厄米特矩阵(Hermittan Matrix)
1.厄米特矩陣(Hermittan Matrix)
1.1 共軛
1.1 共軛轉(zhuǎn)置
向量的共軛轉(zhuǎn)置
矩陣的共軛轉(zhuǎn)置
1.2 復(fù)向量的長度
實(shí)向量的長度
xTx=[x1?xn][x1?xn]=∣x1∣2+?+∣xn∣2\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}= \begin{bmatrix}x_1\cdots x_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots\\x_n\end{bmatrix}= |x_1|^2+\cdots+|x_n|^2 xTx=[x1??xn??]????x1??xn??????=∣x1?∣2+?+∣xn?∣2
復(fù)向量的長度
我們假設(shè)其長度為
zTz=[z1?zn][z1?zn]=∣z1∣2+?+∣zn∣2=0z^Tz=\begin{bmatrix}z_1\cdots z_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\ \vdots\\ z_n\end{bmatrix}=|z_1|^2+\cdots+|z_n|^2=0 zTz=[z1??zn??]????z1??zn??????=∣z1?∣2+?+∣zn?∣2=0
假設(shè) z1=1+iz_1=1+iz1?=1+i 則 ∣z1∣2=(1+i)(1+i)=1+i2=0|z_1|^2=(1+i)(1+i)=1+i^2=0∣z1?∣2=(1+i)(1+i)=1+i2=0,一個非零向量其長度為0顯然不符合事實(shí),這是因?yàn)樘摂?shù)iii的原因,所以復(fù)向量的長度為 zˉTz=zHz\bar{z}^Tz=z^HzzˉTz=zHz【HHH代表共軛轉(zhuǎn)置】
1.3 復(fù)向量內(nèi)積
1.4 厄米特矩陣
對于實(shí)對稱矩陣 S=STS=S^TS=ST,有實(shí)特征值、正交矩陣QQQ中有特征向量、可以分解為 S=QΛQ?1S=Q\Lambda Q^{-1}S=QΛQ?1 因?yàn)?Q?1=QQ^{-1}=QQ?1=Q 所以 S=QΛQTS=Q\Lambda Q^TS=QΛQT
在復(fù)數(shù)矩陣中,有一類矩陣,滿足 A=AHA=A^HA=AH 叫做厄米特矩陣【其中 HHH 代表共軛轉(zhuǎn)置 AH=AˉTA^H=\bar{A}^TAH=AˉT】
特殊的厄米特矩陣SSS,則S=SHS=S^HS=SH
特殊的厄米特矩陣:主對角線上都是實(shí)數(shù)、副對角線上為復(fù)數(shù)共軛 sij=sˉijs_{ij}=\bar{s}_{ij}sij?=sˉij?
特殊的厄米特矩陣的三個性質(zhì)
性質(zhì)一:
性質(zhì)二:
性質(zhì)三:
Sz=λzyHSz=yHλzS\boldsymbol{z}=\lambda\boldsymbol{z}\\ ~\\ \boldsymbol{y}^HS\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}^H\lambda\boldsymbol{z} Sz=λz?yHSz=yHλz
Sy=βyyHSH=βyHyHSHz=βyHzS\boldsymbol{y}=\beta\boldsymbol{y}\\ ~\\ \boldsymbol{y}^HS^H=\beta\boldsymbol{y}^H\\ ~\\ \boldsymbol{y}^HS^H\boldsymbol{z}=\beta\boldsymbol{y}^H\boldsymbol{z}\\ Sy=βy?yHSH=βyH?yHSHz=βyHz
yHSz=yHλzyHSHz=βyHz\boldsymbol{y}^HS\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}^H\lambda\boldsymbol{z}\\ ~\\ \boldsymbol{y}^HS^H\boldsymbol{z}=\beta\boldsymbol{y}^H\boldsymbol{z} yHSz=yHλz?yHSHz=βyHz
因?yàn)?S=SHS=S^HS=SH,所以yHλz=βyHz\boldsymbol{y}^H\lambda\boldsymbol{z}=\beta\boldsymbol{y}^H\boldsymbol{z}yHλz=βyHz,又因?yàn)?λ≠β\lambda\neq\betaλ?=β,所以 yHz=0\boldsymbol{y}^H\boldsymbol{z}=0yHz=0,故特征向量 y、z\boldsymbol{y}、\boldsymbol{z}y、z 互相垂直
總結(jié)
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