇效。
再由標準型化為規范性時，需要把握過渡矩陣的寫法和變量的對應關系，建議寫完之后演算一下看是否仍為原式子。

方程組求解

不多說了，現在還不會的去面壁思過。

求隨機變量函數的概率密度

主要是分布函數法和卷積公式法
分布函數法利用二重積分求得分布函數然后求導；卷積公式則是根據變量的范圍取交集進行定積分。
若是混合型隨機變量函數，則要先把離散型的拆分出來，把握住只對連續性進行積分即可。

求數字特征

除了直接用定義和公式求積分，考慮是否能轉為某些已知的統計量。如$D(S^2)$
求協方差的時候，如果不相互獨立則需要拆分。另外協方差還可以判斷兩個隨機變量是否不獨立$（Cov(X,Y)\ne 0，則說明X,Y不獨立）$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的李林为什么是神？22年李林4套卷总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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